Апробация 2026 04.03.2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:1:right]Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 104° и 127°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
    [image:0:right]По свойству вписанного четырехугольника, суммы противоположных углов равны $180^\circ.$ Значит $\angle C+\angle A=\angle B + \angle D=180^\circ.$[IMAGENEWLINE] Тогда $\angle A=180-127^\circ=53^\circ, \quad \angle D =180-104^\circ=76^\circ$
    Задание 1.1
    Solution image 1
    Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 104° и 127°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
  • [image:0:right]Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 130°, угол ABD равен 58°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
    [image:1:right]$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD,$ где $\angle CBD=\angle CAD,$ так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.[IMAGENEWLINE] Тогда $\angle CAD=\angle CBD=130^\circ-58^\circ=72^\circ.$
    Задание 1.2
    Solution image 0
    Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 130°, угол ABD равен 58°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
  • Даны векторы $\vec{a}(4; 2)$ и $\vec{b}(4; -2)$. Найдите косинус угла между ними.
    Косинус угла между векторами находится по формуле:[NEWLINE] $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$[NEWLINE] Скалярное произведение векторов:[NEWLINE] $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 16 - 4 = 12$$[NEWLINE] Длина вектора $\vec{a}$:[NEWLINE] $$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$[NEWLINE] Длина вектора $\vec{b}$:[NEWLINE] $$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$[NEWLINE] Подставляем значения в формулу:[NEWLINE] $\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = $$\frac{12}{4 \cdot 5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
    Задание 2.1
    Даны векторы \vec{a}(4; 2) и \vec{b}(4; -2) . Найдите косинус угла между ними.
  • Даны векторы $\vec{a}(17; 0)$ и $\vec{b}(1; -1)$. Найдите длину вектора $\vec{a} - 12\vec{b}$.
    $\vec{c} = \vec{a} - 12\vec{b}$[NEWLINE] $12\vec{b}(12\cdot1; 12\cdot(-1))\rightarrow 12\vec{b}(12;-12)$[NEWLINE] $ \vec{c}(17-12=5; 0-(-12)=12)\rightarrow \vec{c}(5;12) $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь найдём длину этого вектора по формуле:[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} $$[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} $$[NEWLINE] $$ |\vec{c}| = 13 $$
    Задание 2.2
    Даны векторы \vec{a}(17; 0) и \vec{b}(1; -1) . Найдите длину вектора \vec{a} - 12\vec{b} .
  • Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 36. Найдите площадь поверхности шара.
    [image:0:right] Заметим, что если шар вписан в цилиндр, то диаметр шара равен высоте цилиндра, а значит мы можем выразить площадь боковой поверхности цилиндра через диаметр или через радиус. [IMAGENEWLINE] 1) Площадь полной поверхности цилиндра: \( S_{\text{цил}} = 2\pi R_{\text{цил}} h_{\text{цил}} + 2\pi R_{\text{цил}}^2 = 2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2 \) [IMAGENEWLINE] 2) Подставим известное значение площади: \( 6\pi r^2 = 36 \Rightarrow \pi r^2 = 6 \) [IMAGENEWLINE] 3) Площадь поверхности шара: \( S_{\text{шар}} = 4\pi r^2 = 6 \cdot 4 = 24 \)
    Задание 3.1
    Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 36. Найдите площадь поверхности шара.
    Изображение к заданию 827
  • [image:0:right]Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.
    Объём конуса можно найти по формуле $V_к=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\pi R^2h$ [NEWLINE] Объём цилиндра можно найти по формуле $V_{ц}=S_{осн}\cdot h=\pi R^2h$[NEWLINE] Тогда $V_ц=3V_к=3\cdot9=27.$
    Задание 3.2
    Solution image 0
    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.
  • На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
    Всего участников: $n = 250$.[NEWLINE] Найдём количество участников в запасной аудитории:[NEWLINE] — В первых двух аудиториях: $120 + 120 = 240$ человек.[NEWLINE] — В запасной аудитории: $250 - 240 = 10$ человек.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Вероятность того, что случайно выбранный участник находился в запасной аудитории, равна отношению числа участников в запасной аудитории к общему числу участников:[NEWLINE] $$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{250}$$[NEWLINE] $$P = \frac{1}{25} = 0{,}04$$
    Задание 4.1
    На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
  • Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
    На третий день запланировано $\frac{75-12}{3}=12$ выступлений.[NEWLINE] Вероятность элементарных событий равна отношению числа благоприятных исходов событий к числу всех равновозможных исходов событий.[NEWLINE] $P=\frac{21}{75}=0,28$
    Задание 4.2
    Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
  • В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в шести из них встречается вопрос по теме «Древняя Греция». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Древняя Греция».
    Вероятность элементарных событий равна отношению числа благоприятных исходов событий к числу всех равновозможных исходов событий:[NEWLINE] $P=\frac{6}{40}=0,15$
    Задание 4.3
    В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в шести из них встречается вопрос по теме «Древняя Греция». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Древняя Греция».
  • Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
    Вероятность попадания при одном выстреле: $P_{\text{поп}} = 0{,}8$.[NEWLINE] Вероятность промаха при одном выстреле: $P_{\text{промах}} = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.[NEWLINE] Нам нужно найти вероятность последовательности событий: попадание, попадание, промах, промах.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как выстрелы независимы, вероятность равна произведению вероятностей каждого события:[NEWLINE] $$P = P_{\text{поп}} \cdot P_{\text{поп}} \cdot P_{\text{промах}} \cdot P_{\text{промах}}$$[NEWLINE] $$P = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2$$[NEWLINE] $$P = 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}0256$$
    Задание 5.1
    Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
  • В коробке 9 синих, 6 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
    Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий. [NEWLINE] В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятность. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись: [NEWLINE] \(P=\frac{9}{25}\cdot\frac{6}{24}+\frac{6}{25}\cdot\frac{9}{24}.\) [NEWLINE] Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:[NEWLINE] \(P=2\cdot\frac{9}{25}\cdot\frac{6}{24}=2\cdot0,09=0,18.\)
    Задание 5.2
    В коробке 9 синих, 6 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
  • Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x - 6} = 2$.
    $\sqrt[3]{x - 6} = 2$[NEWLINE] $$\left(\sqrt[3]{x - 6}\right)^3 = 2^3$$[NEWLINE] $$x - 6 = 8$$[NEWLINE] $$x = 8 + 6$$[NEWLINE] $$x = 14$$
    Задание 6.1
    Найдите корень уравнения \sqrt[3]{x - 6} = 2 .
  • Найдите корень уравнения $9^{-2-x} = 81$.
    $$9^{-2-x} = 81$$[NEWLINE] $$9^{-2-x} = 9^2$$[NEWLINE] $$-2 - x = 2$$[NEWLINE] $$-x = 2 + 2$$[NEWLINE] $$-x = 4|\cdot(-1)$$[NEWLINE] $$x = -4$$
    Задание 6.2
    Найдите корень уравнения 9^{-2-x} = 81 .
  • Найдите значение выражения $\log_5 60 - \log_5 12$.
    Воспользуемся свойством логарифмов: разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:[NEWLINE] $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$[NEWLINE] $\log_5 60 - \log_5 12 = \log_5 \frac{60}{12}$[NEWLINE] $\log_5 \frac{60}{12} = \log_5 5$[NEWLINE] $\log_5 5 = 1$
    Задание 7.1
    Найдите значение выражения \log_5 60 - \log_5 12 .
  • Найдите значение выражения $6 \log_7 \sqrt[3]{7}$.
    $6 \log_7 \sqrt[3]{7}$[NEWLINE] $6 \log_7 (7^{\frac{1}{3}})$[NEWLINE] $6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \log_7 7$[NEWLINE] $6 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1$[NEWLINE] $2 \cdot 1 = 2$
    Задание 7.2
    Найдите значение выражения 6 \log_7 \sqrt[3]{7} .
  • На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9;3). В какой точке отрезка [-7;-1] Функция f(x) принимает наибольшее значение?[image:0]
    Заметим, что изображён график производной функции, а значит, что функция будет возрастать тогда, когда график будет располагаться в верхней полуплоскости, то есть производная будет положительна. [NEWLINE] Следовательно, если график производной пересечёт ось $Ox,$ то это будет означать, что производная поменяла свой знак. Такое происходит при $x=-1.$
    Задание 8.1
    На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9;3). В какой точке отрезка [-7;-1] Функция f(x) принимает наибольшее значение?Solution image 0
  • На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(-9;3).$ В какой точке отрезка $[-7;-5]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[image:0]
    Заметим, что дан график производной функции, причём заданный промежуток $[-7;-5]$ определён для промежутка убывания функции, так как производная везде на нём отрицательна. Значит наибольшее значение будет в самом начале этого отрезка. Такой точкой будет $x=-7$
    Задание 8.2
    На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9;3). В какой точке отрезка [-7;-5] функция f(x) принимает наибольшее значение?Solution image 0
  • Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 26$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 25 см до 45 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 175 см до 195 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$. На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
    Выразим $d_1$ из формулы линзы:[NEWLINE] $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_2}$$[NEWLINE] $$\frac{1}{d_1} = \frac{d_2 - f}{f \cdot d_2}$$[NEWLINE] $$d_1 = \frac{f \cdot d_2}{d_2 - f}$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим значение фокусного расстояния $f = 26$:[NEWLINE] $$d_1 = \frac{26 \cdot d_2}{d_2 - 26}$$[NEWLINE] Значит, чем меньше $d_2,$ тем больше знаменатель $\rightarrow$ тем меньше $d_1.$ Тогда при максимальном $d_2$ будет минимально $d_1:$[NEWLINE] Максимальное расстояние до экрана $d_2 = 195$ см:[NEWLINE] $$d_1 = \frac{26 \cdot 195}{195 - 26} = \frac{26 \cdot 195}{169}$$[NEWLINE] $$d_1 = \frac{2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 13}{13 \cdot 13} = 2 \cdot 15 = 30$$[NEWLINE] Полученное значение $d_1 = 30$ см входит в допустимый диапазон $[25; 45]$.
    Задание 9.1
    Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f = 26 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 25 см до 45 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 175 см до 195 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f} . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
  • Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в $\text{м}^2$), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{2401} \cdot 10^{22} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $5,7 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в Кельвинах.
    Выразим температуру $T$ из формулы закона Стефана—Больцмана:[NEWLINE] $P = \sigma S T^4|:\sigma S$ $T^4 = \frac{P}{\sigma S}|\sqrt[4]{}$[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим известные значения в формулу:[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{\frac{5{,}7 \cdot 10^{26}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \left(\frac{1}{2401} \cdot 10^{22}\right)}}$$[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{\frac{10^{26}}{10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}}$$[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{2401 \cdot \frac{10^{26}}{10^{-8} \cdot 10^{22}}}$$[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{2401 \cdot \frac{10^{26}}{10^{14}}}$$[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{2401 \cdot 10^{12}}$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Заметим, что $2401 = 7^4$ (так как $7^2 = 49$ и $49^2 = 2401$).[NEWLINE] А корень из $10^{12}$ равен $10^{12/4} = 10^3 = 1000$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $$T = \sqrt[4]{7^4} \cdot \sqrt[4]{10^{12}}$$[NEWLINE] $$T = 7 \cdot 1000$$[NEWLINE] $$T = 7000$$
    Задание 9.2
    Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому P = \sigma S T^4 , где P — мощность излучения звезды (в Вт), \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в \text{м}^2 ), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \frac{1}{2401} \cdot 10^{22} \, \text{м}^2 , а мощность её излучения равна 5,7 \cdot 10^{26} \, \text{Вт} . Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в Кельвинах.
  • Расстояние между городами А и В равно 660 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А они встретятся? Ответ дайте в км.
    Решим с помощью таблицы:[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{v (км/ч)} & \textbf{t (ч)} & \textbf{S (км)} \\ \hline \text{I} & 60 & t + 2 & 60(t + 2) \\ \hline \text{II} & 75 & t & 75t \\ \hline \end{array} $$[NEWLINE] где $t$ — время в пути второго автомобиля до встречи.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Из условия известно, что сумма расстояний равна общему расстоянию между городами. Составим и решим уравнение:[NEWLINE] $$60(t + 2) + 75t = 660$$[NEWLINE] $$60t + 120 + 75t = 660$$[NEWLINE] $$135t = 540$$[NEWLINE] $$t = \frac{540}{135} = 4 \text{ ч}$$[NEWLINE] Второй автомобиль был в пути 4 часа, первый — 6 часов.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём расстояние от города А до места встречи (путь первого автомобиля):[NEWLINE] $$S_1 = 60 \cdot (4 + 2) = 60 \cdot 6 = 360 \text{ км}$$
    Задание 10.1
    Расстояние между городами А и В равно 660 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А они встретятся? Ответ дайте в км.
  • Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
    Всё количество работы примем за единицу.[NEWLINE] — Первый мастер выполняет часть работы за 1 час: $\frac{1}{36}$.[NEWLINE] — Второй мастер выполняет часть работы за 1 час: $\frac{1}{12}$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Совместная производительность мастеров равна сумме их индивидуальных производительностей:[NEWLINE] $$ \frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} $$[NEWLINE] $$ \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Это значит, что за один час мастера вместе выполняют $\frac{1}{9}$ всей работы. Чтобы узнать, за какое время они выполнят работу целиком, разделим единицу на полученную производительность по формуле $t=\frac{A}{N}$:[NEWLINE] $$ t = 1 : \frac{1}{9} = 9 \text{ (ч)} $$
    Задание 10.2
    Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
  • На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x.$ Найдите значение $f(-5).$[image:0]
    Восстановим коэффициента $a,$ взяв точку $(-1;2):$[NEWLINE] $2=a^{-1}\rightarrow a=\frac{1}{2}.$[NEWLINE] Значит $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$[NEWLINE] Тогда $f(-5)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=32.$
    Задание 11.1
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^x. Найдите значение f(-5). Solution image 0
  • На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x.$ Найдите значение $f(4).$[image:0]
    Восстановим коэффициент $a,$ взяв точку $(1;2):$[NEWLINE] $2=a^1\rightarrow a=2.$[NEWLINE] Значит $f(x)=2^x.$[NEWLINE] Тогда $f(4)=2^4=16.$
    Задание 11.2
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^x. Найдите значение f(4). Solution image 0
  • Найдите точку минимума функции $y=x^\frac{3}{2}-30x+2.$
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.[NEWLINE] $$((x^n)') = nx^{n-1}, \quad (CU)' = CU', \quad x'=1, \quad C'=0.$$[NEWLINE] $y = x^{\frac{3}{2}} - 30x + 2$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем производную: $$y' = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 30 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 30$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем нули производной: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 30 = 0$$[NEWLINE] $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 30$$[NEWLINE] $$\sqrt{x} = 30 \cdot \frac{2}{3} = 20$$[NEWLINE] $$x = 20^2$$[NEWLINE] $$x = 400$$[NEWLINE] У нас получается одна единственная точка в области определения ($x \geq 0$), значит она и будет точкой минимума.
    Задание 12.1
    Найдите точку минимума функции y=x^\frac{3}{2}-30x+2.
  • Найдите точку максимума функции $y = 4 + 9x - x\sqrt{x}$.
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой производная меняет свой знак с плюса на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" вниз.[NEWLINE] ОДЗ функции: $\sqrt{x}$ требует $x \geq 0$. Перепишем функцию для удобства дифференцирования:[NEWLINE] $$y = 4 + 9x - x^{1.5}$$[NEWLINE] Используем правила дифференцирования:[NEWLINE] $$((x^n)') = nx^{n-1}, \quad (CU)' = CU', \quad x'=1, \quad C'=0.$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Вычислим производную функции $y$:[NEWLINE] $$y' = (4)' + (9x)' - (x^{1.5})'$$[NEWLINE] $$y' = 0 + 9 - 1.5 \cdot x^{1.5-1}$$[NEWLINE] $$y' = 9 - \frac{3}{2}x^{0.5} = 9 - 1.5\sqrt{x}$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем нули производной (критические точки): $$9 - 1.5\sqrt{x} = 0$$[NEWLINE] $$1.5\sqrt{x} = 9$$[NEWLINE] $$\sqrt{x} = \frac{9}{1.5} = 6$$[NEWLINE] $$x = 36$$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Эта точка является точкой максимума, так как при $ x \gt 36 $ функция возрастает, а при $ x \lt 36 $ функция убывает.
    Задание 12.2
    Найдите точку максимума функции y = 4 + 9x - x\sqrt{x} .
  • а) Решите уравнение $3 \operatorname{tg}^2 x - \frac{5}{\cos x} + 5 = 0$. [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
    а) $3\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{5}{\cos x}+5=0|\cdot \cos^2x \neq 0$[NEWLINE] $3\sin^2x-5\cos x+5\cos^2x=0$[NEWLINE] $3(1-\cos^2x)-5\cos x+5\cos^2x=0.$[NEWLINE] $3-3\cos^2x-5\cos x+5\cos^2x=0$[NEWLINE] $2\cos^2x-5\cos x+3=0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Пусть $\cos x=y, \quad |y| \leq 1:$ [NEWLINE] $2y^2-5y+3=0$[NEWLINE] $D=25-24=1$[NEWLINE] $y_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$y=1,5 > 1$ — посторонний корень[COLUMN-BREAK]$y=1$[NEWLINE]$\cos x=1$[NEWLINE]$x=2\pi n, n \in Z$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:right] Нанесем единственный корень и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1\) получается пересечением окружности с координатной плоскостью.[IMAGENEWLINE] $x_1=-2\pi.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=2\pi n, n \in Z$[IMAGENEWLINE] б) $x_1=-2\pi.$
    Задание 13.1
    а) Решите уравнение 3 \operatorname{tg}^2 x - \frac{5}{\cos x} + 5 = 0 .
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right] .
  • а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{3} \sin(x - \pi) = 0$. [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
    а) $\sin(x - \pi) = -\sin x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\sin 2x - \sqrt{3} \sin x = 0$[NEWLINE] $2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$[NEWLINE] $\sin x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 0$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\sin x = 0$[NEWLINE]$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$[COLUMN-BREAK]$2 \cos x - \sqrt{3} = 0$[NEWLINE]$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$[NEWLINE]$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.[IMAGENEWLINE] $x_1 = -3\pi$[IMAGENEWLINE] $x_2 = -2\pi$[IMAGENEWLINE] $x_3 = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{13\pi}{6}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 13.2
    а) Решите уравнение \sin 2x + \sqrt{3} \sin(x - \pi) = 0 .
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] .
  • В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На ребрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4. [NEWLINE] а) Докажите, что точка M — середина ребра A₁B₁. [NEWLINE] б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если её объем равен 16 и известно, что точка K делит ребро B₁C₁ в отношении B₁K:KC₁=1:3.
    [image:0:right]а) Так как $AMKN$ — равнобедренная трапеция, то $AN||KM.$ Проведём прямую $A_1F,$ параллельную этим двум прямым, в плоскости $A_1B_1C_1D_1.$ [IMAGENEWLINE] Провели так, что $A_1F=AN=4.$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Рассмотрим верхнюю плоскость $A_1B_1C_1D_1:$[IMAGENEWLINE] Так как $A_1F||KM,$ то, по теореме о пропорциональных отрезках, делаем вывод о том, что $\triangle B_1KM \sim B_1FA_1.$ Запишем отношение сторон: $\frac{KM}{A_1F}=\frac{B_1M}{B_1A_1}=\frac{B_1K}{B_1F}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$[IMAGENEWLINE] Из этого следует, что $A_1M=B_1M \rightarrow M$ — середина $A_1B_1,$ что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right] б) Объём призмы можно найти по формуле $V=S_{осн}\cdot h,$ где $S_{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot BC\sin\alpha, \quad h=BB_1.$ [IMAGENEWLINE] Откуда $BB_1=\frac{V}{S_{ABCD}\cdot h}.$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Так как прямая $FA_1$ получилась параллельным переносом, то она лежит строго над $AN.$ Тогда $FN\perp BC \rightarrow FN=AA_1.$[IMAGENEWLINE] Так как $AMKN$ — равнобедренная трапеция, то $AM=NK.$[IMAGENEWLINE] Из этих двух фактов следует, что $\triangle FNK=\triangle AA_1M$ по катету и гипотенузе. Из этого следует, что $FK=A_1M.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Зная, что $B_1K:C_1K=1:3, $ а также, что $B_1K=KF$ (см. п. а), пусть $B_1K=B_1M=x.$ Тогда $B_1C_1=4x, \quad B_1A_1=2x.$ Тогда, по теореме косинусов, найдем $x:$[IMAGENEWLINE] $2^2=x^2+x^2-2x\cdot x\cos120^\circ$[IMAGENEWLINE] $4=2x^2+2x^2\cdot\frac{1}{2}$[IMAGENEWLINE] $3x^2=4$[IMAGENEWLINE] $x=\frac{2\sqrt3}{3}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Значит: [IMAGENEWLINE] $A_1B_1=AB=\frac{4\sqrt3}{3},$[IMAGENEWLINE] $C_1B_1=BC=\frac{8\sqrt3}{3}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $BB_1=\frac{16}{\frac{4\sqrt3}{3}\cdot\frac{8\sqrt3}{3}\cdot\frac{3}{2}}=\sqrt3.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\sqrt3$
    Задание 14.1
    В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На ребрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
    а) Докажите, что точка M — середина ребра A₁B₁.
    б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если её объем равен 16 и известно, что точка K делит ребро B₁C₁ в отношении B₁K:KC₁=1:3.
  • Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Сечение пирамиды — четырехугольник KLMN, причем точки K, L, M, N лежат на ребрах SB, SA, SD и SC соответственно. Известно, что L и M — середины ребер SA и SD, а SK:KB=3:1.[NEWLINE] а) Докажите, что KLMN — трапеция и основания трапеции относятся как 2:3.[NEWLINE] б) Известно, что угол между плоскостью трапеции KLMN и плоскостью основания ABCD равен 30°. Найдите высоту пирамиды SABCD, если площадь квадрата ABCD равна 32, а площадь четырехугольника KLMN равна $10\sqrt{2}.$
    [image:0:right]а) $LM$ — средняя линия $\triangle SAD,$ так как $L$ и $M$ — середины по условию. Значит $LM || AD.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Продолжим плоскость $\alpha$ до пересечения с плоскостью основания. Далее, рассмотрим два случая трёх попарно пересекающихся плоскостей:[IMAGENEWLINE] 1) $\alpha\cap(SAD),$ $\alpha\cap(ABCD),$ $(ABCD)\cap(SAD)=AD.$[IMAGENEWLINE] Так как $LM||AD,$ то по теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях: $AD||EF||LM\rightarrow$ Так как $AD||BC$ ($ABCD$ — квадрат), то $ BC||EF.$[IMAGENEWLINE] 2) $\alpha \cap(ABCD)=EF,$ $\alpha\cap (SBC)=KN,$ $(SBC)\cap(ABCD)=BC.$[IMAGENEWLINE] Объединяя два случая, делаем вывод о том, что $BC||KN,$ $BC||AD,$ $AD||LM\rightarrow KN||LM.$ Следовательно $KLMN$ — трапеция.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Так как $SK||KB=3:1$ и $KN||BC,$ то $SK:SB=3:4\rightarrow KN:BC=3:4.$[IMAGENEWLINE] Так как $AD=BC=\frac{1}{2}LM,$ то $\frac{1}{2}LM:KN=4:3\rightarrow LM:KN=2:3,$ что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] б) [image:1:right] Заметим, что в задаче не указан вид пирамиды. Тогда пусть $SO$ — произвольная высота пирамиды. Проведём еще дополнительные построения: $QP\perp(ABCD)$ и $MR||DC\rightarrow\angle QGP=30^\circ.$[IMAGENEWLINE] Заметим, что точки $Q$ и $R$ равноудалены от плоскости основания, а также, по теореме о пропорциональных отрезках, они будут равны половине высоты пирамиды (так как находятся на серединах боковых рёбер и $QP\perp(ABCD)$). То есть $QP=\frac{1}{2}SO.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Еще заметим, что $RN=NC.$ Значит точка $N$ удалена от плоскости основания на $\frac{1}{4}SO.$ Проведём $HT\perp QP.$ Заметим, что $QT=TP$ по теореме о пропорциональных отрезках и она равна $\frac{1}{4}SO.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\angle QHT=\angle QGP=30^\circ$ как соответственные углы при $TH||PG$ и $QG$ — секущей. Тогда $QT=\frac{1}{2}QH,$ где $QH$ — высота трапеции $KLMN.$ Тогда $SO=4QT.$ Для нахождения $QT$ необходимо найти $QH:$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 1) $S_{ABCD}=a^2=32\rightarrow a=4\sqrt2$[IMAGENEWLINE] 2) $S_{KLMN}=\frac{LM+KN}{2}\cdot QH,$ где $LM=\frac{1}{2}a=2\sqrt2\rightarrow KN=3\sqrt2.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $10\sqrt2=\frac{2\sqrt2+3\sqrt2}{2}\cdot QH\rightarrow QH=4.$[IMAGENEWLINE] Значит $QT=\frac{1}{2}QH=2\rightarrow SO=4\cdot2=8.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 8
    Задание 14.2
    Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Сечение пирамиды — четырехугольник KLMN, причем точки K, L, M, N лежат на ребрах SB, SA, SD и SC соответственно. Известно, что L и M — середины ребер SA и SD, а SK:KB=3:1.
    а) Докажите, что KLMN — трапеция и основания трапеции относятся как 2:3.
    б) Известно, что угол между плоскостью трапеции KLMN и плоскостью основания ABCD равен 30°. Найдите высоту пирамиды SABCD, если площадь квадрата ABCD равна 32, а площадь четырехугольника KLMN равна 10\sqrt{2}.
  • Решите неравенство $$\frac{9^{x+1} + 9^x + 54}{81^x - 28 \cdot 9^x + 27} \geqslant -1.$$
    $\frac{9^{x+1} + 9^x + 54}{81^x - 28 \cdot 9^x + 27} \geqslant -1.$[NEWLINE] Введём замену переменной. Пусть $t = 9^x,$ $t > 0$.[NEWLINE] Преобразуем выражения в неравенстве:[NEWLINE] $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9t$[NEWLINE] $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2 = t^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\frac{9t + t + 54}{t^2 - 28t + 27} \geqslant -1$[NEWLINE] $\frac{10t + 54}{t^2 - 28t + 27} \geqslant -1$[NEWLINE] $\frac{10t + 54}{t^2 - 28t + 27} + 1 \geqslant 0$[NEWLINE] $\frac{10t + 54 + t^2 - 28t + 27}{t^2 - 28t + 27} \geqslant 0$[NEWLINE] $\frac{t^2 - 18t + 81}{t^2 - 28t + 27} \geqslant 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе на множители:[NEWLINE] Числитель — полный квадрат: $t^2 - 18t + 81 = (t - 9)^2$.[NEWLINE] Знаменатель разложим по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$: $t^2 - 28t + 27 = (t - 1)(t - 27)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Получаем неравенство:[NEWLINE] $$\frac{(t - 9)^2}{(t - 1)(t - 27)} \geqslant 0$$[NEWLINE] Перейдём обратно к переменной $x:$ $\frac{(9^x-9)^2}{(9^x-1)(9^x-27)} \geq 0\Leftrightarrow\frac{(x-1)^2}{x(x-1,5)} \geq 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [image:0:right]Нанесём результаты на числовую прямую, решим методом интервалов и получаем ответ:[IMAGENEWLINE] $$x \in (-\infty; 0) \cup \{1\} \cup (1.5; \infty)$$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-\infty; 0) \cup \{1\} \cup (1.5; \infty)$
    Задание 15.1
    Решите неравенство \frac{9^{x+1} + 9^x + 54}{81^x - 28 \cdot 9^x + 27} \geqslant -1.
  • Решите неравенство: $ \frac{2 \cdot 4^{x-2}}{2 \cdot 4^{x-2} - 1} \geqslant \frac{7}{4^x - 1} + \frac{40}{16^x - 9 \cdot 4^x + 8}. $
    $ \frac{2 \cdot 4^{x-2}}{2 \cdot 4^{x-2} - 1} \geqslant \frac{7}{4^x - 1} + \frac{40}{16^x - 9 \cdot 4^x + 8}$[NEWLINE] $ \frac{2 \cdot 4^{x-2}}{2 \cdot 4^{x-2} - 1} = \frac{16 \cdot 4^{x-2}}{16 \cdot 4^{x-2} - 8} = \frac{4^x}{4^x - 8} $[NEWLINE] Введём замену переменной \( t = 4^x \) (\( t > 0 \)). Тогда неравенство примет вид: $ \frac{t}{t - 8} \geqslant \frac{7}{t - 1} + \frac{40}{t^2 - 9t + 8} $[NEWLINE] $ t^2 - 9t + 8 = (t - 1)(t - 8) $[NEWLINE] $ \frac{t}{t - 8} - \frac{7}{t - 1} - \frac{40}{(t - 1)(t - 8)} \geqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t(t - 1) - 7(t - 8) - 40}{(t - 1)(t - 8)} \geqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t^2 - t - 7t + 56 - 40}{(t - 1)(t - 8)} \geqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t^2 - 8t + 16}{(t - 1)(t - 8)} \geqslant 0 $[NEWLINE] Числитель является полным квадратом: $ \frac{(t - 4)^2}{(t - 1)(t - 8)} \geqslant 0 $[NEWLINE] Вернёмся обратно к переменной $x:$[NEWLINE] $\frac{(4^x-4)^2}{(4^x-1)(4^x-8)} \geqslant 0 \Leftrightarrow$$\frac{(x-1)^2}{x(x-\frac{3}{2}) }\geqslant 0$[NEWLINE] [image:0:right] $ x \in (-\infty; 0) \cup \{1\} \cup \left(\frac{3}{2}; +\infty\right). $[NEWLINE] **Ответ:** $ (-\infty; 0) \cup \{1\} \cup \left(\frac{3}{2}; +\infty\right) $[NEWLINE]
    Задание 15.2
    Решите неравенство: \frac{2 \cdot 4^{x-2}}{2 \cdot 4^{x-2} - 1} \geqslant \frac{7}{4^x - 1} + \frac{40}{16^x - 9 \cdot 4^x + 8}.
  • В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;[NEWLINE] — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.[NEWLINE] На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 17,5 млн рублей?
    Обозначим:[NEWLINE] $S = 7$ млн — сумма кредита,[NEWLINE] [NEWLINE] $n$ — количество лет (искомое),[NEWLINE] $r = 20\% = 0{,}2$ — годовая процентная ставка,[NEWLINE] $\frac{S}{n}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый год.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline n & \dfrac{S}{n} & \dfrac{S}{n}(1 + r) & \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты производятся по дифференцированной схеме, то сумма выплат, равная 17,5 млн рублей, образует арифметическую прогрессию. Сумму которой с первого года по $n$-й год можно найти по формуле:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \][NEWLINE] где $a_1 = Sr + \dfrac{S}{n}$, $a_n = \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n}$[NEWLINE] \[ S_n = \frac{Snr + 2S + Sr}{2} \][NEWLINE] Подставим $S = 7$, $r = 0{,}2$, $S_n = 17{,}5$:[NEWLINE] \[ 17{,}5 = \frac{7 \cdot n \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 7 + 7 \cdot 0{,}2}{2} \][NEWLINE] \[ 17{,}5 = \frac{1{,}4n + 14 + 1{,}4}{2} \][NEWLINE] \[ 17{,}5 = \frac{1{,}4n + 15{,}4}{2} \][NEWLINE] \[ 35 = 1{,}4n + 15{,}4 \][NEWLINE] \[ 1{,}4n = 19{,}6 \][NEWLINE] \[ n = \frac{19{,}6}{1{,}4} = 14 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 14
    Задание 16.1
    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
    — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
    На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 17,5 млн рублей?
  • В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;[NEWLINE] — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.[NEWLINE] На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
    Обозначим:[NEWLINE] $S = 10$ млн — сумма кредита,[NEWLINE] $n$ — количество лет (искомое),[NEWLINE] $r = 10\% = 0{,}1$ — годовая процентная ставка,[NEWLINE] $\dfrac{S}{n}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый год.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline n & \dfrac{S}{n} & \dfrac{S}{n}(1 + r) & \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты производятся по дифференцированной схеме, то сумма выплат, равная 15 млн рублей, образует арифметическую прогрессию. Сумму которой с первого года по $n$-й год можно найти по формуле:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \][NEWLINE] где $a_1 = Sr + \dfrac{S}{n}$, $a_n = \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n}$[NEWLINE] \[ S_n = \frac{Snr + 2S + Sr}{2} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $S = 10$, $r = 0{,}1$, $S_n = 15$:[NEWLINE] \[ 15 = \frac{10 \cdot n \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 10 + 10 \cdot 0{,}1}{2} \][NEWLINE] \[ 15 = \frac{n + 20 + 1}{2} \][NEWLINE] \[ 15 = \frac{n + 21}{2} \][NEWLINE] \[ 30 = n + 21 \][NEWLINE] \[ n = 9 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 9
    Задание 16.2
    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
    — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
    На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
  • В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга; [NEWLINE] — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц и год} & \text{Июль 2026} & \text{Июль 2027} & \text{Июль 2028} & \text{Июль 2029} & \text{Июль 2030} \\ \hline \text{Долг (в млн руб.)} & S & 0{,}8S & 0{,}6S & 0{,}4S & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Найдите наибольшее значение \(S\), при котором сумма всех платежей будет меньше 50 млн рублей.
    Обозначим:[NEWLINE] \(S\) млн руб. — первоначальная сумма кредита,[NEWLINE] \(r = 25\% = 0{,}25\) — годовая процентная ставка,[NEWLINE] \(n = 4\) — срок кредита (лет).[NEWLINE] Составим таблицу выплат за каждый год. Каждый год сначала начисляются проценты на остаток долга, затем выплачивается часть тела долга + проценты.[NEWLINE] \[ \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \textbf{Год} & \textbf{Долг до %} & \textbf{Долг после %} & \textbf{Выплата} & \textbf{Долг после выплаты} \\ \hline 2026 & S & S(1 + r) & 0{,}2S + Sr & 0{,}8S \\ \hline 2027 & 0{,}8S & 0{,}8S(1 + r) & 0{,}2S + 0{,}8Sr & 0{,}6S \\ \hline 2028 & 0{,}6S & 0{,}6S(1 + r) & 0{,}2S + 0{,}6Sr & 0{,}4S \\ \hline 2029 & 0{,}4S & 0{,}4S(1 + r) & 0{,}4S + 0{,}4Sr & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Составим неравенство для общей суммы всех платежей (сумма столбца «Выплата» должна быть меньше 50):[NEWLINE] \[ (0{,}2S + Sr) + (0{,}2S + 0{,}8Sr) + (0{,}2S + 0{,}6Sr) + (0{,}4S + 0{,}4Sr) < 50 \][NEWLINE] \[ (0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}4)S + (1 + 0{,}8 + 0{,}6 + 0{,}4)Sr < 50 \][NEWLINE] \[ S + 2{,}8Sr < 50 \][NEWLINE] Подставим значение процента \(r = 0{,}25\):[NEWLINE] \[ S + 2{,}8S \cdot 0{,}25 < 50 \][NEWLINE] \[ S + 0{,}7S < 50 \][NEWLINE] \[ 1{,}7S < 50 \][NEWLINE] \[ S < \frac{50}{1{,}7} = \frac{500}{17} \][NEWLINE] \[ S < 29\frac{7}{17} \][NEWLINE] Так как \(S\) — целое число, нам нужно найти наибольшее целое, которое меньше полученной дроби. [NEWLINE] Это число 29.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 29
    Задание 16.3
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга;
    — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц и год} & \text{Июль 2026} & \text{Июль 2027} & \text{Июль 2028} & \text{Июль 2029} & \text{Июль 2030} \\ \hline \text{Долг (в млн руб.)} & S & 0{,}8S & 0{,}6S & 0{,}4S & 0 \\ \hline \end{array}
    Найдите наибольшее значение S , при котором сумма всех платежей будет меньше 50 млн рублей.
  • Найдите все значения параметра $a$, при которых система [NEWLINE] \[ \begin{cases} |x^2 - 1| + 2x - x^2 = |y^2 - 1| + 2y - y^2 \\ x + y = a \end{cases} \][NEWLINE] имеет более двух решений.
    Рассмотрим уравнение системы относительно модулей. Выделим область определения по знаку выражений под модулем (\(x^2 - 1\) и \(y^2 - 1\)). Возможны 4 случая для раскрытия модулей:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]1) Случай 1:[/BOLD] \(x^2 - 1 \ge 0\) и \(y^2 - 1 \ge 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| \ge 1\) и \(|y| \ge 1\))[NEWLINE] В этих областях убираем модули со знаком плюс:[NEWLINE] $ \begin{cases} (x^2 - 1) + 2x - x^2 = (y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 \ge 0 \end{cases} $[NEWLINE] Упрощаем:[NEWLINE] \[ 2x - 1 = 2y - 1 \][NEWLINE] Отсюда получаем прямую:[NEWLINE] \[ y = x \][NEWLINE] С учетом ОДЗ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)\) и \(y \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)\).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]2) Случай 2:[/BOLD] \(x^2 - 1 < 0\) и \(y^2 - 1 \ge 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| < 1\) и \(|y| \ge 1\))[NEWLINE] Модуль по \(x\) раскрываем со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} -(x^2 - 1) + 2x - x^2 = y^2 - 1 + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 < 0 \\ y^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ -2x^2 + 2x + 1 = 2y - 1 \][NEWLINE] \[ 2y = -2x^2 + 2x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -x^2 + x + 1 \][NEWLINE] Находим вершину параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\). Значение \(y_0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}\). Так как \(|x| < 1\), берем дугу параболы на этом отрезке.\(\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]3) Случай 3:[/BOLD] \(x^2 - 1 < 0\) и \(y^2 - 1 < 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| < 1\) и \(|y| < 1\))[NEWLINE] Оба модуля раскрываются со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} -(x^2 - 1) + 2x - x^2 = -(y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 < 0 \\ y^2 - 1 < 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ -2x^2 + 2x = -2y^2 + 2y \][NEWLINE] \[ x^2 - x - y^2 + y = 0 \][NEWLINE] \[ (x^2 - y^2) - (x - y) = 0 \][NEWLINE] \[ (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 \][NEWLINE] \[ (x - y)(x + y - 1) = 0 \][NEWLINE] Получаем совокупность двух прямых внутри квадрата \(|x|<1, |y|<1\):[NEWLINE] \[ \begin{cases} y = x \\ x \in (-1; 1) \\ y \in (-1; 1) \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y = -x + 1 \\ x \in (-1; 1) \\ y \in (-1; 1) \end{cases} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]4) Случай 4:[/BOLD] \(x^2 - 1 \ge 0\) и \(y^2 - 1 < 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| \ge 1\) и \(|y| < 1\))[NEWLINE] Модуль по \(y\) раскрывается со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} (x^2 - 1) + 2x - x^2 = -(y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 < 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ 2x - 1 = -2y^2 + 2y + 1 \][NEWLINE] \[ 2x = -2y^2 + 2y + 2 \][NEWLINE] \[ x = -y^2 + y + 1 \][NEWLINE] Вершина параболы находится по оси \(y\): \(y_0 = \frac{1}{2}\), тогда \(x_0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}\). Возьмем часть параболы, лежащую внутри полосы \(|y| < 1\).\(\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Графический анализ:[/BOLD] Построим полученную геометрическую фигуру (совокупность линий на координатной плоскости) и будем рассматривать прямые \(x + y = a\), которые являются семейством параллельных прямых с наклоном \(-1\). Требуется найти такие \(a\), при которых пересечений больше двух.[NEWLINE] [image:0:right] $I.$ При $a=1$ график $y=-x+a$ совпадает с $y=-x+1$ из третьего случая — бесконечное множество решений.[IMAGENEWLINE] $I-II.$ При $a\in [1;2)$ — три решения.[IMAGENEWLINE] $II.$ При $a\in[2;+\infty)$ — одно решение[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Значит $a\in[1;2).$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in[1;2).$
    Задание 18.1
    Найдите все значения параметра a , при которых система
    \begin{cases} |x^2 - 1| + 2x - x^2 = |y^2 - 1| + 2y - y^2 \\ x + y = a \end{cases}
    имеет более двух решений.
  • Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений[NEWLINE] $ \begin{cases} (x^2 + y^2 + 6x) \cdot \sqrt{y + x + 6} = 0 \\ y = x + a \end{cases} $[NEWLINE] имеет ровно два различных решения.
    Первое уравнение системы состоит из произведения множителей. Следовательно, решение системы удовлетворяет хотя бы одному из равенств, являющихся множителями:[NEWLINE] 1. \(x^2 + y^2 + 6x = 0\) (уравнение окружности);[NEWLINE] 2. \(\sqrt{y + x + 6} = 0 \implies y + x + 6 = 0\) (прямая при условии существования корня).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как второе уравнение содержит подкоренное выражение, область определения накладывает условие \(y + x + 6 \geq 0\). Однако в силу второго множителя \(\sqrt{y + x + 6} = 0\), нам достаточно рассмотреть именно случай \(y + x + 6 = 0\). Таким образом, график первой системы — это объединение окружности и прямой отрезка.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]1. Анализ окружности[/BOLD] \(x^2 + y^2 + 6x = 0:\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты: $(x^2 + 6x + 9) + y^2 = 9 $[NEWLINE] $(x + 3)^2 + y^2 = 3^2 $[NEWLINE] Это уравнение окружности с центром \(O(-3; 0)\) и радиусом \(R = 3\).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]2. Анализ прямой[/BOLD] \(\sqrt{y + x + 6} = 0\)[NEWLINE] Корень равен нулю при:[NEWLINE] $ y = -x - 6 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем точки пересечения этой прямой и окружности:[NEWLINE] $ \begin{cases} (x + 3)^2 + y^2 = 9 \\ y = -x - 6 \end{cases} $[NEWLINE] Подставим \(y\) в уравнение окружности:[NEWLINE] $(x + 3)^2 + (-x - 6)^2 = 9 $[NEWLINE] $ (x + 3)^2 + (x + 6)^2 = 9 $[NEWLINE] $ x^2 + 6x + 9 + x^2 + 12x + 36 = 9 $[NEWLINE] $ 2x^2 + 18x + 36 = 0 \quad |:2 $[NEWLINE] $ x^2 + 9x + 18 = 0 $[NEWLINE] Решив квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант), найдем корни:[NEWLINE] $ \begin{cases} x_1 = -6 \\ x_2 = -3 \end{cases} $[NEWLINE] [image:0:right]Соответствующие ординаты: \(y_1 = 0\), \(y_2 = -3\).[IMAGENEWLINE] Точки пересечения окружности и прямой: \(A(-6; 0)\) и \(B(-3; -3)\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]3. Анализ семейства прямых[/BOLD] \(y = x + a\)[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Прямая \(y = x + a\) пересекает полученную фигуру в следующих случаях:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Случай 1:[/BOLD] Прямая касается окружности.[IMAGENEWLINE] Если прямая касается окружности, то она дает 1 точку пересечения с окружностью., но вторая точка будет находиться на прямой \(y = -x - 6\) (так как они обязательно пересекаются в одной точке, если не параллельны, а угловые коэффициенты разные). Итого 2 точки, потому что два этих графика получились как из произведения, равного нулю.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Подставим \(y = x + a\) в уравнение окружности:[IMAGENEWLINE] $ (x + 3)^2 + (x + a)^2 = 9 $[IMAGENEWLINE] $ x^2 + 6x + 9 + x^2 + 2ax + a^2 = 9 $[IMAGENEWLINE] $ 2x^2 + (6 + 2a)x + a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Для касания дискриминант должен быть равен нулю:[IMAGENEWLINE] $ D = (6 + 2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] $ 36 + 24a + 4a^2 - 8a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] $ -4a^2 + 24a + 36 = 0 \quad |:(-4) $[IMAGENEWLINE] $ a^2 - 6a - 9 = 0 $[IMAGENEWLINE] [image:1:right] Найдем корни этого квадратного уравнения:[IMAGENEWLINE] $ D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 $[IMAGENEWLINE] $ a_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2} $[IMAGENEWLINE] Значит при $a= 3 \pm 3\sqrt{2} $ прямая $y=x+a$ касается окружности и пересекает прямую $y=-x-6.$ Итого, как и было ранее сказано, получаем две точки в решении (синие прямые на рисунке).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Случай 2:[/BOLD] Прямая проходит через точки пересечения окружности и линии \(y = -x - 6\)[IMAGENEWLINE] В этих случаях одна из точек пересечения окружности совпадает с точкой пересечения прямой \(y = x + a\) и линии \(y = -x - 6\). Это сокращает количество общих точек до двух (одна точка "сливается", но остается общей для всей системы, вторая остается обычной точкой пересечения окружности).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Точки \(A(-6; 0)\) и \(B(-3; -3)\) уже найдены. Подставим их координаты в уравнение прямой \(y = x + a\) для нахождения \(a\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Для точки \(A(-6; 0)\):[IMAGENEWLINE] $ 0 = -6 + a \implies a = 6 $[IMAGENEWLINE] Для точки \(B(-3; -3)\):[IMAGENEWLINE] $ -3 = -3 + a \implies a = 0 $[IMAGENEWLINE] При таких \(a\) прямая \(y = x + a\) проходит через эти общие точки, обеспечивая ровно два решения системы (чёрные прямые на рисунке).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in[0;6] \cup \{3\pm\sqrt2\}.$
    Задание 18.2
    Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений
    \begin{cases} (x^2 + y^2 + 6x) \cdot \sqrt{y + x + 6} = 0 \\ y = x + a \end{cases}
    имеет ровно два различных решения.