Досрочная волна ЕГЭ 2026 27.03.2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]В треугольнике ABC угол C равен 30°, AD — биссектриса, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
    \(\angle CAD=\angle DAB=22^\circ.\)[NEWLINE] \(\angle ADB\) — внешний угол \(\triangle ADC,\) а значит равен сумме двух других углов, не смежных с ним:[NEWLINE] \(\angle ADB=30^\circ+22^\circ=52^\circ\)
    Задание 1
    Solution image 0
    В треугольнике ABC угол C равен 30°, AD — биссектриса, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
  • [image:0:right]На координатной плоскости изображены вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}.$ Найдите длину вектора $\vec{a}+2\vec{b}.$
    Координаты вектора это как бы его перемещения по плоскости. Поэтому:[NEWLINE] $\vec{a}(1;-2), \vec{b}(-3;1).$ Тогда $2\vec{b}(-6;2).$[NEWLINE] $\vec{a}+2\vec{b}=\vec{c}(-5;0).$[NEWLINE] [NEWLINE] Теперь найдём длину этого вектора по формуле:[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} $$[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = \sqrt{25} $$[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = 5 $$
    Задание 2.1
    Solution image 0
    На координатной плоскости изображены вектора \vec{a} и \vec{b}. Найдите длину вектора \vec{a}+2\vec{b}.
  • Даны векторы $\vec{a}(6;4)$ и $\vec{b}(6;5).$ Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}.$
    Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для \(\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.\) Тогда:[NEWLINE] $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}(12;9).$[NEWLINE] Тогда $|\vec{c}|=\sqrt{12^2+9^2}=15.$
    Задание 2.2
    Даны векторы \vec{a}(6;4) и \vec{b}(6;5). Найдите длину вектора \vec{a}+\vec{b}.
  • [image:0:right]Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
    Объём цилиндра: $V_ц=S_{осн}\cdot h$[NEWLINE] Объём конуса: $V_к=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h$[NEWLINE] По условию основания совпадают, а значит и их площади совпадают. Следовательно,[NEWLINE] $V_к=\frac{1}{3}V_ц=\frac{1}{3}\cdot 150=50.$
    Задание 3
    Solution image 0
    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
  • Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
    [image:0:right]Такие задачи удобно решать с помощью числовой прямой. Нам необходимо отрезок, отмеченный красным на рисунке, так как эта числовая прямая является множеством всех событий. А этот отрезок и есть искомый вопрос задачи. А найти его можно по выражению:[IMAGENEWLINE] $P=0,94-0,87=0,07$
    Задание 4
    Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
  • В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
    Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий. [NEWLINE] В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятность. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись: [NEWLINE] \(P=\frac{8}{25}\cdot\frac{6}{24}+\frac{6}{25}\cdot\frac{8}{24}.\) [NEWLINE] Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:[NEWLINE] \(P=2\cdot\frac{8}{25}\cdot\frac{6}{24}=2\cdot0,08=0,16.\)
    Задание 5
    В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
  • Найдите корень уравнения $\sqrt{2x + 73} = 9$.
    $\sqrt{2x + 73} = 9$ [NEWLINE] Возводим обе части в квадрат: [NEWLINE] $2x + 73 = 81$ [NEWLINE] $2x = 81 - 73 = 8$ [NEWLINE] $x = 4$
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \sqrt{2x + 73} = 9 .
  • Найдите значение выражения $\dfrac{(6\sqrt{7})^2}{9}$
    $(6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252$ [NEWLINE] $\dfrac{252}{9} = 28$
    Задание 7.1
    Найдите значение выражения \dfrac{(6\sqrt{7})^2}{9}
  • Найдите $\operatorname{tg} x$, если $\cos x = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$, при $x \in [0; \pi]$.
    $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = $$1 - \left(\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)^2 = $$1 - \frac{25 \cdot 26}{676} = $$1 - \frac{650}{676} = \frac{26}{676} = \frac{1}{26} $[NEWLINE] $ \sin x = \sqrt{\frac{1}{26}} = $$\frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $[NEWLINE] Т.к. $x \in [0; \pi]$, и $\cos x > 0$, то $x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ ⇒ $\sin x > 0$[NEWLINE] $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = $$\frac{\dfrac{\sqrt{26}}{26}}{\dfrac{5\sqrt{26}}{26}} = \frac{1}{5}=0,2 $
    Задание 7.2
    Найдите \operatorname{tg} x , если \cos x = \dfrac{5\sqrt{26}}{26} , при x \in [0; \pi] .
  • На рисунке изображён график производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(-7;14).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке $[-6;9]$[image:0]
    Заметим, что указан график производной функции и просят найти количество точек максимума. Напомню, что точки максимума — такие точки, в которых производная меняет свой знак с "плюса" на "минус". [NEWLINE] Таких точек всего $3,$ но, учитывая, отрезок $[-6;9],$ остаётся только две (см. рис) [image:1]
    Задание 8
    На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6;9] Solution image 0
  • Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $4{,}104 \cdot 10^{27} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
    Выразим $T$:[NEWLINE] $P = \sigma S T^4 \quad |:\sigma S$[NEWLINE] $T^4 = \frac{P}{\sigma S} \quad |\sqrt[4]{}$[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$[NEWLINE] Подставляем значения:[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{4{,}104 \cdot 10^{27}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{18} \cdot 10^{21}}} = $$\sqrt[4]{\frac{4{,}104 \cdot 10^{27} \cdot 18}{5{,}7 \cdot 10^{13}}} = $$\sqrt[4]{\frac{4104 \cdot 18 \cdot 10^{14}}{5700}} = $$\sqrt[4]{0{,}72 \cdot 18 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{12{,}96 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{1296 \cdot 10^{12}} = $$\sqrt[4]{6^4 \cdot 10^{12}} = $$6 \cdot 10^3 = 6000$
    Задание 9
    Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому P = \sigma S T^4 , где P — мощность излучения звезды (в ваттах), \sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \frac{1}{18} \cdot 10^{21} \, \text{м}^2 , а мощность её излучения равна 4{,}104 \cdot 10^{27} \, \text{Вт} . Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
  • Имеется два сплава. Первый содержит 80 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 40 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
    1) Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сплав} & \text{Масса (кг)} & \text{Процент никеля} & \text{Масса никеля (кг)} \\ \hline \text{Первый} & x & 80 & 0{,}8x \\ \hline \text{Второй} & y & 30 & 0{,}3y \\ \hline \text{Третий} & 250 & 40 & 0{,}4 \cdot 250 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] 2) Составляем систему уравнений и решаем:[NEWLINE] \[ \begin{cases} x + y = 250 \\ 0{,}8x + 0{,}3y = 0{,}4 \cdot 250 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x + y = 250 \\ 0{,}8x + 0{,}3y = 100 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x + y = 250 \\ 8x + 3y = 1000 \end{cases} \][NEWLINE] 3) Вычитаем из нижнего верхнее, умноженное на 3: [NEWLINE] Умножим первое уравнение на 3: $3x + 3y = 750$ [NEWLINE] Вычтем: [NEWLINE] $(8x + 3y) - (3x + 3y) = 1000 - 750$ [NEWLINE] $5x = 250$ [NEWLINE] $x = 50$[NEWLINE] Тогда: [NEWLINE] $y = 250 - 50 = 200$[NEWLINE] В ответе просят указать, на сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго:[NEWLINE] \[ y - x = 200 - 50 = 150 \]
    Задание 10
    Имеется два сплава. Первый содержит 80 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 40 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
  • [image:0:right]На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c,$ где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-7).$
    Заметим, что $f(0)=-3\rightarrow c=-3.$[NEWLINE] Возьмём две точки и восстановим оставшиеся коэффициенты. Например, $(-3;0)$ и $(1;0):$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \(\begin{cases} 0=9a-3b-3|:3 \\ 0=a+b-3 \end{cases}\)\(\begin{cases} 3a-b-1=0 \\ a+b-3=0 \end{cases}\)[NEWLINE] Складываем верхнее с нижним:[NEWLINE] $3a-b-1+a+b-3=0$[NEWLINE] $4a=4$[NEWLINE] $a=1\rightarrow b=3-1=2.$[NEWLINE] Значит $f(x)=x^2+2x-3$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда $f(-7)=49-14-3=32.$
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax^2+bx+c, где числа a,b и c — целые. Найдите значение f(-7).
  • Найдите точку минимума функции $y = 1{,}5x^2 - 30x + 48 \cdot \ln x + 4$.
    $(u + v)' = u' + v' \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}$[NEWLINE] $(x^n)' = n x^{n-1} \qquad x' = 1 \qquad C' = 0 \qquad (C u)' = C u'$[NEWLINE] 1) Найдём производную:[NEWLINE] $y' = \left(1{,}5x^2 - 30x + 48 \cdot \ln x + 4\right)' $$= (1{,}5x^2)' - (30x)' + (48 \ln x)' + 4' $$= 1{,}5 \cdot 2x - 30 + 48 \cdot \frac{1}{x} + 0 =$$ 3x - 30 + \frac{48}{x}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Найдём нули производной:[NEWLINE] $3x - 30 + \frac{48}{x} = 0 \quad | \cdot x > 0$[NEWLINE] $3x^2 - 30x + 48 = 0 \quad | :3$[NEWLINE] $x^2 - 10x + 16 = 0$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} &x_1 = 8 \\& x_2 = 2 \\\end{aligned}\right. $[NEWLINE] $x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)$[NEWLINE] [image:0:right]3) Нанесём на числовую прямую и найдём знаки производной: [IMAGENEWLINE] Определив, знаки производной, заметим, что точка минимума будет при $x=8,$ так как там происходит смена знака с $-$ на $+$
    Задание 12.1
    Найдите точку минимума функции y = 1{,}5x^2 - 30x + 48 \cdot \ln x + 4 .
  • Найдите точку максимума функции $y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2$.
    1) Найдём область определения функции:[NEWLINE] $D(y): \quad 2 + 2x - x^2 \gt 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 2 \gt 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 \lt 0$[NEWLINE] Корни: $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ [NEWLINE] $D(y): \left(1 - \sqrt{3};\; 1 + \sqrt{3}\right)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Найдём производную:[NEWLINE] Пусть $u = 2 + 2x - x^2$, тогда $y = \log_2 u - 2$, [NEWLINE] $y' = \dfrac{1}{u \ln 2} \cdot u'$, [NEWLINE] $u' = 2 - 2x = 2(1 - x)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $y' = \frac{2(1 - x)}{(2 + 2x - x^2)\ln 2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Знаменатель > 0 на $D(y)$, $\ln 2 \gt 0$, знак $y'$ определяется числителем: [NEWLINE] $y' = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [image:0:right]3) Определим знаки производной.[IMAGENEWLINE] При $x=1$ происходит смена знаков производной с $+$ на $-.$ Следовательно, $x_{\max} = 1$
    Задание 12.2
    Найдите точку максимума функции y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2 .
  • а) Решите уравнение $\sin^2 x + \cos^2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\; \dfrac{15\pi}{2}\right].$
    $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $[NEWLINE] $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = $$\cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$[NEWLINE] $ \left(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^2 = $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\cos x - \sin x)^2 = $$\dfrac{1}{2}(\cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x) = $$\dfrac{1}{2}(1 - 2\cos x \sin x) $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] $ \sin^2 x + \dfrac{1}{2}(1 - 2\cos x \sin x) = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \sin^2 x + \dfrac{1}{2} - \cos x \sin x = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \sin^2 x - \cos x \sin x = 0 $[NEWLINE] $ \sin x (\sin x - \cos x) = 0 $[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\sin x = 0$[NEWLINE]$x = \pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$ \sin x - \cos x=0|:\cos x$[NEWLINE]$tgx=1$[NEWLINE]$ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\; \dfrac{15\pi}{2}\right].$[IMAGENEWLINE] $x_1 = 7\pi$[IMAGENEWLINE] $x_2 = 7\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{29\pi}{4}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $7\pi, \frac{29\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 13.1
    а) Решите уравнение \sin^2 x + \cos^2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\dfrac{13\pi}{2};\; \dfrac{15\pi}{2}\right].
  • а) Решите уравнение: $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x)$.[NEWLINE] б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-3\pi;\; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
    $\log_a f=\log_a g \Leftrightarrow \begin{cases} f=g \\ f \gt 0 / g \gt 0 \end{cases}$[NEWLINE] $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x)$[NEWLINE] $ \begin{cases} \sin 2x = \sqrt{2} \cos x \\ \sqrt{2} \cos x > 0 \end{cases} $ [NEWLINE] $ \begin{cases} 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x=0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] $ \begin{cases} \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] 1) $\cos x = 0 $ — не подходит [NEWLINE] 2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ [NEWLINE] $ x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверим $\cos x > 0$: [NEWLINE] — $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0$ — подходит [NEWLINE] — $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} < 0$ — не подходит[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Итого: $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.[IMAGENEWLINE] $x_1 = -2\pi+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{4}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $-\dfrac{7\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 13.2
    а) Решите уравнение: \log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x) .
    б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[-3\pi;\; -\dfrac{3\pi}{2}\right] .
  • а) Решите уравнение: $\log_3(\sin 2x) = \log_3(\sqrt{3} \cos x)$. [NEWLINE] б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;\; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
    $\log_a f = \log_a g \Leftrightarrow \begin{cases} f = g \\ f > 0,\ g > 0 \end{cases}$[NEWLINE] $\log_3(\sin 2x) = \log_3(\sqrt{3} \cos x)$[NEWLINE] $ \begin{cases} \sin 2x = \sqrt{3} \cos x \\ \sqrt{3} \cos x > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} \cos x \, (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 1) $\cos x = 0$ — не подходит (нарушает ОДЗ) [NEWLINE] 2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$[NEWLINE] \[ x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\in Z \][NEWLINE] Проверим полученные корни на ОДЗ $\cos x > 0$: [NEWLINE] — $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $\cos x = \dfrac{1}{2} > 0$ — подходит [NEWLINE] — $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $\cos x=-\dfrac{1}{2} < 0$ — не подходит[NEWLINE] Значит ответ для пункта а: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [image:0:right]б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi;\; \dfrac{\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности:[IMAGENEWLINE] $x_1=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] [IMAGENEWLINE] а) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [IMAGENEWLINE] б) $\frac{\pi}{4}.$
    Задание 13.3
    а) Решите уравнение: \log_3(\sin 2x) = \log_3(\sqrt{3} \cos x) .
    б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\pi;\; \dfrac{\pi}{2}\right] .
  • а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$
    $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $[NEWLINE] $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = $$\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x)$[NEWLINE] $ \left(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^2 = $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\sin x - \cos x)^2 = $$\dfrac{1}{2}(\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) = $$\dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2} - \sin x \cos x = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $[NEWLINE] $ \cos x (\cos x - \sin x) = 0 $[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos x = 0$[NEWLINE]$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$ \cos x - \sin x=0|:\cos x$[NEWLINE]$tgx=1$[NEWLINE]$ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$[IMAGENEWLINE] $5\pi = \dfrac{10\pi}{2}, \quad 6\pi = \dfrac{12\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_1 = \dfrac{11\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_2 = 5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $\dfrac{11\pi}{2}, \dfrac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 13.4
    а) Решите уравнение \cos^2 x + \sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[5\pi;\; 6\pi\right].
  • В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка \(K\) — середина ребра B₁C₁. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки B, K и D.[NEWLINE] а) Докажите, что сечение куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренной трапецией. [NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости \(\alpha\), если ребро куба равно 3.
    [image:0:right]Построим плоскость $\alpha:$[IMAGENEWLINE] 1) Соединим $K$ и $B,$ а также $B$ и $D;$[IMAGENEWLINE] 2) Так как плоскость пересекает параллельные верхнюю и нижнюю грани, то линии их пересечения параллельны $BD||KM.$[IMAGENEWLINE] 3) $BDMK$ — искомая плоскость $\alpha.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] $BDMK$ — трапеция $(BD||MK).$ Осталось доказать, что она равнобедренная. Для этого необходимо условие: $BK=MD.$ Докажем его.[IMAGENEWLINE] Для начала докажем, что $\triangle BB_1K=\triangle DD_1M.$[IMAGENEWLINE] 1) $DD_1=BB_1$ ($ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб)[IMAGENEWLINE] 2) Так как $BD||B_1D_1,$ то $B_1D_1||KM\rightarrow M$ — середина $C_1D_1.$[IMAGENEWLINE] 3) Так как в основании лежит квадрат, то $B_1C_1=C_1D_1\rightarrow B_1K=MD_1$[IMAGENEWLINE] $\angle BB_1K=\angle DD_1M=90^\circ$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $\triangle BB_1K=\triangle DD_1M.$ по двум сторонам и углу между ними.[IMAGENEWLINE] Значит $MD=BK \Rightarrow BDMK$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Проведём необходимые дополнительные построения:[IMAGENEWLINE] 1) Продолжим плоскости $\alpha,(DCC_1),(BCC_1)$ до их пересечения в точке $S.$[IMAGENEWLINE] 2) Проведём $A_1C_1$ и $SP,$ после чего проведём $C_1H$ — искомое расстояние, которое является высотой, проведенной из прямого угла, так как $SC_1\perp A_1C_1.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $C_1H=\frac{C_1P\cdot SC_1}{SP}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $B_1K=KC_1=C_1M=MD_1=\frac{3}{2}$[IMAGENEWLINE] $B_1D=3\sqrt{2}$ как диагональ квадрата.[IMAGENEWLINE] $KM=\frac{3\sqrt2}{2}$ как средняя линия равнобедренного треугольника $\triangle B_1C_1D_1.$[IMAGENEWLINE] Так как $A_1C_1 \perp B_1D_1$ и $C_1P\in A_1C_1,$ то $KP=PM=\frac{1}{2}KM=\frac{3\sqrt2}{4}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $C_1M||DC,\quad C_1M=\frac{1}{2}DC\Rightarrow C_1M$ — средняя линия треугольника $\triangle SDC\rightarrow SC_1=3.$[IMAGENEWLINE] Найдём $C_1P$ по теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $C_1P=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{3\sqrt2}{4})^2}=\frac{3\sqrt2}{4}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $SP=\sqrt{(\frac{3\sqrt2}{4})^2+3^2}=\frac{9\sqrt2}{4}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $C_1H=\frac{\frac{3\sqrt2}{4}\cdot3}{\frac{9\sqrt2}{4}}=1.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD] б) 1.
    Задание 14.1
    В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра B₁C₁. Плоскость \alpha проходит через точки B, K и D.
    а) Докажите, что сечение куба плоскостью \alpha является равнобедренной трапецией.
    б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости \alpha , если ребро куба равно 3.
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра A₁B₁. Плоскость $\alpha$ проходит через точки A, K и C.[NEWLINE] а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
    [image:0:right]а) Доказательство[IMAGENEWLINE] 1. Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, то плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.[IMAGENEWLINE] 2. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости. По свойству параллельных плоскостей, линии пересечения параллельны.[IMAGENEWLINE] * В нижнем основании линия пересечения — это $AC$.[IMAGENEWLINE] * В верхнем основании линия пересечения проходит через точку $K$. Обозначим точку пересечения с ребром $B_1C_1$ как $M$.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $KM \parallel AC$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 3. Так как в основании лежит правильный треугольник, $AC \parallel A_1C_1$. Отсюда следует, что $KM \parallel A_1C_1$.[IMAGENEWLINE] 4. Так как $K$ — середина $A_1B_1$ и $KM \parallel A_1C_1$, то по теореме Фалеса (или как средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$), $M$ является серединой $B_1C_1$.[IMAGENEWLINE] * Значит, $KM$ — средняя линия $\triangle A_1B_1C_1$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 5. Отрезки $B_1M = C_1M = A_1K = KB_1$ .[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1K$ и $\triangle CC_1M$:[IMAGENEWLINE] * $AA_1 = CC_1$ (боковые ребра призмы).[IMAGENEWLINE] * $\angle AA_1K = \angle CC_1M = 90^\circ$.[IMAGENEWLINE] * $A_1K = C_1M $.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $\triangle AA_1K = \triangle CC_1M$ по двум катетам (I признак равенства).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 7. Из равенства треугольников следует, что гипотенузы равны: $AK = CM$.[IMAGENEWLINE] 8. Четырехугольник $AKMC$ — трапеция (так как $KM \parallel AC$), у которой боковые стороны равны ($AK = CM$).[IMAGENEWLINE] Следовательно, $AKMC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Для нахождения расстояния удобно рассмотреть вспомогательную точку $S$. Продолжим прямые $AK$ и $CM$ до пересечения с продолжением ребра $BB_1$ в точке $S$. Плоскость сечения совпадает с плоскостью треугольника $SAC$.[IMAGENEWLINE] 1. Искомое расстояние обозначим как $B_1H$ (перпендикуляр от $B_1$ до плоскости $SAC$).[IMAGENEWLINE] 2. Вспомогательные отрезки:[IMAGENEWLINE] * $B_1K = \frac{1}{2} A_1B_1 = 3$.[IMAGENEWLINE] * Опустим перпендикуляр из $B_1$ на $KM$ в плоскости верхнего основания. Обозначим основание перпендикуляра как $P$.[IMAGENEWLINE] * $B_1P$ — половина высоты правильного треугольника со стороной 6 (или высота треугольника $KB_1M$ со стороной 3).[IMAGENEWLINE] * $B_1P = \frac{1}{2} h_{\text{осн}} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (так как $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$).[IMAGENEWLINE] 3. Отрезок $SB_1$:[IMAGENEWLINE] * $SB_1 = \frac{1}{2} SB = 6$, так как $KB_1$ — средняя линия (из равенства $\triangle AA_1K = \triangle SB_1K$).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 4. Вычисление гипотенузы $SP$ в $\triangle SB_1P$:[IMAGENEWLINE] * Треугольник $SB_1P$ прямоугольный ($SB_1 \perp (A_1B_1C_1) \Rightarrow SB_1 \perp B_1P$).[IMAGENEWLINE] * По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $SP = \sqrt{SB_1^2 + B_1P^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}$[IMAGENEWLINE] $SP = \sqrt{36 + \frac{27}{4}} = \sqrt{4 \cdot 9 + \frac{9 \cdot 3}{4}}= \frac{3}{2}\sqrt{19}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 5. Вычисление расстояния $B_1H$:[IMAGENEWLINE] * Из прямоугольного треугольника $SB_1P$ находим высоту, опущенную на гипотенузу (это и есть искомое расстояние от $B_1$ до плоскости $SPK$, которая является частью плоскости сечения):[IMAGENEWLINE] $B_1H = \frac{SB_1 \cdot B_1P}{SP}$[IMAGENEWLINE] $B_1H = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6}{\frac{3}{2}\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$[IMAGENEWLINE] * Избавляемся от иррациональности в знаменателе:[IMAGENEWLINE] $B_1H = \frac{6}{19}\sqrt{57}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\frac{3\sqrt{33}}{11}$
    Задание 14.2
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра A₁B₁. Плоскость \alpha проходит через точки A, K и C.
    а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \alpha является равнобедренная трапеция.
    б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра AB₁. Плоскость $\alpha$ проходит через точки A, K и C.[NEWLINE] а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
    [image:0:right]а) [IMAGENEWLINE] 1. Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, то плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.[IMAGENEWLINE] 2. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости. По свойству параллельных плоскостей, линии пересечения параллельны.[IMAGENEWLINE] * В нижнем основании линия пересечения — это $AC$.[IMAGENEWLINE] * В верхнем основании линия пересечения проходит через точку $K$. Обозначим точку пересечения с ребром $B_1C_1$ как $M$.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $KM \parallel AC$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 3. Так как в основании лежит правильный треугольник, $AC \parallel A_1C_1$. Отсюда следует, что $KM \parallel A_1C_1$.[IMAGENEWLINE] 4. Так как $K$ — середина $A_1B_1$ и $KM \parallel A_1C_1$, то по теореме Фалеса (или как средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$), $M$ является серединой $B_1C_1$.[IMAGENEWLINE] * Значит, $KM$ — средняя линия $\triangle A_1B_1C_1$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 5. Отрезки $B_1M = C_1M = A_1K = KB_1$ (так как это правильная призма и $K, M$ — середины).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1K$ и $\triangle CC_1M$:[IMAGENEWLINE] * $AA_1 = CC_1$ (боковые ребра призмы).[IMAGENEWLINE] * $\angle AA_1K = \angle CC_1M = 90^\circ$.[IMAGENEWLINE] * $A_1K = C_1M$.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $\triangle AA_1K = \triangle CC_1M$ по двум катетам (I признак равенства).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 7. Из равенства треугольников следует, что гипотенузы равны: $AK = CM$.[IMAGENEWLINE] 8. Четырехугольник $AKMC$ — трапеция (так как $KM \parallel AC$), у которой боковые стороны равны ($AK = CM$).[IMAGENEWLINE] Следовательно, $AKMC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости сечения введем вспомогательную точку $S$. Продолжим прямые $AK$ и $CM$ до пересечения с продолжением ребра $BB_1$ в точке $S$. Плоскость сечения совпадает с плоскостью треугольника $SAC$.[IMAGENEWLINE] 1. Искомое расстояние в решении обозначим как $BK$ (перпендикуляр от $B$ до плоскости $SAC$).[IMAGENEWLINE] 2. Отрезок $SB$:[IMAGENEWLINE] * Так как $KB_1$ — средняя линия ($KB_1 \parallel AB$ и $KB_1 = \frac{1}{2}AB$), то из подобия треугольников следует, что $SB = 2 BB_1$.[IMAGENEWLINE] * $SB = 2 \cdot 6 = 12$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 3. Вычисление гипотенузы $SP$:[IMAGENEWLINE] * Рассматривается прямоугольный треугольник с катетами $SB$ и расстоянием до линии пересечения.[IMAGENEWLINE] * $BP=3\sqrt{3}$ как высота равностороннего треугольника.[IMAGENEWLINE] * По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $SP = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 + 12^2}=\sqrt{171}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 4. Вычисление расстояния $BK$:[IMAGENEWLINE] * Используя формулу для высоты прямоугольного треугольника (произведение катетов на гипотенузу), где катеты $BP = 3\sqrt{3}$ (высота основания) и $SB = 12$:[IMAGENEWLINE] $BK = \frac{BP \cdot SB}{SP}$[IMAGENEWLINE] $BK = \frac{3\sqrt{3} \cdot 12}{\sqrt{171}} = \frac{36}{\sqrt{57}} $$= \frac{12\sqrt{57}}{19}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $ \frac{12\sqrt{57}}{19}$
    Задание 14.3
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра AB₁. Плоскость \alpha проходит через точки A, K и C.
    а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \alpha является равнобедренная трапеция.
    б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
  • Решите неравенство $(\log_{36} x + 1) \cdot \left(\dfrac{1}{\log_{36} x} + 1\right) \le \log_{36} x$.
    ОДЗ: [NEWLINE] $ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{36} x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow $[NEWLINE] $x \in (0;1) \cup (1;+\infty)$[NEWLINE] Пусть $y = \log_{36} x$: $ (y + 1)\left(\frac{1}{y} + 1\right) \le y $[NEWLINE] $ (y + 1)\left(\frac{1 + y}{y}\right) = \frac{(y + 1)^2}{y} \le y $[NEWLINE] $ \frac{(y + 1)^2}{y} - y \le 0 \Rightarrow \frac{(y + 1)^2 - y^2}{y} \le 0 $[NEWLINE] $ \frac{y^2 + 2y + 1 - y^2}{y} = \frac{2y + 1}{y} \le 0 $[NEWLINE] $ \frac{2y + 1}{y} \le 0 $[NEWLINE] Вернёмся к искомой переменной, ведём функцию и рассмотрим её нули:[NEWLINE] $\frac{2\log_{36}x+1}{\log_{36}x} \leq0$[NEWLINE] $\frac{2\log_{36}x+1}{\log_{36}x} =0$[NEWLINE] \(\begin{cases} 2\log_{36}x+1=0 \\ \log_{36}x=0 \end{cases} \Rightarrow\)\(\begin{cases} \log_{36}x=-\frac{1}{2} \\ x=36^0 \end{cases} \Rightarrow\)\(\begin{cases} x=\frac{1}{6} \\ x=1 \end{cases}\)[NEWLINE] $\Leftrightarrow$[NEWLINE] $\frac{x-\frac{1}{6}}{x-1} \leq 0$[NEWLINE] [image:0:right]Наносим на числовую прямую с учётом ОДЗ.[IMAGENEWLINE] Тогда $x \in [\frac{1}{6};1)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in [\frac{1}{6};1)$
    Задание 15.1
    Решите неравенство (\log_{36} x + 1) \cdot \left(\dfrac{1}{\log_{36} x} + 1\right) \le \log_{36} x .
  • Решите неравенство \[ \log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \le \log_{x+1} x. \]
    ОДЗ: [NEWLINE] $ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \ne 1 \\ x^2 - 5x + 7 > 0\quad (D \lt 0)\\ x > 0 \end{cases}\Rightarrow $$ \begin{cases} x > -1 \\ x \ne 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow $ $x > 0$[NEWLINE] $x \in (0; +\infty)$.[NEWLINE] Т.к. $x > 0$, то $x + 1 \gt 1$ ⇒ основание логарифма > 1 ⇒ функция возрастает, значит:[NEWLINE] $ \log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \le \log_{x+1} x \quad $$\Leftrightarrow $$\quad x^2 - 5x + 7 \le x $[NEWLINE] $ x^2 - 6x + 7 \le 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём нули функции: [NEWLINE] $ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = $$\frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = $$\frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = $$3 \pm \sqrt{2} $[NEWLINE] $ (x - (3 - \sqrt{2}))(x - (3 + \sqrt{2})) \le 0 \Rightarrow $$x \in [3 - \sqrt{2};\; 3 + \sqrt{2}] $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Учитывая ОДЗ $x > 0$, весь отрезок в ОДЗ.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in \left[3 - \sqrt{2};\; 3 + \sqrt{2}\right]$
    Задание 15.2
    Решите неравенство \log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \le \log_{x+1} x.
  • Решите неравенство: $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $
    Запишем ОДЗ неравенства[NEWLINE] $$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ \frac{4}{x} > 0 \\ x \neq 0 \\ \log_2 x^2 \neq 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$[NEWLINE] [NEWLINE] Итоговая ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $[NEWLINE] Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:[NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - (\log_2 4 - \log_2 x) \leqslant \frac{38}{2 \log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - 2 + \log_2 x \leqslant \frac{19}{\log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] Пусть $\log_2 x = t$:[NEWLINE] $ \frac{4}{t} - 2 + t \leqslant \frac{19}{t} $[NEWLINE] $ \frac{4 - 2t + t^2 - 19}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t^2 - 2t - 15}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{(t+3)(t-5)}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Сделаем обратную замену:[NEWLINE] $\frac{(\log_{2}x+3)(\log_{2}x-5)}{\log_{2}x} \leqslant 0$[NEWLINE] Введём функцию и найдём её нули:[NEWLINE] $\log_{2}x+3=0$[NEWLINE] $x=\frac{1}{8}$[NEWLINE] $\log_{2}x-5=0$[NEWLINE] $x=32$[NEWLINE] $\log_{2}x=0$[NEWLINE] $x=1$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Собираем неравенство заново:[NEWLINE] $\frac{(x-\frac{1}{8})(x-5)}{x-1} \leqslant 0$[NEWLINE] [image:0:right]Решим полученное неравенство методом интервалов[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$
    Задание 15.3
    Решите неравенство: \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2}
  • В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE] Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 150 000 рублей, во второй год — 180 000 рублей.
    $A = 250$ тыс. руб. [NEWLINE] $n = 2$ года [NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A = 250 & A k & 150 \\ \hline 2 & A k - 150 & (A k - 150)k & 180 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] После второго платежа долг = 0: \[ (Ak - 150)k - 180 = 0 \][NEWLINE] Подставим $A = 250$: \[ (250k - 150)k - 180 = 0 \Rightarrow 250k^2 - 150k - 180 = 0 \][NEWLINE] \[ 25k^2 - 15k - 18 = 0 \][NEWLINE] \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-18) = 225 + 1800 = 2025 = 45^2 \][NEWLINE] $k = \frac{15 \pm 45}{50}$[NEWLINE] $k_1 = \frac{60}{50} = 1{,}2,\quad k_2 = \frac{-30}{50} = -0{,}6 $ [NEWLINE] $ k = 1{,}2 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow $$\frac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow $$r = 20 $[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
    Задание 16.1
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
    Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 150 000 рублей, во второй год — 180 000 рублей.
  • В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; [NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей; [NEWLINE] — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; [NEWLINE] — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
    Обозначим: [NEWLINE] $A = 6{,}6$ (млн руб.), [NEWLINE] $n = 5$, [NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$, [NEWLINE] $y$ — выплата в 2027–2029 гг., [NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 гг.[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 2027 & A & A k & y & A \\ \hline 2028 & A & A k & y & A \\ \hline 2029 & A & A k & y & A \\ \hline 2030 & A & A k & x & A k - x \\ \hline 2031 & A k - x & (A k - x)k & x & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Из первой строки: $A k - y = A \Rightarrow y = A(k - 1)$[NEWLINE] Из последней строки: $(A k - x)k - x = 0 \Rightarrow A k^2 - x k - x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{A k^2}{k + 1}$[NEWLINE] Общая сумма выплат: $ 3y + 2x = 3A(k - 1) + 2 \cdot \frac{A k^2}{k + 1} = 12{,}6 $[NEWLINE] Подставим $A = 6{,}6$:[NEWLINE] $ 3 \cdot 6{,}6 (k - 1) + \frac{2 \cdot 6{,}6 \cdot k^2}{k + 1} = 12{,}6 $[NEWLINE] $ 3(k - 1) + \frac{2k^2}{k + 1} = \frac{12{,}6}{6{,}6} = \frac{126}{66} = \frac{21}{11} $[NEWLINE] $ 3(k - 1)(k + 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1) $[NEWLINE] $ 3(k^2 - 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1) $[NEWLINE]$ 5k^2 - 3 = \frac{21}{11}k + \frac{21}{11} $[NEWLINE] $ 55k^2 - 33 = 21k + 21 $[NEWLINE] $ 55k^2 - 21k - 54 = 0 $[NEWLINE] $ D = (-21)^2 + 4 \cdot 55 \cdot 54 = 111^2 $[NEWLINE] $ k = \frac{21 \pm 111}{110} \Rightarrow $$k_1 = \frac{132}{110} = 1{,}2,$$ k_2 = \frac{-90}{110} < 0 $[NEWLINE] $ k = 1{,}2 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow r = 20 $[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
    Задание 16.2
    В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
    — выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
    — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

    Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
  • В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.[NEWLINE] а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.[NEWLINE] б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$.
    [image:0:right]а) $MN$ — средняя линия по определению. Следовательно, $MN||AC.$ Отсюда следует, что $\angle LAC = \angle MNA$ как накрест лежащие углы при $MN||AC$ и $AL$ — секущей.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Опишем окружность около треугольника $\triangle ABC$ с центром в точке $M \rightarrow AB$ — диаметр. Заметим, что точка $L$ принадлежит окружности, так как $AL$ — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами. [IMAGENEWLINE] Из этого следует, что $BL=LC \Rightarrow \triangle BLC$ — равнобедренный. Причём, $\angle LBC=\angle LCB.$ При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $\angle LBC = \angle LCB = \angle LAC = \angle MAL \Rightarrow$ $\triangle BLC \sim \triangle MAL$ по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] $\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}= \frac{7}{25}.$ Пусть $AC=7x,AB=25x.$[IMAGENEWLINE] Найдём $\cos \angle BAL$ как косинус половинного угла:[IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \rightarrow$ $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \angle BAC}{2}} =\frac{4}{5}.$ [IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\cos \angle BAL = \frac{AL}{AB}, $ так как $\angle ALB=90^\circ$ как вписанный угол, опирающий на диаметр $AB.$ Пусть $AL=4y, AB=5y.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Тогда $25x=5y \Leftrightarrow y=5x.$[IMAGENEWLINE] Тогда $AL=4\cdot5x=20x.$ [IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора для $\triangle ABL$, $BL=15x.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда из подобия треугольников следует, что $\frac{AM}{BL}=k,$ где $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}x.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] $\frac{AM}{BL}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}=k.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\frac{S_{AML}}{S_{BLC}}=k^2=(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{36}.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD] б) $\frac{25}{36}$
    Задание 17
    В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
    а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
    б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \cos \angle BAC = \frac{7}{25} .
  • Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система [NEWLINE] \(\begin{cases} |x-a|+|y|=2 \\ y=\sqrt{4-x^2} \end{cases}\)[NEWLINE] имеет ровно одно решение.
    [BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $y=\sqrt{4-x^2}:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=\sqrt{4-x^2} \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y^2=4-x^2$[NEWLINE] $x^2+y^2=2^2 \Rightarrow$ окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $R=2,$ ограниченная снизу $(y\geq0).$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $ |x-a|+|y|=2:$[NEWLINE] Раскроем модули для 4-х случаев:[NEWLINE] $1)$ \(\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \geq a \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=-x+a+2$[NEWLINE] $2)$ \(\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \lt 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \geq a \\ y \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=x-a-2$[NEWLINE] $3)$ \(\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \lt a \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=x-a+2$[NEWLINE] $4)$ \(\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \lt 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \lt a \\ y \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=-x+a-2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Графиком является перемещающийся по оси $Ox$ ромб (квадрат, в частности).[NEWLINE] [image:0][NEWLINE] Заметим, что случаи $I$ и $IV$ на графике получается при пересечении квадратом точек $(2;0), (-2;0)$ прямыми $y=x-a+2$ и $y=-x+a+2$ соответственно. Подставим эти точки в уравнения и найдём $a:$[NEWLINE] $I:$ $0=2-a+2\Rightarrow a=4$[NEWLINE] $IV.$ $0=-(-2)+a+2 \Rightarrow a=-4$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Случай $II$ — касание квадрата с окружностью левым верхним ребром, то есть с прямой $y=x-a+2:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=x-a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}\)[NEWLINE] $(x-a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a+4)x-4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(-2a+4)^2-4\cdot2(-4a+a^2)=-4a^2+16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2+16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_1=2+2\sqrt{2} \\& a_2=2-2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_1$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$ Следовательно, $a=2-\sqrt{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Случай $III$ — касание квадрата с окружностью правым верхним ребром, то есть с прямой $y=-x+a+2:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=-x+a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}\)[NEWLINE] $(-x+a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a-4)x+4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(2a+4)^2-4\cdot2(4a+a^2)=-4a^2-16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2-16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_3=-2-2\sqrt{2} \\& a_4=-2+2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_3$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$[NEWLINE] Следовательно, $a=-2+\sqrt{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяем случаи: $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$
    Задание 18
    Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система
    \begin{cases} |x-a|+|y|=2 \\ y=\sqrt{4-x^2} \end{cases}
    имеет ровно одно решение.