Демо вариант ЕГЭ 2026 проф. мат.

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
    [image:0:left] \(\angle ABC\) - вписанный, значит \(◡ADC=103^{\circ}\cdot2=206^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE] Аналогично, \(◡DC=103^{\circ}\cdot2=84^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE] Искомый угол \(\angle ABD\) вписанный и опирается на \(◡AD\). Значит ее и нужно нам найти.[IMAGENEWLINE] \(◡AD=◡ADC-◡DC=206^{\circ}-84^{\circ}=122^{\circ}\)[IMAGENEWLINE] \(\angle ABD=\frac{1}{2}◡AD=\frac{1}{2}\cdot122^{\circ}=61^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE]
    Задание 1.1
    Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
    Изображение к заданию 6
  • Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
    [image:0:left]Проведем отрезок $TE||AB$ (см. рис.):[IMAGENEWLINE] Параллелограм поделился пополам (как и его площадь). Обратим внимание на то, что $BE$ делит ровно пополам параллелограм $BTEA.$[IMAGENEWLINE] Тогда $S_{BCDE}=S_{TCDE}+S_{BTE}$[IMAGENEWLINE] $S_{TCDE}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$, $S_{BTE}=\frac{1}{4}S_{ABCD}$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Тогда $S_{BCDE}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}\cdot24=18.$[IMAGENEWLINE]
    Задание 1.2
    Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
    Изображение к заданию 270
  • Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.
    [image:0:right] Нанесем на рисунок известные нам значения. CM - медиана, а значит \(\triangle CMB\) - равнобедренный. Следовательно, \(\angle B=\angle BCM=65^\circ.\)[IMAGENEWLINE] В \(\triangle BCH: \angle BCH=90^\circ-65^\circ=25^\circ.\)[IMAGENEWLINE] \(\angle BCM=\angle HCM + \angle BCH \rightarrow \)\(\angle HCM=\angle BCM-\angle BCH=65^\circ-25^ \circ=40^\circ.\)
    Задание 1.3
    Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.
    Изображение к заданию 271
  • Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
    [image:0:left] Введем обозначения и нанесем дано на рисунок. \(BC=4, AD= 10\). [IMAGENEWLINE] Так как \(MN\) - средняя линия, то она параллельна основаниям. По теореме Фалеса, это означает, что \(BD\) делится в таком же отношении, как и боковые стороны (а они делятся пополам). [IMAGENEWLINE] Значит \(MO\) - средняя линия \(\triangle ABD \rightarrow MO=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot10=5.\)
    Задание 1.4
    Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
    Изображение к заданию 272
  • На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}.\) Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}.\)
    [image:0:left] Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a}(x_a, y_a) \) и \( \vec{b}(x_b, y_b) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b \) [IMAGENEWLINE] Напомню, что координаты вектора это то, на сколько перемещается тело тело по Ox и Oy. Для вектора \(\vec{a}\) перемещение от начальной точки до конечной следующие: направо 4, наверх 6, значит \(\vec{a}(4;6), \vec{b}(6;-2)\). Аналогичным образом понимаем, что \(\vec{b}(6;-2).\)[IMAGENEWLINE] \(\vec{a} \cdot \vec{b}=4\cdot6+6\cdot(-2)=24-12=12.\)
    Задание 2.1
    На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдите скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{b}.
    Изображение к заданию 273
  • Даны векторы \(\vec{a}\)(2;0) и \(\vec{b}\)(1;4). Найдите длину вектора \(\vec{a}+3\vec{b}.\)
    \(3\vec{b}(3;12)\). Тогда \(\vec{a}+3\vec{b}=\vec{c}(5;12).\)[NEWLINE] Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для \(\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.\) Тогда:[NEWLINE] \(\vec{c}=\sqrt{5^2+12^2}=13.\)
    Задание 2.2
    Даны векторы \vec{a} (2;0) и \vec{b} (1;4). Найдите длину вектора \vec{a}+3\vec{b}.
  • Даны векторы \(\vec{a}\)(5;4) и \(\vec{b}\)(8;-9). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
    Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a}(x_a, y_a) \) и \( \vec{b}(x_b, y_b) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b \). [NEWLINE] \(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\cdot8+4\cdot(-9)=40-36=4.\)
    Задание 2.3
    Даны векторы \vec{a} (5;4) и \vec{b} (8;-9). Найдите скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{b}
  • Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
    [image:0:left]\(R_2=1,5R_1, H_1=2H_2.\)[IMAGENEWLINE] \(V_ц=S_{осн}\cdot H,\) где \(S_{осн}=\pi R^2.\)[IMAGENEWLINE] \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R_2^2\cdot H_2}{\pi R_1^2\cdot H_1}=\frac{2,25R_1^2\cdot H_2}{R_1^2\cdot2H_2}=\frac{9}{8}=1,125.\)
    Задание 3.1
    Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
    Изображение к заданию 275
  • Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁ прямоугольного параллелепипеда ABCD₁B₁C₁D₁, у которого AB = 3, AD = 9, AA₁ = 4.
    Многогранник \(ABCDD_1\) - это пирамида с основанием \(ABCD\) и высотой \(AA_1\). [NEWLINE] Значит \(V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h,\) где \(S_{осн} \) - площадь прямоугольника \(ABCD\), h=\(AA_1\).[NEWLINE] \(V=\frac{1}{3}AB\cdot AD\cdot AA_1=\frac{1}{3}\cdot3\cdot9\cdot4=36.\)
    Задание 3.2
    Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁ прямоугольного параллелепипеда ABCD₁B₁C₁D₁, у которого AB = 3, AD = 9, AA₁ = 4.
    Изображение к заданию 276
  • В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
    [image:0:left] Пусть \(H_1=H, R_1=R, H_2=3H, R_2=3R, \) (потому что большой конус пропорционально больше маленького) где \(1\) - маленький конус, а \(2\) - большой конус. То есть у большого конуса радиус и высота в 3 раза больше. [IMAGENEWLINE] Согласно формуле объёма конуса, \(V=\frac{1}{3}\pi R^2H,\) это значит, что объем в \(3^2\cdot3\) раз больше (радиус в квадрате). [IMAGENEWLINE] То есть \(V_2=27V_1 \rightarrow V_2=27\cdot4=108.\) Но в задаче спрашивают, по существу, про разность объемов.[IMAGENEWLINE] Тогда ответом будет: \(\triangle V=V_2-V_1=108-4=104.\)
    Задание 3.3
    В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \frac{1}{3} высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
    Изображение к заданию 277
  • Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.
    [image:0:left] Высота и радиус конуса равны, а радиус сферы и основания конуса совпадают, так как сфера содержит окружность основания конуса.[IMAGENEWLINE] \(AO=OB=H=R,\) а образующая \(l=AB\) - гипотенуза \(\triangle AOB\). [IMAGENEWLINE] \(l=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2} \rightarrow\) \(R=\frac{l}{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}{\sqrt2}=9.\)
    Задание 3.4
    Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.
    Изображение к заданию 278
  • В группе туристов 50 человек. Их вертолетом доставлят в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолета.
    Людей перевозят по 5 человек. Если В. попадает в эти 5 человек, значит он летит. Это и есть благоприятное условие. [NEWLINE] Значит \[ P = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} . \]
    Задание 4.1
    В группе туристов 50 человек. Их вертолетом доставлят в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолета.
  • Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
    [image:0:right] Решать такие задания очень удобно с помощью числовой прямой. Нарисуем и обозначим: [IMAGENEWLINE] Получается, что нам нужно найти вот это расстояние между 15 и 20. То есть \(0,94-0,56=0,38.\) [BOLD]Это и будет ответом.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Если у вас возник вопрос "Почему?", то давайте попробуем логически прийти к этому выводу. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Данная числовая прямая объединяет в себе всевозможные вероятности. То есть если мы говорим про менее 15 пассажиров, то их явно менее 20, а значит в вероятность "меньше 20 пассажиров" входит вероятность "меньше 15 пассажиров" и вероятность "меньше 19 пассажиров, но больше 15 пассажиров". Тогда нам нужно это записать вот так:[IMAGENEWLINE] \(P(\text{меньше 20})=P(\text{больше 15, но меньше 19})+P(\text{меньше}15),\) где \(P(\text{больше 15, но меньше 19})\) - искомая вероятность. Отсюда \(P(\text{больше 15, но меньше 19})=P(\text{меньше 20})-P(\text{меньше 15})=0,26.\)
    Задание 4.2
    Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
  • На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.
    Порядок докладов определяется жеребьевкой, что означает равенство вероятностей того, что ученый выступит любым из 10:[NEWLINE] \(P=\frac{3}{10}=0,3.\)
    Задание 4.3
    На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.
  • Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
    Когда говорят "хотя бы 1 что-то не перегорит" это значит, что нам подходят абсолютно все условия, кроме перегорания всех ламп: три, две или одна лампа горит- ок, ноль ламп горят - не ок. [NEWLINE] Получается, если вообще все перегорят, то это противоположное событие. При этом каждое из событий "лампа перегорит" независимо, а потому [NEWLINE] \( P_{\text{все перегорят}} = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,343. \) [NEWLINE] Тогда вероятность обратного события:[NEWLINE] \( P_{\text{хотя бы одна}} = 1 - P_{\text{все перегорят}} = 1 - 0,343 = 0,657. \)
    Задание 5.1
    Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  • В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
    Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий. [NEWLINE] В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятность. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись: [NEWLINE] \(P=\frac{5}{25}\cdot\frac{9}{24}+\frac{9}{25}\cdot\frac{5}{24}.\) [NEWLINE] Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:[NEWLINE] \(P=2\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{8}=0,4\cdot0,375=0,15.\)
    Задание 5.2
    В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
  • При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
    Такие задания удобно решать с помощью координатной прямой. [image:0:left] Тут нужно просто найти вероятность, которая находится между 790 и 810. Для этого мы для начала найдем обратную вероятность для события "масса окажется больше, чем 790 г": [IMAGENEWLINE] \(P(A)=0,84\) - вероятность события "масса окажется больше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) \) - вероятность обратного события, т.е. "масса окажется меньше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) = 1 - 0,84 = 0,16. \) [NEWLINE] Перерисуем. [NEWLINE] [image:1:left] Теперь просто вычитаем: \(0,95-0,16=0,79.\) Это и есть искомая вероятность, которую нас просят найти.
    Задание 5.3
    При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
  • В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
    [image:0:left] [BOLD] Обозначим события: [/BOLD][IMAGENEWLINE] - \( A \) — кофе закончится в первом автомате. [IMAGENEWLINE] - \( B \) — кофе закончится во втором автомате. [IMAGENEWLINE] [BOLD] Из условия задачи известно: [/BOLD] [IMAGENEWLINE] - \( P(A) = 0,2, \) [IMAGENEWLINE] - \( P(B) = 0,2, \) [IMAGENEWLINE] - \( P(AB) = 0,18 \) - кофе закончится в первом И во втором автомате (в теорвере союз "И" это знак "умножить" для событий, а ИЛИ это знак "плюс"). [IMAGENEWLINE] Во-первых, такие задачи решаются и понимаются прекрасно с помощью кругов Эйлера. [IMAGENEWLINE] Во-вторых, нужно обратить внимание на то, что вероятности у нас совместные, потому что вероятностью независимых событий будет произведение вероятностей этих событий. Но если мы умножим данные вероятности, то получим \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,04,\) хотя по условию дано \(P(AB)=0,18,\) что говорит о совместности этих событий. В таком случае нам нужно исключить их пересечение и тогда мы получим "чистую" вероятность того, что кофе закончится (говорят, общая вероятность).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Теперь смотрим на рисунок и видим, что мы объединяем два множества вероятности событий и должны "удалить" их пересечение. Их пересечением является совпадение событий, то есть вероятность "кофе закончится в первом и во втором автомате".[IMAGENEWLINE] Вот отсюда и получается формула \(P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Подставляем известные значения: \( P(A + B) = 0,2 + 0,2 - 0,18 = 0,22. \) [IMAGENEWLINE] [BOLD] Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: [/BOLD] \( P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - 0,22 = 0,78. \)[IMAGENEWLINE]
    Задание 5.4
    В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
  • Найдите корень уравнения \((\frac{1}{3})^{3-x}=81.\)
    \((\frac{1}{3})^{3-x}=(\frac{1}{3})^{-4}\)[NEWLINE] \(3-x=-4\)[NEWLINE] \(x=3+4=7\)
    Задание 6.1
    Найдите корень уравнения (\frac{1}{3})^{3-x}=81.
  • Найдите корень уравнения \(\sqrt{44-5x}=3.\)
    В этих заданиях не забываем про ОДЗ. [NEWLINE] \(44-5x\geq0\) [NEWLINE] \(-5x\geq-44\)[NEWLINE] \(x\leq8,8\)[NEWLINE] Теперь можно переходить к решению самого уравнения. Да, ОДЗ необязательно и не исключит никаких корней, но если вы хотите решать задания более сложного уровня, то приучайте себя к поиску ограничений (это, кстати, и в жизни помогает): [NEWLINE] \(44-5x=9\) (Возвели обе части в квадрат) [NEWLINE] \(44-9=5x|:5\)[NEWLINE] \(x=7\)
    Задание 6.2
    Найдите корень уравнения \sqrt{44-5x}=3.
  • Найдите корень уравнения \(\log_8(5x+47)=3.\)
    \(\log_ab=c,\Leftrightarrow a^c=b.\)[NEWLINE] \(8^3=5x+47\)[NEWLINE] \(5x=512-47|:5\)[NEWLINE] \(x=93\)
    Задание 6.3
    Найдите корень уравнения \log_8(5x+47)=3.
  • Решите уравнение\(\sqrt{2x+3}=x.\) Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
    Не забываем про ОДЗ:[NEWLINE] \(x\geq0\) (потому что из-под квадратного корня может извлечься только неотрицательное число)[NEWLINE] Возводим обе части в квадрат, решим и отберем корни:[NEWLINE] \(2x+3=x^2\)[NEWLINE] \(x^2-2x-3\)[NEWLINE] \(\begin{cases} x_1+x_2=2 \\ x_1\cdot x_2=-3 \end{cases} \rightarrow\) \(\left[\begin{aligned} & x_1=3 \\ & x_2=-1 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Учитывая ОДЗ, \(x=3.\)
    Задание 6.4
    Решите уравнение \sqrt{2x+3}=x. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
  • Найдите значение выражения: \( 3\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12} \)
    \( \sin 2x=2\sin x \cos x . \)[NEWLINE] \( 3\sin\frac{13\pi}{12} \cos\frac{13\pi}{12} = 1,5 \sin\frac{13\pi}{6}. \) [NEWLINE] Преобразуем \(\sin\frac{13\pi}{6}=\sin(2\pi+\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.\)[NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \(1,5\cdot\frac{1}{2}=0,75.\)
    Задание 7.1
    Найдите значение выражения: 3\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}
  • Найдите значение выражения \(\frac{\log_{7}32}{\log_{7}2}.\)
    \(\frac{m}{n}\log_ab=\log_{a^n}b^m.\)[NEWLINE] \(\frac{\log_{7}2^5}{\log_{7}2}=\frac{5\log_{7}2}{\log_{7}2}=5.\)
    Задание 7.2
    Найдите значение выражения \frac{\log_{7}32}{\log_{7}2}.
  • Найдите значение выражения \(25^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}.\)
    \((5^2)^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}=5^{4\sqrt8+6}\cdot5^{-3-4\sqrt8}=\)\(5^{4\sqrt8+6-3-4\sqrt8}=5^3=125.\)
    Задание 7.3
    Найдите значение выражения 25^{2\sqrt8+3}\cdot5^{-3-4\sqrt8}.
  • На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-12;12). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;11].
    Точка максимума — такая точка, где производная меняет свой знак с "+" на "-". Такие точки отмечены на рисунке для отрезка [-6;11] и их всего 5. [image:0]
    Задание 8.1
    На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-12;12). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;11].
    Изображение к заданию 291
  • На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
    Так как изображён график производной функции, то вспомним, что если производная положительна, то функция возрастает. На графике таких точек всего 6 (см.рис). [image:0]
    Задание 8.2
    На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
    Изображение к заданию 293
  • На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    [image:0:left] Значение производной функции в точке это тангенс угла наклона касательных с положительным направлением оси \(Ox.\) [IMAGENEWLINE]\(tg\alpha=\frac{8}{5}=1,6.\)
    Задание 8.3
    На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    Изображение к заданию 294
  • Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 90км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S = v₀t + \frac{at^2}{2}\),где t — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.
    Подставляем все, что нам дают в формулу, получаем квадратное уравнение и решаем его: [NEWLINE] \(72=90t+\frac{16t^2}{2} \rightarrow 72=90t+8t^2\) \(\rightarrow 4t^2+45t-36=0\)[NEWLINE] Лично мне как-то лень решать дискриминантом, неприятные числа. Придется еще извлекать квадратный корень и прочее. Решим методом переноса коэффициента. [NEWLINE] Перенесем коэффициент \(a\) к коэффициенту \(c\) умножением и временно заменим переменную:[NEWLINE] \(m^2+45m-36\cdot4=0\) [NEWLINE] В чем красота метода? Он позволяет получать приведенное квадратное уравнение и решить с помощью теоремы Виета.[NEWLINE] \(\begin{cases} m_1+m_2=-45 \\ m_1\cdot m_2=-36\cdot4 \end{cases} \rightarrow\) \(\begin{cases} m_1+m_2=-45 \\ m_1\cdot m_2=-48\cdot3 \end{cases}\rightarrow\) \( \left[ \begin{aligned}& m_1=-48 \\& m_2=3 \end{aligned} \right. \rightarrow\) \( \left[ \begin{aligned}& t_1=-12 \\& t_2=\frac{3}{4} \end{aligned} \right. \)[NEWLINE] Первый корень отрицательный, значит это посторонний корень. Второй корень нам подходит, но ответ просят выразить в минутах, а у нас получились часы (смотрите единицы физических величин в тексте).[NEWLINE] \(t=\frac{3}{4}\cdot60=45\) мин.
    Задание 9.1
    Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 90км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S = v₀t + \frac{at^2}{2} ,где t — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.
  • Перед отправкой тепловоз издал гудок с частоток f₀=295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону \(f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с.
    Тут самое главное понимать то, что частота \(f(v)\) должна быть больше (это указано в тексте), причем в данной задаче указано, что больше минимум на 5 Гц включительно, что означает, что \(f(v)\geq5.\) Минимальная скорость приближения будет тогда, когда частота будет отличаться минимальна. Выразим \(v,\) подставим и посчитаем: [NEWLINE] \(f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) [NEWLINE] \(1-\frac{v}{c}=\frac{f_0}{f(v)}\) [NEWLINE] \(1-\frac{f_0}{f(v)}=\frac{v}{c}|\cdot c\) [NEWLINE] \(v=c(1-\frac{f_0}{f(v)})\)[NEWLINE] \(v=300(1-\frac{295}{300})=300-295=5.\)
    Задание 9.2
    Перед отправкой тепловоз издал гудок с частоток f₀=295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с.
  • Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la} \), где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
    Выразим формулу, а после подставим значения. [NEWLINE] Возведем в квадрат: [NEWLINE] \(v^2=2la|:2l\)[NEWLINE] \(a=\frac{v^2}{2l}\)[NEWLINE] \(a=\frac{70^2}{2\cdot 0,5}=4900.\)
    Задание 9.3
    Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле v = \sqrt{2la} , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
  • От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{v (км/ч)} & \textbf{t (ч)} & \textbf{S (км)} \\ \hline \text{Первый теплоход} & x-2 & \frac{323}{x-2} & 323 \\ \hline \text{Второй теплоход} & x & \frac{323}{x } & 323 \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия известно, что отправился он через 2 часа и прибыли они вовремя. Составим и решим уравнение: [NEWLINE] \(\frac{323}{x-2}-2=\frac{323}{x}|\cdot x(x-2)\neq0\)[NEWLINE] \(323x-2x(x-2)-323(x-2)=0\)[NEWLINE] \(323x-2x^2+4x-323x+646=0|:(-2)\)[NEWLINE] \(x^2-2x-323=0\)[NEWLINE] \(\begin{cases} x_1+x_2=2 \\ x_1\cdot x_2=-323 \end{cases} \rightarrow\) \(\left[\begin{aligned} & x_1=19 \\& x_2=-17 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Второй корень не имеет физического смысла, поэтому \(x=19\) км/ч.
    Задание 10.1
    От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
  • Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
    Составим две таблицы по условию:[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{I} & \textbf{II} & \textbf{Вода} & \textbf{III}\\ \hline \text{m, кг} & x & y & 10 & x+y+10\\ \hline \text{%} & 45 & 97 & 0 & 62 \\ \hline \end{array} $$ $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{I} & \textbf{II} & \textbf{Кислота} & \textbf{III}\\ \hline \text{m, кг} & x & y & 10 & x+y+10\\ \hline \text{%} & 45 & 97 & 50 & 72 \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] На основании данных из таблицы, составим и решим систему уравнений (складываем просто массы кислот в растворах): [NEWLINE] \(\begin{cases} 45\%x+97\%y+0\%\cdot10=62\%(x+y+10) \\ 45\%x+97\%y+50\%\cdot10=72\%(x+y+10)\rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} 45x+97y=62(x+y+10) \\ 45x+97y+50\cdot10=72(x+y+10) \rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} 45x+97y=62x+62y+620 \\ 45x+97y+500=72x+72y+720\rightarrow \end{cases}\) \(\begin{cases} -17x+35y=620|\cdot5 \\ -27x+25y=220|\cdot7\rightarrow \end{cases}\)[NEWLINE] И вычитаем из верхнего нижнее:[NEWLINE] \(-85x+175y+189x-175y=3100-1540\)[NEWLINE] \(104x=1560|:104\)[NEWLINE] \(x=15.\)[NEWLINE] Мы за \(x\) обозначили именно \(45\%-\)ный раствор.
    Задание 10.2
    Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
  • Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
    Составим две таблицы по условию:[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{N, Л/мин} & \textbf{A, Л} & \textbf{t, мин}\\ \hline \text{Первая труба} & x & 104 & \frac{104}{x} \\ \hline \text{Вторая труба} & x+5 & 104 & \frac{104}{x+5} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Зная, что первая труба заполняет на 5 минут дольше (то есть ее время на 5 мин больше), составим и решим уравнение: [NEWLINE] \(\frac{104}{x}-5=\frac{104}{x+5}|\cdot x(x+5)\neq0\)[NEWLINE] \(104(x+5)-5x(x+5)=104x\)[NEWLINE] \(104x+520-5x^2-25x-104x=0|:(-5)\)[NEWLINE] \(x^2+5x-104=0\)[NEWLINE] \(\begin{cases} x_1+x_2=-5 \\ x_1\cdot x_2=-104 \end{cases} \rightarrow\)\(\left[\begin{aligned} & x_1=-13 \\& x_2=8 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Первый корень не имеет физического смысла, поэтому подходит \(x=8.\)
    Задание 10.3
    Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
  • На рисунке изображён график функции вида \(f(x)=\frac{k}{x}.\) Найдите значение f(30).
    Восстановим коэффициент \(k,\) взяв точку \((3;1)\): [NEWLINE] \(1=\frac{k}{3}\rightarrow k=3 \rightarrow f(x)=\frac{3}{x}\)[NEWLINE] Тогда \(f(30)=\frac{3}{30}=0,1.\)
    Задание 11.1
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=\frac{k}{x}. Найдите значение f(30).
    Изображение к заданию 300
  • На рисунке изображены графики функций f(x)=ax²+bx+c и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B
    Восстановим коэффициенты \(g(x),\) взяв точку \((1;3):\)[NEWLINE] \(3=1\cdot k \rightarrow g(x)=3x.\)[NEWLINE] Теперь восстановим коэффициенты \(f(x):\)[NEWLINE] Сначала увидим, что \(c=0,\) т.к. \(f(0)=0\) (см.рис.).[NEWLINE] Далее возьмем две точки, например, \((2;0)\) и \((3;3)\), составим и решим систему:[NEWLINE] \(\begin{cases} 0=a\cdot2^2+b\cdot2|:2 \\ 3=a\cdot3^2+b\cdot3|:3 \end{cases}\rightarrow\) \(\begin{cases} 2a+b=0 \\ 3a+b=1 \end{cases}\)[NEWLINE] Вычитаем из нижнего верхнее:[NEWLINE] \(3a+b-2a-b=1-0\)[NEWLINE] \(a=1 \rightarrow b=-2 \rightarrow f(x)=x^2-2x.\)[NEWLINE] Чтобы найти точки пересечения двух функций, необходимо приравнять их:[NEWLINE] \(x^2-2x=3x\)[NEWLINE] \(x^2-5x=0\)[NEWLINE] \(x(x-5)=0\)[NEWLINE] \(x=0\) (абсцисса точки А) ИЛИ \(x=5\) (абсцисса другой точки, то есть B)
    Задание 11.2
    На рисунке изображены графики функций f(x)=ax²+bx+c и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B
    Изображение к заданию 301
  • На рисунке изображён график функции вида f(x)=aˣ. Найдите значение f(5).
    Восстановим коэффициент \(a,\) взяв точку \(1;2:\) [NEWLINE] \(2=a^1 \rightarrow a=2 \rightarrow f(x)=2^x.\) [NEWLINE] Тогда \(f(5)=2^5=32.\)
    Задание 11.3
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=aˣ. Найдите значение f(5).
    Изображение к заданию 302
  • Найдите точку максимума функции y=9ln(x-4)-9x-7.
    Точка максимума - один из экстремумов функции. Найдем производную, найдем нули, найдем и точки экстремума.[NEWLINE] \(y'=(9\ln(x-4)-9x-7)'\)[NEWLINE] Правила дифференцирования:[NEWLINE] \((CU)'=CU';\) \((x^n)'=nx^{n-1};\) \((lnx)'=\frac{1}{x};\) \((U+V)'=U'+V'\)[NEWLINE] \(y'=\frac{9}{x-4}-9\)[NEWLINE] \(\frac{9}{x-4}-9=0|:9\) (на константу можно делить)[NEWLINE] \(\frac{1-x+4}{x-4}=0\)[NEWLINE] \(\frac{5-x}{x-4}=0 \Leftrightarrow \) \(\begin{cases} 5-x=0 \\ x-4\neq0 \end{cases}\rightarrow \)\(\begin{cases} x=5 \\ x\neq4 \end{cases}\)[NEWLINE] Обращаю ваше внимание на то, что \(x\) не может быть равен \(4\), то есть у нас единственная точка, которая может быть в ответе это \(x=5\). Это еще и следствие ограничений логарифма \((x-4>0),\) поэтому это и будет ответом.
    Задание 12.1
    Найдите точку максимума функции y=9ln(x-4)-9x-7.
  • Найдите точку максимума функции \(y=(x+8)^2\cdot e^{3-x}.\)
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти промежуток, в котором плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] Определим правила дифференцирования: [NEWLINE] \((x^n)'=nx^{n-1}\) [NEWLINE] \((UV)'=U'V+UV'\)[NEWLINE] \((e^x)'=e^x\), но в данном случае функция сложная, а значит \((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\).[NEWLINE] \(y'=((x+8)^2)'\cdot e^{3-x}+(x+8)^2\cdot (e^{3-x})'=\)\(2(x+8)\cdot e^{3-x}-(x+8)^2\cdot e^{3-x}=\)\(e^{3-x}(x+8)(2-x-8)=\)\(e^{3-x}(x+8)(-x-6).\)[NEWLINE] Приравняем к нулю.[NEWLINE] \(e^{3-x}(x+8)(-x-6)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(e^{3-x}=0\)[NEWLINE]Это показательная функция. Она не может быть равной нулю по свойствам. Значит здесь нет корней. Причем она строго положительная. Это влияет на промежутки знакопостоянства производной.[COLUMN-BREAK]\((x+8)(-x-6)\)[NEWLINE]\(x=-8\) ИЛИ \(x=-6\)[/TWO-COLUMNS] [image:0:left] Нанесем эти корни на числовую прямую. Так как у нас квадратичная функция анализируется (потому что показательная всегда положительна) и ветви вниз, то будут знаки "минус-плюс-минус" (см. рис.). Точка \(x=-8\) - точка минимума, а \(x=-6\) - точка максимума. Это и будет ответом.
    Задание 12.2
    Найдите точку максимума функции y=(x+8)^2\cdot e^{3-x}.
  • Найдите точку минимума функции \(y=-\frac{x}{x^2+256}.\)
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти промежуток, в котором минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] Определим правила дифференцирования: [NEWLINE] \((x^n)'=nx^{n-1}\) [NEWLINE] \((UV)'=U'V+UV'\)[NEWLINE] \((\frac{U}{V})=\frac{U'V-UV'}{V^2}\)[NEWLINE] \(y'=(\frac{-x}{x^2+256})'=\frac{(-x)'\cdot(x^2+256)-(-x)(x^2+256)'}{(x^2+256)^2}=\)\(\frac{-x^2-256+x\cdot2x}{(x^2+256)^2}=\frac{x^2-256}{(x^2+256)^2}\)[NEWLINE] Приравняем к нулю.[NEWLINE] \(\frac{x^2-256}{(x^2+256)^2}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-256=0 \\ (x^2+256)^2\neq0 \textbf{ - верно} \end{cases}\)[NEWLINE] Тогда остается только рассмотреть \(x^2-256=0 \Leftrightarrow x=\pm16\) [image:0:left] Нанесем эти корни на числовую прямую. Так как у нас квадратичная функция анализируется (потому что \((x^2+256)^2>0\)) и ветви вверх, то будут знаки "плюс-минус-плюс" (см. рис.). Точка \(x=-16\) - точка максимума, а \(x=16\) - точка минимума. Это и будет ответом.
    Задание 12.3
    Найдите точку минимума функции y=-\frac{x}{x^2+256}.
  • Найдите точку максимума функции y=x³+27x²+11.
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] \(((x^n)'=nx^{n-1},\) \((CU)'=CU',\) \(x'=1,\) \(C'=0.\)[NEWLINE] \(y'=(x^3+27x^2+11)'=\)\(3x^2+54x.\)[NEWLINE] Находим нули функции: [NEWLINE] \(3x^2+54x=0\)[NEWLINE] \(3x(x+18)=0\)[NEWLINE] \(x=0\) ИЛИ \(x=-18\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и определим промежутки. Графиком производной будет парабола, ветви вверх, поэтому будут знаки интервалов "плюс-минус-плюс": [NEWLINE] [image:0:left] Как выше уже было сказано, нам необходимо найти точки, где плюс меняется на минус, потому что для функции это смена промежутка убывания на промежуток возрастания. Такой точкой будет -18 (см. рис.).
    Задание 12.4
    Найдите точку максимума функции y=x³+27x²+11.
  • а) Решите уравнение 2sin³x=√2cos²x+2sinx. [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi;-\frac{5\pi}{2}].\)
    \(2\sin^3x=\sqrt2(1-\sin^2x)+2\sin x\)[NEWLINE] \(2\sin^3x-\sqrt2+\sqrt2\sin^2x-2\sin x=0\)[NEWLINE] \(\sin^2x(2\sin x+\sqrt2)-(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \((2\sin x+\sqrt2)(\sin^2x-1)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z\\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]\(\sin^2x-1=0\)[NEWLINE]\(\sin x=\pm1\)[NEWLINE]\(x=\frac{\pi}{2}+ \pi m, \quad m \in Z\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1=-\frac{5\pi}{2}\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=-\frac{7\pi}{2}\)[IMAGENEWLINE] \(x_3=-3\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{11\pi}{4}.\)[NEWLINE] Ответ: а) \(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z \\ x=\frac{\pi}{2}+ \pi m, \quad m \in Z\\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] б) \(x_1=-\frac{5\pi}{2}\)[NEWLINE] \(x_2=-\frac{7\pi}{2}\)[NEWLINE] \(x_3=-3\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{11\pi}{4}.\)[NEWLINE]
    Задание 13.1
    а) Решите уравнение 2sin³x=√2cos²x+2sinx.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4\pi;-\frac{5\pi}{2}].
  • а) Решите уравнение \(2+2\cos(\pi-2x)+\sqrt8\sin x=\sqrt6+\sqrt{12}\sin x.\)[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}].\)
    \(2-2\cos2x+\sqrt8\sin x-\sqrt6-\sqrt{12}\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2(1-2\sin^2x)+2\sqrt2\sin x-\sqrt2\sqrt3-2\sqrt3\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2+4\sin^2x+2\sqrt2\sin x-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \(2\sin x(2\sin x+\sqrt2)-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \((2\sin x+\sqrt2)(2\sin x-\sqrt3)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2\sin x+\sqrt2=0\)[NEWLINE]\(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]\(2\sin x-\sqrt3=0\)[NEWLINE]\(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)\(\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(4\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_2\) — движением назад от \(4\pi\) на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_3\) получается движением от \(3\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE] Ответ:а) \(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z\\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE]
    Задание 13.2
    а) Решите уравнение 2+2\cos(\pi-2x)+\sqrt8\sin x=\sqrt6+\sqrt{12}\sin x.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi;\frac{9\pi}{2}].
  • В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. [NEWLINE] а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.
    [image:0:left] а) Рассмотрим \(\triangle ABN:\)[IMAGENEWLINE] По условию, треугольники все равносторонние, так как \(ABCD\) — тетраэдр. \(MN\) делит \(AB\) пополам, а значит это медиана. Значит \(MN\) — высота и биссектриса (по свойству равностороннего треугольника. Следовательно, \(MN\perp AB.\)[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим \(\triangle MCD:\)[IMAGENEWLINE] Данный треугольник является равнобедренным, так как точки \(C\) и \(D\) равноудалены от \(M,\) а значит \(CM=DM \rightarrow \triangle MCD\) — равнобедренный. \(MN\) — в нем тоже медиана, проведенная к основанию, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, \(MN \perp CD,\) что и требовалось доказать. [IMAGENEWLINE] [image:1:left] б) \(KLPQ\) — искомая плоскость \(\alpha.\) Докажем, что \(KLPQ\) — прямоугольник:[IMAGENEWLINE] Вся плоскость этого четырехугольника перпендикулярна \(MN.\) Прямая называется [BOLD]перпендикулярной к плоскости,[/BOLD] если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. [IMAGENEWLINE] Значит \(MN\perp LP,\) а т.к. \(MN\perp CD\) (см. п. а), то \(LP||CD.\) Абсолютно аналогично доказывается \(KL|| AB.\) Из этого следует (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой), что \(LP\perp KL \rightarrow KLPQ \) — прямоугольник, чтд.[IMAGENEWLINE] Тогда \(S_{KLPQ}=LP\cdot KL.\) Найдем их:[IMAGENEWLINE] Так как \(ABCD\) — тетраэдр, то все стороны равны, а значит все грани — равносторонние треугольники.[IMAGENEWLINE] Из условия известно, что \(BK=1,\) \(KC=3.\) Тогда все стороны равны по \(4.\) \(KL||AB,\) а значит отсекается тоже равносторонний треугольник \(\rightarrow KL=KC=LC=3,\) а \(AL=BK=1=AP=LP.\) Тогда:[IMAGENEWLINE] \(S_{KLPQ}=3\cdot1=3.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: 3.[/BOLD]
    Задание 14.1
    В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
    а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
    б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.
  • В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение, ABMN где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB=BM=AN=5MN.[NEWLINE] а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4, считая от вершины S.[NEWLINE] б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.
    [image:0:left] а) Так как \(SABCD\) это правильная четырёхугольная пирамида, то в основании — квадрат, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Следовательно, \(SC=SD,\) \(AB||CD \rightarrow AB||(SDC)\) (по теореме о параллельности прямой и плоскости). [IMAGENEWLINE] А значит \(AB\) будет параллельна любой прямой в плоскости \((SDC) \rightarrow MN||CD.\) Следовательно, \(\triangle SMN \sim \triangle SCD\) (по двум соответственным углам или по теореме Фалеса, например).[IMAGENEWLINE] Запишем подобие для двух данных треугольников:[IMAGENEWLINE] Пусть \(MN=x,\) тогда \(AB=CD=5x:\)[IMAGENEWLINE] \(\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SD}=\frac{MN}{CD}=\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть \(SM=y \rightarrow SC=5y.\) Тогда \(CM=SC-SM=5y-y=4y \rightarrow \frac{SM}{CM}=\frac{1}{4}.\) Аналогично, \(\frac{SN}{DN}=\frac{1}{4},\) чтд.[IMAGENEWLINE] б) [image:1:left] Проведем угол между плоскостями по правилу построения двугранных углов. \(\angle EFG\) — искомый угол.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Проведем \(SO\) как высоту пирамиды. \(SABCD\) — правильная пирамида, а значит \(SO\) — делит пополам \(FE \rightarrow FO=2,5x.\) [IMAGENEWLINE] Проведем \(GH||SO.\) Тогда искомым косинусом угла будет \(\cos\angle HFG=\frac{FH}{FG.}\)[IMAGENEWLINE] По теореме Фалеса, \(\frac{OH}{HE}=\frac{SG}{GE}=\frac{1}{4}.\) Так как \(OE=FO,\) то \(OH=0,5x \rightarrow FH=3x.\)[IMAGENEWLINE] [image:2:left]Теперь \(FG\) найдем, рассмотрев \(ANMB\) — равнобедренную трапецию (так как \(AB||MN\) и так как \(BM=AN \) по условию). \(FG\) — высота равнобедренной трапеции. Проведем \(NK=GF.\) Так как \(AB=5MN=5x,\) то \(AK=\frac{5x-x}{2}=2x.\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(NK=\sqrt{25x^2-4x^2}=x\sqrt{21}.\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(\cos\angle HFG=\frac{3x}{x\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{21}=\frac{\sqrt{21}}{7}.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]\(\cos\angle HFG=\frac{\sqrt{21}}{7}.\)
    Задание 14.2
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение, ABMN где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB=BM=AN=5MN.
    а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4, считая от вершины S.
    б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.
  • Решите неравенство \(\frac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2x^2+\log_2x^4+1}\geq0.\)
    Рассмотрим ОДЗ:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(\log_2^2x^2+\log_2x^4+1\neq0\)[NEWLINE]\((\log_2x^2+1)^2\neq0\)[NEWLINE]\(\log_2x^2+1\neq0\) (2 кр.)[NEWLINE]\(x^2\neq\frac{1}{2}\) (2 кр.)[NEWLINE]\(x\neq\pm\frac{\sqrt2}{2}\) (2 кр.)[NEWLINE]\(x\in(-\infty;-\frac{\sqrt2}{2})∪(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2})∪(\frac{\sqrt2}{2};+\infty).\)[COLUMN-BREAK]\(\begin{cases} 2-x \gt 0 \\ x+1 \gt 0 \\ x^2 \gt 0 \end{cases}\)[NEWLINE]\(\begin{cases} x \lt 2 \\ x \gt -1 \\ x \neq 0\end{cases}\)[/TWO-COLUMNS] Итоговое ОДЗ видно на рисунке. [NEWLINE] [image:0] [IMAGENEWLINE] \((\log_2x^2+1)^2\neq0,\) но оно само по себе \(\geq0,\) ведь это квадратное выражение. Значит \(\left(\log_2x^2+1)^2>0\right..\)[IMAGENEWLINE] Тогда если вся дробь у нас дает неотрицательный результат \((\geq0),\) то \(\log_2(2-x)-\log_2(x+1) \geq 0.\) Решим это неравенство и пересечем с ОДЗ:[IMAGENEWLINE] \(\log_2(2-x)-\log_2(x+1) \geq 0\)[IMAGENEWLINE] \(\log_2(2-x) \geq \log_2(x+1) \)[IMAGENEWLINE] \(2-x \geq x+1 \)[IMAGENEWLINE] \(2x \leq 1 |:2\)[IMAGENEWLINE] \(x \leq \frac{1}{2}.\)[IMAGENEWLINE] Пересекая с ОДЗ, получаем следующую картину: [IMAGENEWLINE] [image:1][IMAGENEWLINE] Ответ: \(x \in (-1;-\frac{\sqrt2}{2})∪(-\frac{\sqrt2}{2};0)∪(0;\frac{1}{2}]\)
    Задание 15.1
    Решите неравенство \frac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2x^2+\log_2x^4+1}\geq0.
  • Решите неравенство \(\frac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}\geq0.\)
    В данном задании предполагается, что вы увидите формулы сокращенного умножения (ФСУ). Но если в знаменателе ее увидеть достаточно легко (как минимум, потому что коэффициенты очень неприятные, поэтому хочется преобразовать), то вот в знаменателе формулу [BOLD]куб разности[/BOLD] заметить не так-то просто. Поэтому предлагаю вам разложить на множители [BOLD]теоремой Безу[/BOLD].[NEWLINE] Рассмотрим ограничения: [NEWLINE] \(50x^2-110x+60,5\neq0|\cdot2\)[NEWLINE] \(100x^2-220x+121\neq0\)[NEWLINE] \((10x)^2-2\cdot10x\cdot11+11^2\neq0\)[NEWLINE] \((10x-11)^2\neq0\)[NEWLINE] \(x\neq1,1\) (2 кр.)[NEWLINE] Значит \(x\in(-\infty;1,1)∪(1,1;+\infty).\)[NEWLINE] При этом, заметим, что \((10x-11)^2\geq0\) само по себе. А вместе с ограничениями: [NEWLINE] \((10x-11)^2 > 0 \rightarrow \) зная, что искомая дробь неотрицательна \((\geq0),\) из этого следует:[NEWLINE] \(27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27 \geq0, \) пусть \(3^x=t,\) \(t>0:\) [NEWLINE] \(t^3-9t^2+27t-27\geq00\)[NEWLINE] По теореме Безу (один из делителей свободного члена — корень), методом подстановки, определяем, что корнем будет \(t=3.\) Поделим многочлен на \(t-3\): [NEWLINE] [image:0:left] Заметим, что \(t^2-6t+9 = (t-3)^2 \rightarrow\)\(t^3-9t^2+27t-27=(t-3)^3.\)[IMAGENEWLINE] Перейдем обратно к искомой переменной и к неравенству:[IMAGENEWLINE] \((3^x-3)^3 \geq0 \)[IMAGENEWLINE] \(3^x-3 \geq0 \)[IMAGENEWLINE] \(x-1\geq 0\)[IMAGENEWLINE] \(x\geq1.\)[IMAGENEWLINE] Пересекая с ОДЗ \((x\neq1,1)\), получаем:[NEWLINE] Ответ: \(x \in [1;1,1)∪(1,1;+\infty).\)
    Задание 15.2
    Решите неравенство \frac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}\geq0.
  • В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;[NEWLINE] — в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга июль предыдущего года;[NEWLINE] — к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.[NEWLINE] Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
    Долг уменьшается на одну и ту же сумму в определенные промежутки, то рассмотрим эти промежутки и сколько мы должны будем платить: [NEWLINE] В 2026 году долг составляет 800 тыс. рублей, а в 2031 году должен составить 200 тыс. рублей.[NEWLINE] В 2036 году долг должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Тогда в первый промежуток надо погашать долг каждый год в размере \(\frac{800-200}{5}=120\) тыс. рублей.[NEWLINE] Во второй: \(\frac{200-0}{5}=40\) тыс. рублей.[NEWLINE] Сверху каждый январь долг возрастает на \(r\%,\) то к изначальной сумме долга \(S\) мы добавляем \(r\%S=\frac{r}{100}S.\)[NEWLINE] То есть выплата в каждом году будет \(S'=S+\frac{r}{100}S=S(1+\frac{r}{100})\)[NEWLINE] Обозначим данный коэффициент за \(k,\) где \(k=1+\frac{r}{100}\)[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Год} & \textbf{Долг + k} & \textbf{Выплата} \\ \hline 2026 & 800k & 800k-680 \\ \hline 2027 & 680k & 680k-560 \\ \hline 2028 & 560k & 560k-440 \\ \hline 2029 & 440k & 440k-320 \\ \hline 2030 & 320k & 320k-200 \\ \hline 2031 & 200k & 200k-160 \\ \hline 2032 & 160k & 160k-120 \\ \hline 2033 & 120k & 120k-80 \\ \hline 2034 & 80k & 80k-40 \\ \hline 2035 & 40k & 40k \\ \hline 2036 & 0k & \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] По условию, сумма всех выплат равна 1480 тыс. рублей. То есть мы берем и складываем вообще все выплаты (этот момент я опущу, там просто сложить нужно) и получаем:[NEWLINE] \(3400k=4080|:3400\)[NEWLINE] \(k=\frac{4080}{3400}=1,2.\)[NEWLINE] Тогда \(1+\frac{r}{100}=1,2|\cdot 100\)[NEWLINE] \(r=20.\)[NEWLINE] Ответ: \(r=20.\)
    Задание 16.1
    В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
    — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
    в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
    — в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
    — в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга июль предыдущего года;
    — к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
    Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно А, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
    Долг уменьшается на одну и ту же сумму каждый месяц, значит выплатой будет часть от \(A\), то есть \(\frac{1}{24}A.\) [NEWLINE] 2027 год начинается с 1 месяца и заканчивается на 12-м. Кредит был всего на 24 месяца, значит 2028 год это с 13 по 24 месяцы. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Месяц} & \textbf{Выплата} & \textbf{Долг} & \textbf{%}\\ \hline 1 & \frac{1}{24}A & A & \frac{3}{100}A \\ \hline 2 & \frac{1}{24}A & \frac{23}{24}A & \frac{3}{100}\frac{23}{24}A\\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 13 & \frac{1}{24}A & \frac{12}{24}A & \frac{3}{100}\frac{12}{24}A\\ \hline 14 & \frac{1}{24}A & \frac{11}{24}A & \frac{3}{100}\frac{11}{24}A\\ \hline .. & ... & ... & ... \\ \hline 23 & \frac{1}{24}A & \frac{2}{24}A & \frac{3}{100}\frac{2}{24}A\\ \hline 24 & \frac{1}{24}A & \frac{1}{24}A & \frac{3}{100}\frac{1}{24}A\\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] По условию, нам известно, что сумма платежей в 2028 году равна 17 925 тыс. рублей, значит мы складываем все месяцы, начиная с 13-го:[NEWLINE] Все платежи = Выплаты (6 мес.) + % (с 13 по 24 мес.), где % будем считать с помощью формулы суммы арифметической прогрессии.[NEWLINE] \(17\space925=6\cdot\frac{1}{24}A+\frac{3}{100}A(\frac{12}{24}+...\frac{1}{24})\)[NEWLINE] \(17\space925=\frac{1}{2}A+\frac{3}{100}A\cdot\frac{\frac{1+12}{24}}{2}\cdot12\)[NEWLINE] \(17\space925=\frac{239}{400}A|\cdot\frac{400}{239}\)[NEWLINE] \(A=30000\) тыс. рублей[NEWLINE] \(A=30\) млн рублей.[NEWLINE] Ответ: 30 млн рублей.
    Задание 16.2
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно А, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
  • Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4.[NEWLINE] а) Докажите, что AC=CE.[NEWLINE] б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.
    [image:0:left] а) ◡\(AB=\)◡\(CD,\) а ◡\(BC=\)◡\(DE,\) так как равные хорды стягивают равные дуги.[IMAGENEWLINE] \(\angle1=\angle2\) (опираются на равную дугу).[IMAGENEWLINE] Аналогично, \(\angle3=\angle4.\)[IMAGENEWLINE] В \(\triangle ACE:\)[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} \angle A=\angle 1+\angle 3 \\ \angle E=\angle2+\angle4 \end{cases}\rightarrow\) \(\angle A=\angle E.\)[IMAGENEWLINE] Получается, что в \(\triangle ACE\) равны два угла при основании \(AE,\) значит он равнобедренный по признаку, поэтому \(AC=CE,\) что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) \(\angle 5=\angle 1 \) как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Так как это [BOLD]накрест лежащие углы,[/BOLD] то \(BC||AD\) при \(AC\) — секущей.[IMAGENEWLINE] \(\angle 6=\angle 7\) как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Так как это [BOLD]накрест лежащие углы,[/BOLD] то \(BE||CD\) при \(BD\) — секущей.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:left] Обозначим \(O\) за точку пересечения \(AD\) и \(BE.\) \(OD\) и \(BO\) лежат на прямых \(AD\) и \(BE,\) а значит верно, что \(BO||CD\) и \(BC||OD.\)[IMAGENEWLINE] Следовательно, \(BCDO\) — параллелограмм \(\rightarrow BO=CD=AB=3, BC=DO=DE=4.\)[IMAGENEWLINE] \(BE=BO+EO,\) значит осталось найти EO:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Из этого следует, что треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle DOE\) — равнобедренные по признаку с основаниями \(AO\) и \(OE\).[IMAGENEWLINE] Причем \(\angle BOA=\angle DOE\) как вертикальные углы, а значит, по свойству равнобедренного треугольника (Углы при основании равны) \(\angle BOA=\angle DOE=\angle BAO=\angle DEO \rightarrow\)\(\triangle ABO\sim\triangle DOE\) по двум равным углам.[IMAGENEWLINE] Запишем подобие для двух данных треугольников:\(\frac{AB}{DE}=\frac{AO}{EO}, \) где \(AO=AD-DO=6-4=2.\)[IMAGENEWLINE] \(EO=\frac{DE\cdot AO}{AB}=\frac{4\cdot2}{3}=\frac{8}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(BE=3+\frac{8}{3}=5\frac{2}{3}.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \(BE=5\frac{2}{3}.\)
    Задание 17.1
    Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4.
    а) Докажите, что AC=CE.
    б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.
  • В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.[NEWLINE] а) Докажите, что BM=PQ.[NEWLINE] б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.
    [image:0:left] а) Проведем \(QH\perp BP.\) \(QH||BC,\) так как \(BP\perp BC.\) Тогда \(\angle1=\angle2 \) как накрест лежащие углы.[IMAGENEWLINE] \(\angle A=\angle C \rightarrow \angle1=\angle2=\angle3.\)[IMAGENEWLINE] Заметим, что \( \angle5=90^\circ=\angle6, \angle1=\angle3,\) а также \(\angle 4=\angle A\) и \(AB=BQ, AM=BP \rightarrow \triangle ABM=\triangle BPQ\) (по двум равным сторонам и равному углу между ними).[IMAGENEWLINE] В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, а значит \(BM=PQ\) как стороны лежащие напротив \(\angle A=\angle 4\), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) Пусть \(S_{APQ}=\frac{1}{2}AP\cdot PH.\)[IMAGENEWLINE] \(\triangle BAP=\triangle BHQ\) по стороне \(AB=BQ\) и двум прилежащим к ней углам \(\angle1=\angle3,\angle4=\angle A.\)[IMAGENEWLINE] Значит \(AP=BH.\)[IMAGENEWLINE] Из теоремы Пифагора в \(\triangle ABP: AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=6=BH.\)[IMAGENEWLINE] Так как \(BP=BH+PH,\) то \(PH=BP-BH=8-6=2.\)[IMAGENEWLINE] Следовательно, \(S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6
    Задание 17.2
    В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.
    а) Докажите, что BM=PQ.
    б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.
  • Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений[NEWLINE] \(\begin{cases} (x^2-5x-y+3)\cdot\sqrt{x-y+3}, \\ y=3x+a \end{cases}\)[NEWLINE] имеет ровно два различных решения.
    Подставим нижнее уравнение в верхнее, приравняем к нулю, выразим через \(a\) получившиеся уравнения и построим графики зависимости \(a(x):\)[NEWLINE] \((x^2-5x-3x-a+3)\cdot\sqrt{x-3x-a+3}=0\)[NEWLINE] \(\begin{cases} \left[\begin{aligned} & x^2-8x-a+3=0 \\& \sqrt{x-3x-a+3} \\\end{aligned}\right. \\ x-3x-a+3\geq0 \end{cases}\rightarrow\) \(\begin{cases} a=x^2-8x+3 \\ a\leq-2x+3 \end{cases}\)[NEWLINE] \(a=x^2-8x+3\) — парабола, ветви вверх.[NEWLINE] \(a\leq-2x+3\) — ограничение снизу до прямой \(a=-2x+3\)[NEWLINE] [NEWLINE] Необходимо найти вершину и задать значения для параболы:[NEWLINE] \(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2}=4.\)[NEWLINE] \(a_0=16-32+3=-13.\)[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 3 & 2 & 1 &0\\ \hline y &-13 & -12 & -9 & -4 & 3 \\ \hline \end{array} $$[NEWLINE] Теперь таблицу для \(a=-2x+3:\)[NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 &0\\ \hline y & 1 & 3 \\ \hline \end{array} $$[NEWLINE] [image:0:left] Теперь перемещаем прямую значений \(a\) и ищем подходящие значения для \(a,\) удовлетворяющие условию "система уравнений имеет ровно два различных решения":[IMAGENEWLINE] \(I:\) 2 решения. Пересечение с вершиной параболы и прямой. Подходит.[IMAGENEWLINE] \(I-II:\) 3 решения. Пересечения с ветвями параболы и прямой. Не подходит.[IMAGENEWLINE] \(II:\) 2 решения. Пересечение с параболой слева и точка пересечения правой ветви параболы с прямой. Подходит.[IMAGENEWLINE] \(II-III:\) 2 решения. Пересечение с левой ветвью параболы (так как правая отсутствует ввиду ограничений) и прямой. Подходит.[IMAGENEWLINE] \(III:\) 1 решение. Точка пересечения левой ветви параболы с прямой. Не подходит.[IMAGENEWLINE] Выше \(III\) 1 решение всегда — пересечение только с прямой. Не подходит.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \(a\in \{-13\}\cup[-9;3).\)
    Задание 18.1
    Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
    \begin{cases} (x^2-5x-y+3)\cdot\sqrt{x-y+3}, \\ y=3x+a \end{cases}
    имеет ровно два различных решения.
  • Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] \((|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0\)[NEWLINE] имеет ровно два различных корня.
    Пусть \(y=|x-a^2|+|x+1|:\)[NEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[NEWLINE] Проанализируем заменёнку (найдем нули его модулей):[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(x-a^2=0\)[NEWLINE]\(x=a^2\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt a^2\)[NEWLINE][COLUMN-BREAK]\(x+1=0\)[NEWLINE]\(x=-1\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt -1\)[/TWO-COLUMNS] Заметим, что \(a^2\geq0,\) поэтому \(x=a^2\) будет всегда правее на числовой прямой, чем \(x=-1.\) С этим знанием, нанесем на числовую прямую эти числа и расставим знаки для каждого из модулей. [image:0:left] Для каждого промежутка теперь раскроем модули:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-(x-a^2)-(x+1), \quad x\lt-1 \\ y=-(x-a^2)+x+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=x-a^2+x+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-2x+a-1, \quad x\lt-1 \\ y=a^2+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=2x-a^2+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Эскизно нанесем множество решений этой системы со значениями прямой \(y=a:\)[NEWLINE] [image:1:left] Перемещая прямую \(y=a\) снизу вверх и получаем, что при \(\lt a^2+1\) нет решений;[IMAGENEWLINE] при \(=a^2+1\) — бесконечное множество решений (они наложились);[IMAGENEWLINE] при \(\gt a^2+1\) — 2 решения.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Теперь самое сложное — отобрать нужные решения.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Во-первых, мы видим, что мы уже сказали, что наша заменёнка может иметь 2 решения и более, либо не иметь их вовсе. Учитывая, что наше искомое уравнение — квадратичное, то мы требуем от него лишь одно решение (то есть \(D=0\)). НО! Не будем забывать, что оно В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ КВАДРАТИЧНОЕ, а модули работают как бы НА НЕГО.[IMAGENEWLINE] То есть у квадратичного вообще-то все равно может быть два решения, а вот у заменёнки при этих значениях какие-то корни могут как бы "выпадать" из нужного интервала для решения. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]ВЫВОД:[/BOLD] возможны две ситуации:[IMAGENEWLINE] 1) Квадратичное имеет одно решение при \(y_0 \gt a^2+1,\) то есть в этом случае у заменёнки будет два решения;[IMAGENEWLINE] 2) Квадратичное имеет два решения такие, что \(y_1 \lt a^2+1 \lt y_2,\) то есть у заменёнки будет два решения, но один из корней выпадает из нужного нам интервала \(\gt a^2+1.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 1) Для начала решим самое простое — когда \(D=0\) у квадратичной функции:[IMAGENEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[IMAGENEWLINE] \(D=49-4(4a^2+4)=\)\(49-16a^2-16=33-16a^2\)[IMAGENEWLINE] \(33-16a^2=0\)[IMAGENEWLINE] \(a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) Изобразим все вышеперечисленное во втором пункте для нашей квадратичной функции \(f(y)=y^2-7y+4a^2+4:\)[NEWLINE] [image:2:left] То есть решения должны быть в нижней полуплоскости, потому что \(f(a^2+1) \lt 0\) (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Тогда получается, что решение сводится к системе:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} f(y)=y^2-7y+4a^2+4 \\ f(a^2+1) \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4a^2+4 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4(a^2+1) \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)(a^2-2) \lt 0,\) но \(a^2+1 \gt 0\) — всегда верно[IMAGENEWLINE] Тогда \(a^2-2 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция с нулями \(\pm\sqrt2,\) а значит \(a\in(-\sqrt2;\sqrt2).\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Объединяя это с нулями дискриминанта, мы получаем конечный ответ:[IMAGENEWLINE] \(a\in\{\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\}\cup(-\sqrt2;\sqrt2).\)
    Задание 18.2
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    (|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0
    имеет ровно два различных корня.