Демо вариант ЕГЭ 2027

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 22, вписана окружность, $AB = 8$. Найдите длину стороны $CD$
    В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: [NEWLINE] \[ AB + CD = BC + AD \][NEWLINE] Периметр: \[ AB + BC + CD + DA = 22 \][NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \[ (AB + CD) + (BC + AD) = 22 \Rightarrow 2(AB + CD) = 22 \][NEWLINE] \[ AB + CD = 11 \][NEWLINE] Известно, что $AB = 14$, значит: \[ 14 + CD = 11 \Rightarrow CD = 3 \]3
    Задание 1.1
    Solution image 0
    В четырёхугольник ABCD , периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8 . Найдите длину стороны CD
  • [image:0:right]Площадь треугольника ABC равна 60. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
    Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как \( DE \) — это средняя линия, она делит треугольник \( ABC \) на два меньших треугольника, один из которых является треугольником \( CDE \). Площадь треугольника \( CDE \) будет в 4 раза меньше площади треугольника \( ABC \), так как длины сторон треугольника \( CDE \) в 2 раза меньше. Площадь треугольника \( CDE \) можно вычислить следующим образом: [NEWLINE] \(S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 60 = 15. \) [NEWLINE] Теперь вычислим площадь трапеции \( ABED \): \( S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 60 - 15 = 45. \)
    Задание 1.2
    Solution image 0
    Площадь треугольника ABC равна 60. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
  • [image:0:right]В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
    \(\angle CAD=\angle DAB=23^\circ.\)[IMAGENEWLINE] \(\angle ADB\) — внешний угол \(/triangle ADC,\) а значит равен сумме двух других углов, не смежных с ним:[IMAGENEWLINE] \(\angle ADB=23^\circ+54^\circ=77^\circ\)
    Задание 1.3
    Solution image 0
    В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
  • [image:0:right]На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}.$
    [image:1:right]Найдем координаты векторов, достроив их до прямоугольных треугольников (разложение по базису, см. рис.).[IMAGENEWLINE] $\vec{a}(4;6)\quad \vec{b}(6;-2).$[IMAGENEWLINE] Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a}(x_a, y_a) \) и \( \vec{b}(x_b, y_b) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b \).[IMAGENEWLINE] \( \vec{a} \cdot \vec{b} =4 \cdot 6 + 6 \cdot (-2) = 12. \)
    Задание 2.1
    Solution image 0
    На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b} . Найдите скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{b}.
  • Даны векторы $\vec{a}(2; 2)$ и $\vec{b}(2; -2)$. Найдите длину вектора $7\vec{a}+\vec{b}.$
    $7\vec{a} = 7 \cdot (2; 2) = (14; 14)$[NEWLINE] $7\vec{a}(14; 14) + \vec{b}(2; -2) = \vec{c}(16; 12)$[NEWLINE] Длина вектора вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$:[NEWLINE] $|\vec{c}| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$
    Задание 2.2
    Даны векторы \vec{a}(2; 2) и \vec{b}(2; -2) . Найдите длину вектора 7\vec{a}+\vec{b}.
  • Даны векторы $\vec{a}(5; 3)$ и $\vec{b}(4; -6)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
    Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.[NEWLINE] Подставим координаты наших векторов:[NEWLINE] $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 + 3 \cdot (-6)$[NEWLINE] $\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 - 18$[NEWLINE] $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$[NEWLINE]
    Задание 2.3
    Даны векторы \vec{a}(5; 3) и \vec{b}(4; -6) . Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b} .
  • [image:0:right]Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
    Боковая поверхность данной призмы состоит из параллелограммов, которые делятся ровно пополам плоскостью. Так же уменьшается ровно в 2 раза грань, через которую не проходит плоскость, потому что это все еще плоскость, проходящая через среднюю линию оснований. Поэтому площадь боковой поверхности исходной треугольной призмы будет больше ровно в 2 раза:[NEWLINE] $18\cdot2=36.$
    Задание 3.1
    Solution image 0
    Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
  • [image:0:right]В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=9, \quad BC=6, \quad AA_1=5$. Найдите объёммногогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
    Многогранник $ABCB_1$ это треугольная пирамида, основание — прямоугольный треугольник, высота $AA_1$, поэтому:[NEWLINE] $V_{ABCB_1}=\frac{1}{3}S_{осн}h=$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot6\cdot5=45.$
    Задание 3.2
    Solution image 0
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB=9, \quad BC=6, \quad AA_1=5 . Найдите объёммногогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , B_1 .
  • Шар, объем которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.
    Объем шара: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 18 \] [NEWLINE] Решаем относительно \( R^3 \): \[ R^3 = \frac{18 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{54}{4 \pi} \] [NEWLINE] Объем цилиндра: \[ V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h \] [NEWLINE] Так как высота цилиндра равна \( 2R \), получаем: \[ V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2 \pi R^3 \] [NEWLINE] Подставляем \( R^3 \): \[ V_{\text{цилиндра}} = 2 \pi \cdot \frac{54}{4 \pi} = 27 \]
    Задание 3.3
    Шар, объем которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.
    Изображение к заданию 27
  • В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».
    $P=\frac{80-56}{80}=\frac{24}{80}=0,3$
    Задание 4.1
    В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».
  • Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
    [image:0:right] Решать такие задания очень удобно с помощью числовой прямой. Нарисуем и обозначим: [IMAGENEWLINE] Получается, что нам нужно найти вот это расстояние между 15 и 20. То есть \(0,94-0,56=0,38.\) [BOLD]Это и будет ответом.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Если у вас возник вопрос "Почему?", то давайте попробуем логически прийти к этому выводу. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Данная числовая прямая объединяет в себе всевозможные вероятности. То есть если мы говорим про менее 15 пассажиров, то их явно менее 20, а значит в вероятность "меньше 20 пассажиров" входит вероятность "меньше 15 пассажиров" и вероятность "меньше 19 пассажиров, но больше 15 пассажиров". Тогда нам нужно это записать вот так:[IMAGENEWLINE] \(P(\text{меньше 20})=P(\text{больше 15, но меньше 19})+P(\text{меньше}15),\) где \(P(\text{больше 15, но меньше 19})\) - искомая вероятность. Отсюда \(P(\text{больше 15, но меньше 19})=P(\text{меньше 20})-P(\text{меньше 15})=0,26.\)
    Задание 4.2
    Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
  • В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.
    $P=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}=0,2$
    Задание 4.3
    В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.
  • Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
    Нам нужно попасть в две первые мишени и не попасть в две последние. Такая вероятность будет равна произведению вероятности этих событий, так как нам сказали "При каждом ОТДЕЛЬНОМ выстреле вероятность равна 0,9", что означает независимость событий. [NEWLINE] Пусть \(P(A)\) - вероятность попадания, тогда \(P(B)\) - вероятность промаха и она равна \(1-0,9=0,1\). Тогда искомая вероятность будет равна: [NEWLINE] $P(AABB)=P(A)\cdot P(A) \cdot P(B) \cdot P(B)=$$0,9\cdot0,9\cdot0,1\cdot0,1=0,0081$
    Задание 5.1
    Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
  • Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
    [image:0:left] Конвейер решается с помощью "Древа". Красные — из условия, Зеленые — посчитаны исходя из формулы полной вероятности.[IMAGENEWLINE] Нам нужны Исправные И Забракованные ИЛИ Неисправные И Забракованные (В теорвере "И" - действие "умножить", а "ИЛИ" - действие "сложить").[IMAGENEWLINE] Значит искомая вероятность будет равна: \(P=0,8\cdot0,05+0,2\cdot0,95=0,04+0,19=0,23.\)
    Задание 5.2
    Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
  • При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
    Такие задания удобно решать с помощью координатной прямой. [image:0:left] Тут нужно просто найти вероятность, которая находится между 790 и 810. Для этого мы для начала найдем обратную вероятность для события "масса окажется больше, чем 790 г": [IMAGENEWLINE] \(P(A)=0,82\) - вероятность события "масса окажется больше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) \) - вероятность обратного события, т.е. "масса окажется меньше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) = 1 - 0,82 = 0,18. \) [NEWLINE] Перерисуем. [NEWLINE] [image:1:left] Теперь просто вычитаем: \(0,96-0,18=0,78.\) Это и есть искомая вероятность, которую нас просят найти.
    Задание 5.3
    При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
  • Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 5000 & 10000 & 50000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 500 & 100 & 50 & 10 & 1 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
    Математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:[NEWLINE] \( M(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i, \) где $x_i$ — возможные значения величины (выигрыши), а $p_i$ — их вероятности.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем общий выигрышной фонд:[NEWLINE] Умножим размер каждого выигрыша на количество таких билетов:[NEWLINE] * $100 \cdot 500 = 50\,000$[NEWLINE] * $1000 \cdot 100 = 100\,000$[NEWLINE] * $5000 \cdot 50 = 250\,000$[NEWLINE] * $10\,000 \cdot 10 = 100\,000$[NEWLINE] * $50\,000 \cdot 1 = 50\,000$[NEWLINE] Суммарный выигрыш: $50\,000 + 100\,000 + 250\,000 + 100\,000 + 50\,000 = 550\,000$ рублей.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем математическое ожидание:[NEWLINE] Так как всего билетов 10 000, то средний выигрыш на один билет (математическое ожидание) равен отношению общего выигрыша к количеству билетов:[NEWLINE] \[ M(X) = \frac{550\,000}{10\,000} = 55 \]
    Задание 6.1
    Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:
    \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 5000 & 10000 & 50000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 500 & 100 & 50 & 10 & 1 \\ \hline \end{array}
    Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
  • Найдите корень уравнения $4^{x-4}=64.$
    Приведём к одинаковому основанию и приравняем степени:[NEWLINE] $4^{x-4}=64$[NEWLINE] $4^{x-4}=4^3$[NEWLINE] $x-4=3$[NEWLINE] $x=7$.
    Задание 7.1
    Найдите корень уравнения 4^{x-4}=64.
  • Найдите корень уравнения \( \sqrt{99 - 7x} = 6 \).
    \( (\sqrt{99 - 7x})^2 = 6^2. \) [NEWLINE] \( 99 - 7x = 36. \) [NEWLINE] \( 99 - 36 = 7x. \) [NEWLINE] \( 63 = 7x. \) [NEWLINE] \( x = 9. \)
    Задание 7.2
    Найдите корень уравнения \sqrt{99 - 7x} = 6 .
  • Найдите корень уравнения \(\log_8(5x+47)=3.\)
    \(\log_ab=c,\Leftrightarrow a^c=b.\)[NEWLINE] \(8^3=5x+47\)[NEWLINE] \(5x=512-47|:5\)[NEWLINE] \(x=93\)
    Задание 7.3
    Найдите корень уравнения \log_8(5x+47)=3.
  • Найдите значение выражения $\frac{3\sin164^\circ}{\sin82^\circ \cdot \sin8^\circ}$.
    Используем формулу синуса двойного угла для числителя: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.[NEWLINE] $ \sin164^\circ = \sin(2 \cdot 82^\circ) = 2\sin82^\circ\cos82^\circ $[NEWLINE] $ \frac{3 \cdot (2\sin82^\circ\cos82^\circ)}{\sin82^\circ \cdot \sin8^\circ} $[NEWLINE] $ \frac{6\cos82^\circ}{\sin8^\circ} $[NEWLINE] $\cos82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin8^\circ$.[NEWLINE] $ \frac{6\sin8^\circ}{\sin8^\circ} = 6.$[NEWLINE]
    Задание 8.1
    Найдите значение выражения \frac{3\sin164^\circ}{\sin82^\circ \cdot \sin8^\circ} .
  • Найдите значение выражения $\log_{0.6}50 - \log_{0.6}18$.
    Используем свойство логарифма разности: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.[NEWLINE] $ \log_{0,6}50 - \log_{0,6}18 = \log_{0,6}\left(\frac{50}{18}\right) =$ $\log_{0,6}\left(\frac{25}{9}\right)=$ $\log_{\frac{3}{5}}(\frac{5}{3})^2=$$\log_{\frac{3}{5}}(\frac{3}{5})^{-2}=$$-2\log_{\frac{3}{5}}\frac{3}{5}=-2$.
    Задание 8.2
    Найдите значение выражения \log_{0.6}50 - \log_{0.6}18 .
  • Найдите значение выражения \(25^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}.\)
    \((5^2)^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}=5^{4\sqrt8+6}\cdot5^{-3-4\sqrt8}=\)\(5^{4\sqrt8+6-3-4\sqrt8}=5^3=125.\)
    Задание 8.3
    Найдите значение выражения 25^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}.
  • Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
    Составим две таблицы по условию:[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{I} & \textbf{II} & \textbf{Вода} & \textbf{III}\\ \hline \text{m, кг} & x & y & 10 & x+y+10\\ \hline \text{%} & 45 & 97 & 0 & 62 \\ \hline \end{array} $$ $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{I} & \textbf{II} & \textbf{Кислота} & \textbf{III}\\ \hline \text{m, кг} & x & y & 10 & x+y+10\\ \hline \text{%} & 45 & 97 & 50 & 72 \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] На основании данных из таблицы, составим и решим систему уравнений (складываем просто массы кислот в растворах): [NEWLINE] \(\begin{cases} 45\%x+97\%y+0\%\cdot10=62\%(x+y+10) \\ 45\%x+97\%y+50\%\cdot10=72\%(x+y+10)\rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} 45x+97y=62(x+y+10) \\ 45x+97y+50\cdot10=72(x+y+10) \rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} 45x+97y=62x+62y+620 \\ 45x+97y+500=72x+72y+720\rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} -17x+35y=620|\cdot5 \\ -27x+25y=220|\cdot7\rightarrow \end{cases}\)[NEWLINE] И вычитаем из верхнего нижнее:[NEWLINE] \(-85x+175y+189x-175y=3100-1540\)[NEWLINE] \(104x=1560|:104\)[NEWLINE] \(x=15.\)[NEWLINE] Мы за \(x\) обозначили именно \(45\%-\)ный раствор.
    Задание 11.2
    Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
  • а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{17\pi}{2};\, 10\pi\right]$.
    [BOLD]а)[/BOLD] $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$[NEWLINE] $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=2$[NEWLINE] $2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2$[NEWLINE] $-2\sqrt{2}\sin x=2$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \\& x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $9\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$, $x_2$ получается движением от $9\pi$ вперёд на $\frac{3\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=9\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{37\pi}{4}$[IMAGENEWLINE] $x_2=9\pi+\frac{3\pi}{4}=\frac{39\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$; б) $\dfrac{37\pi}{4};\ \dfrac{39\pi}{4}$.
    Задание 14.2
    а) Решите уравнение 4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2 .
    б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку \left[\dfrac{17\pi}{2};\, 10\pi\right] .
  • Решите неравенство $2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0.$
    $2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\log_2 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $2^{\log_2(\log_2 x)} + \log_4^2 x - 3 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(\log_2 x)} = \log_2 x$.[NEWLINE] Преобразуем второе слагаемое: так как $4 = 2^2$, то $\log_4 x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$, а в квадрате $\log_4^2 x = \dfrac{1}{4}\log_2^2 x$.[NEWLINE] $\log_2 x + \dfrac{1}{4}\log_2^2 x - 3 \leqslant 0$[NEWLINE] $\log_2^2 x + 4\log_2 x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Раскладываем квадратный трёхчлен относительно $\log_2 x$ (глобально, можем заменить переменную $\log_2 x$ и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):[NEWLINE] $(\log_2 x - 2)(\log_2 x + 6) \leqslant 0$[NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $\log_2 x - 2 = 0$[NEWLINE] $\log_2 x = 2$[NEWLINE] $x = 4$[NEWLINE] $\log_2 x + 6 = 0$[NEWLINE] $\log_2 x = -6$[NEWLINE] $x = \dfrac{1}{64}$[NEWLINE] Так как основание $2 \gt 1$, знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по $x$: $\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4$ даёт знак $(x - 4)$, а $\log_2 x + 6 = \log_2 x - \log_2 \dfrac{1}{64}$ даёт знак $\left(x - \dfrac{1}{64}\right)$. Значит неравенство равносильно $(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE] $(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE] $x \in (1;\, 4]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 4].$
    Задание 16.1
    Решите неравенство 2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0.
  • Решите неравенство $ \frac{2 \cdot 8^{x-1}}{2 \cdot 8^{x-1} - 1} \geqslant \frac{3}{8^x - 1} + \frac{8}{64^x - 5 \cdot 8^x + 4} $
    $ \frac{2 \cdot 8^{x-1}}{2 \cdot 8^{x-1} - 1} \geqslant \frac{3}{8^x - 1} + \frac{8}{64^x - 5 \cdot 8^x + 4} $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим нули $64^x - 5 \cdot 8^x + 4 = 0$[NEWLINE] Пусть $y = 8^x, y > 0$:[NEWLINE] $y^2 - 5y + 4 = 0$[NEWLINE] $D = 25 - 16 = 9$[NEWLINE] $y = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow y_1 = 4, y_2 = 1$[NEWLINE] $64^x - 5 \cdot 8^x + 4 = (8^x - 4)(8^x - 1)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Перепишем неравенство:[NEWLINE] $ \frac{\frac{8^x}{4}}{\frac{8^x}{4} - 1} \geqslant \frac{3}{8^x - 1} + \frac{8}{(8^x - 4)(8^x - 1)} $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Перенесем все в одну сторону:[NEWLINE] $ \frac{8^x}{8^x - 4} - \frac{3}{8^x - 1} - \frac{8}{(8^x - 4)(8^x - 1)} \geqslant 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приведем к общему знаменателю $(8^x - 4)(8^x - 1)$:[NEWLINE] $ \frac{8^x(8^x - 1) - 3(8^x - 4) - 8}{(8^x - 4)(8^x - 1)} \geqslant 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим числитель. Пусть $y = 8^x, y > 0$:[NEWLINE] $ y(y - 1) - 3(y - 4) - 8 = $[NEWLINE] $ y^2 - y - 3y + 12 - 8 = $[NEWLINE] $ y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Переходим обратно, собирая заново неравенство:[NEWLINE] $ \frac{(8^x - 2)^2}{(8^x - 4)(8^x - 1)} \geqslant 0 $[NEWLINE] Найдем нули функции:[NEWLINE] $ \begin{cases} (8^x - 2)^2 = 0 \\ (8^x - 4)(8^x - 1) \neq 0 \end{cases} $[NEWLINE] $ 8^x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \text{ (2 кр)} $[NEWLINE] $ 8^x \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} $[NEWLINE] $ 8^x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Замена для метода интервалов:[NEWLINE] $ 8^x - 2 \rightarrow x - \frac{1}{3} $[NEWLINE] $ 8^x - 4 \rightarrow x - \frac{2}{3} $[NEWLINE] $ 8^x - 1 \rightarrow x $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $ \frac{(x - \frac{1}{3})^2}{(x - \frac{2}{3})x} \geqslant 0 $[NEWLINE] [image:0:right][IMAGENEWLINE] Не забываем о чётной кратности корня $x=\frac{1}{3}$.[IMAGENEWLINE] $ x \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (\frac{2}{3}; +\infty) $[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD] $ x \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (\frac{2}{3}; +\infty) $
    Задание 16.2
    Решите неравенство \frac{2 \cdot 8^{x-1}}{2 \cdot 8^{x-1} - 1} \geqslant \frac{3}{8^x - 1} + \frac{8}{64^x - 5 \cdot 8^x + 4}
  • На заводе имеется генератор с ЭДС $\epsilon = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \frac{ε}{r + R}$. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P = I^2R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?
    Нам нужно найти максимальное значение мощности $P$ в зависимости от сопротивления нагрузки $R$. Для этого выразим $P$ как функцию от $R$ и исследуем её на экстремум.[NEWLINE] [NEWLINE] Запишем формулу для мощности:[NEWLINE] $P = I^2 R = \left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 \cdot R$[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим известные значения $\varepsilon = 50$ В и $r = 1$ Ом:[NEWLINE] $P(R) = \left(\frac{50}{1+R}\right)^2 \cdot R = \frac{2500R}{(1+R)^2}$[NEWLINE] [NEWLINE] Чтобы найти максимальное значение мощности, нужно найти производную $P'(R)$ и приравнять её к нулю. Это необходимо, потому что в точке максимума функции её производная равна нулю (функция перестаёт возрастать и начинает убывать).[NEWLINE] [NEWLINE] Используем формулу производной дроби:[NEWLINE] $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$[NEWLINE] [NEWLINE] где $u = 2500R$, $v = (1+R)^2$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём производные:[NEWLINE] $u' = 2500$[NEWLINE] $v' = 2(1+R)$ (по правилу дифференцирования сложной функции)[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим в формулу:[NEWLINE] $P'(R) = \frac{2500(1+R)^2 - 2500R \cdot 2(1+R)}{(1+R)^4}$[NEWLINE] $P'(R) = \frac{2500(1+R)[(1+R) - 2R]}{(1+R)^4}$[NEWLINE] $P'(R) = \frac{2500(1+R)(1-R)}{(1+R)^4}$[NEWLINE] $P'(R) = \frac{2500(1-R)}{(1+R)^3}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приравняем производную к нулю:[NEWLINE] $\frac{2500(1-R)}{(1+R)^3} = 0$[NEWLINE] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю):[NEWLINE] $2500(1 - R) = 0$[NEWLINE] $1 - R = 0$[NEWLINE] $R = 1$ Ом[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверим, что это точка максимума, исследовав знак производной:[NEWLINE] При $R < 1$: числитель $2500(1-R) > 0$, знаменатель $(1+R)^3 > 0$, поэтому $P'(R) > 0$ (функция возрастает)[NEWLINE] При $R > 1$: числитель $2500(1-R) < 0$, знаменатель $(1+R)^3 > 0$, поэтому $P'(R) < 0$ (функция убывает)[NEWLINE] [NEWLINE] Следовательно, $R = 1$ Ом — точка максимума.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём максимальную мощность, подставив $R = 1$ в исходную формулу:[NEWLINE] $P_{max} = \frac{2500 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{2500}{4} = 625$ Вт[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 625
    Задание 17.1
    На заводе имеется генератор с ЭДС \epsilon = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = \frac{ε}{r + R} . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I^2R . Какова максимальная тепловая мощность P , которая может быть выделена нагрузкой?
  • Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2 + n^2\tau^2T^2}},$ где $k = 0,91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9°$ — угол наибольшего волнового склона, $T = 14,7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $\tau$ — период волны (в секундах), $n = 0,0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
    Нам нужно найти значение $\tau$, при котором амплитуда $A$ достигает максимального значения. Для этого необходимо исследовать функцию $A(\tau)$ на экстремум с помощью производной.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как $A > 0$ (амплитуда всегда положительна), то максимумы $A$ и $A^2$ достигаются в одной и той же точке. Это упрощает вычисления, так как квадрат функции не содержит квадратного корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Положим $x = \tau^2$, где $x > 0$ (период волны положителен).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Достаточно исследовать на экстремум функцию:[NEWLINE] $A^2 = (k\theta_0)^2 f(x)$, где $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + (n-2)T^2x + T^4}$ при $x > 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Здесь $(k\theta_0)^2$ — положительная константа, поэтому максимум $A^2$ достигается там же, где максимум $f(x)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Знаменатель при $x > 0$ положителен (это сумма положительных слагаемых при малых $n$). Найдём производную $f'(x)$, используя формулу производной дроби $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] где $u = x^2$, $v = x^2 + (n-2)T^2x + T^4$[NEWLINE] $u' = 2x$[NEWLINE] $v' = 2x + (n-2)T^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $f'(x) = \frac{2x(x^2 + (n-2)T^2x + T^4) - x^2(2x + (n-2)T^2)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Раскроем скобки в числителе:[NEWLINE] $2x^3 + 2(n-2)T^2x^2 + 2T^4x - 2x^3 - (n-2)T^2x^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приведём подобные слагаемые:[NEWLINE] $(n-2)T^2x^2 + 2T^4x = T^2x[(n-2)x + 2T^2] = T^2x[2T^2 - (2-n)x]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] После упрощения получаем:[NEWLINE] $f'(x) = \frac{T^2x(2T^2 - (2-n)x)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] В области определения ($x > 0$) множители $T^2x$ и знаменатель положительны, поэтому знак производной определяется выражением $2T^2 - (2-n)x$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приравняем производную к нулю:[NEWLINE] $f'(x) = 0$: $2T^2 - (2-n)x = 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Выразим $x$:[NEWLINE] $(2-n)x = 2T^2$[NEWLINE] $x_0 = \frac{2T^2}{2-n} = \frac{T^2}{1-\frac{n}{2}}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Исследуем знак производной:[NEWLINE] Так как $n = 0,0792 < 2$, то:[NEWLINE] При $0 < x < x_0$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает)[NEWLINE] При $x > x_0$: $f'(x) < 0$ (функция убывает)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Следовательно, $x_0$ — точка максимума функции $f$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь найдём $\tau$:[NEWLINE] $\tau = \sqrt{x_0} = \frac{T}{\sqrt{1-\frac{n}{2}}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим значения $T = 14,7$ и $n = 0,0792$:[NEWLINE] $\tau = \frac{14,7}{\sqrt{1-\frac{0,0792}{2}}} = \frac{14,7}{\sqrt{1-0,0396}} = \frac{14,7}{\sqrt{0,9604}}$[NEWLINE] $\tau = \frac{14,7}{0,98} = 15$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 15
    Задание 17.2
    Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2 + n^2\tau^2T^2}}, где k = 0,91 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \theta_0 = 9° — угол наибольшего волнового склона, T = 14,7 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, \tau — период волны (в секундах), n = 0,0792 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
  • На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше —120. [NEWLINE] Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. [NEWLINE] а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? [NEWLINE] б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? [NEWLINE] в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
    Пусть $b$ — количество синих карточек, $r$ — количество красных. Все числа на карточках больше $-120$. Наибольшее число на красной карточке равно $2b$, наибольшее число на синей карточке равно $r$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] На синих карточках — $b$ различных чисел, кратных $5$, из интервала $(-120;\, r]$. Количество таких чисел равно $\dfrac{r+120}{5}$, поэтому $b \leq \dfrac{r+120}{5}$, откуда $r \geq 5b - 120$. [NEWLINE] На красных карточках — $r$ различных чётных чисел из интервала $(-120;\, 2b]$. Количество таких чисел равно $\dfrac{2b+120}{2} = b+60$, поэтому $r \leq b+60$. [NEWLINE] Итак, необходимые условия: $5b - 120 \leq r \leq b + 60$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]а) Может ли быть ровно $6$ карточек?[/BOLD] [NEWLINE] $b + r = 6$, $b \geq 1$, $r \geq 1$. Возьмём $b = 1$, $r = 5$. [NEWLINE] Проверка: $5 \cdot 1 - 120 = -115 \leq 5 \leq 1 + 60 = 61$. ✓ [NEWLINE] Синяя карточка: $\{5\}$ (наибольшее $= r = 5$, кратно $5$, $> -120$). [NEWLINE] Красные карточки: $\{-118,\, -116,\, -114,\, -112,\, 2\}$ (наибольшее $= 2b = 2$, все чётные, $> -120$). ✓ [NEWLINE] Ответ: да, может.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]б) Может ли красных быть на $90$ больше, чем синих?[/BOLD] [NEWLINE] $r = b + 90$. Подставляем в $r \leq b + 60$: $b + 90 \leq b + 60$, откуда $90 \leq 60$ — противоречие. [NEWLINE] Ответ: нет, не может.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] в) Наибольшее количество карточек. [NEWLINE] Максимизируем $b + r$ при условиях $r \geq 5b - 120$ и $r \leq b + 60$. [NEWLINE] Берём $r = b + 60$ (максимальное возможное). Тогда $b + r = 2b + 60$. [NEWLINE] Из $r \geq 5b - 120$: $b + 60 \geq 5b - 120 \Rightarrow 4b \leq 180 \Rightarrow b \leq 45$. [NEWLINE] При $b = 45$: $r = 105$, $b + r = 150$. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверка: синие — числа $-115, -110, \ldots, 105$ (ровно $45$ штук, кратных $5$, наибольшее $= 105 = r$); красные — числа $-118, -116, \ldots, 90$ (ровно $105$ чётных, наибольшее $= 90 = 2b$). ✓ [NEWLINE] Ответ: $150$ карточек.
    Задание 20.1
    На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше —120.
    Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
    а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
    б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
    в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
  • Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. [NEWLINE] а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? [NEWLINE] б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? [NEWLINE] в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?
    $16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей. Максимальная сумма: $16 \cdot 2 + 29 \cdot 5 = 177$ рублей.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] а) Можно ли набрать $175$ рублей? [NEWLINE] $2a + 5b = 175$, $0 \leq a \leq 16$, $0 \leq b \leq 29$. [NEWLINE] $175$ нечётное $\Rightarrow$ $b$ нечётное. $175 - 5b \leq 32 \Rightarrow b \geq 28{,}6 \Rightarrow b = 29$. [NEWLINE] $2a = 175 - 145 = 30 \Rightarrow a = 15 \leq 16$. ✓ [NEWLINE] [BOLD]Ответ: да, можно ($15$ монет по $2$ р. и $29$ монет по $5$ р.).[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Можно ли набрать $176$ рублей? [NEWLINE] $2a + 5b = 176$. $176$ чётное $\Rightarrow$ $5b$ чётное $\Rightarrow$ $b$ чётное. [NEWLINE] $176 - 5b \leq 32 \Rightarrow 5b \geq 144 \Rightarrow b \geq 28{,}8$. Так как $b$ чётное и $b \leq 29$, решений нет. [NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет, нельзя.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] в) Минимальное количество монет по $1$ рублю, чтобы набрать любую сумму от $1$ до $180$ включительно. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Без монет по $1$ рублю максимальная сумма $= 177 < 180$, поэтому хотя бы $3$ монеты нужны (так как $180 - 177 = 3$). [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Покажем, что $3$ монеты по $1$ рублю достаточны. Нужно для каждого $S \in \{1, \ldots, 180\}$ найти $c \in \{0,1,2,3\}$, $a \in \{0,\ldots,16\}$, $b \in \{0,\ldots,29\}$ такие, что $S = c + 2a + 5b$. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] - $S \in \{1, 2, 3\}$: берём $c = S$, $a = b = 0$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{4, \ldots, 33\}$: $S - c$ чётное, $b = 0$, $a = (S-c)/2 \leq 16$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{34, \ldots, 145\}$: длина интервала допустимых $b$ равна $32/5 = 6{,}4$, поэтому всегда найдётся подходящее $b$ нужной чётности. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{146, \ldots, 172\}$: $b = 28$, $a = (S - c - 140)/2 \in [3, 16]$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{173, \ldots, 180\}$: перебором проверяем, что для каждого $S$ найдётся комбинация. Например: [NEWLINE] - $S = 174$: $c = 2, a = 16, b = 28$ ($2 + 32 + 140 = 174$). ✓ [NEWLINE] - $S = 175$: $c = 1, a = 15, b = 29$ ($1 + 30 + 145 = 175$). ✓ [NEWLINE] - $S = 176$: $c = 1, a = 15, b = 29$ ($1 + 30 + 145 = 176$). ✓ [NEWLINE] - $S = 177$: $c = 0, a = 16, b = 29$ ($0 + 32 + 145 = 177$). ✓ [NEWLINE] - $S = 178$: $c = 1, a = 16, b = 29$ ($1 + 32 + 145 = 178$). ✓ [NEWLINE] - $S = 179$: $c = 2, a = 16, b = 29$ ($2 + 32 + 145 = 179$). ✓ [NEWLINE] - $S = 180$: $c = 3, a = 16, b = 29$ ($3 + 32 + 145 = 180$). ✓ [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ: $3$ монеты по $1$ рублю.[/BOLD]
    Задание 20.2
    Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
    а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
    б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
    в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?