ЕГЭ 2025 (Основная волна)

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 86°. Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
    Обозначим треугольник и нанесем известные величины на рисунок. [image:0:right] Внешний угол CBD = 86°. Есть два пути: 1) свойство внешнего угла треугольника; 2) Свойство смежных углов. [IMAGENEWLINE] 1) Внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. То есть сумма двух других углов равнобедренного треугольника равна 86°. Значит каждый из них равен по 86°/2=43°. Это и есть ответ. [IMAGENEWLINE] 2) Сумма внешних углов равна 180°. Значит ∠CBD+∠ABC=180°. Откуда ∠ABC=94°[IMAGENEWLINE] Сумма углов треугольника равна 180° и плюс оставшиеся два угла равны. Значит \(\frac{180°-94°}{2}\)=43°
    Задание 1.1
    Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 86°. Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
    Изображение к заданию 172
  • В треугольнике ABC известно, что CD - биссектриса, ∠B=63°, ∠ACD=33°. Найдите ∠ADC. Ответ дайте в градусах.
    Нанесем дано на рисунок. [NEWLINE] [image:0:right] Так как CD - биссектриса, то ∠ACD=∠BCD=33°. ∠B=63° (по условию). Искомый угол ADC - внешний угол треугольника CBD. Значит, по свойству, внешнего угла треугольника (внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним): 180°-33°-63°=96°
    Задание 1.2
    В треугольнике ABC известно, что CD - биссектриса, ∠B=63°, ∠ACD=33°. Найдите ∠ADC. Ответ дайте в градусах.
    Изображение к заданию 173
  • Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
    [image:0:right] Нанесем на рисунок известные нам значения. CD - биссектриса, а значит \(∠DCB=45°\). [IMAGENEWLINE] Так как CH - высота, то \(∠CHD=90° =>\) в \(△DCB: ∠CDB=180°-45°-67°=68°\) (по теореме о сумме углов △). Аналогично находим искомый угол: [IMAGENEWLINE] \(∠DCH=180°-68°-90°=22°.\)
    Задание 1.3
    Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
    Изображение к заданию 194
  • Даны векторы \( \vec{a}\)(2;1) и \( \vec{b} \) (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\)
    Даны векторы \( \vec{a}\)(2;1) и \( \vec{b} \) (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\)[NEWLINE] Для начала нужно понимать, что сложение векторов это и есть вектор, поэтому скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\). [NEWLINE] \(7\vec{a}(14;7)\)[NEWLINE] Введем для простоты \(\vec{c}=\) \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\rightarrow\) \(\vec{c}(4;-3)\). [NEWLINE] Аналогично, \(\vec{d}\)=\( \vec{7a}\)+\(\vec{b}\rightarrow\) \(\vec{d}(16;3)\) [NEWLINE] Тогда \(\vec{c}\cdot\vec{d} = 4\cdot16+(-3)\cdot3 = 64-9=55.\)
    Задание 2.1
    Даны векторы \vec{a} (2;1) и \vec{b} (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов \vec{a} + \vec{b} и 7 \vec{a} + \vec{b}
  • Даны векторы \(\vec{a}\)(5;-7) и \(\vec{b}\)(14;1). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
    Скалярное произведение \(\vec{a}(x_1;y_1)\) и \(\vec{b}(x_2;y_2)\) ищется по формуле: [NEWLINE] \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\) \(x_1x_2+y_1y_2 \rightarrow\) \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\) \(5\cdot14+(-7)\cdot1=63.\)
    Задание 2.2
    Даны векторы \vec{a} (5;-7) и \vec{b} (14;1). Найдите скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b} .
  • Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
    [image:0:left] \( V_{пар} = S_{осн}\cdot h\), \( V_{цил} = S_{осн.кр.}\cdot h\), где \(S_{осн}\) - площадь прямоугольника, а \(S_{осн.кр.}\) - понятное дело, площадь круга. Осталось лишь понять, как они друг от друга зависят. Нужно обрартить внимание на то, что если цилиндр вписан в параллелепипед, то в основаниях у параллелепипеда лежат квадраты, ведь круг - идеальная фигура (см.рис). Высоты явно совпадают, а диаметр окружности будет стороной основания параллелепипеда. Тогда \( V_{пар} = d^2\cdot h = 4^2\cdot2=32\)
    Задание 3.1
    Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
    Изображение к заданию 185
  • Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен 10√2. Найдите образующую конуса.
    [image:0:right] Нанесем дано на рисунок и рассмотрим \(\triangle AOB\). Он прямоугольный, AO=OB(условие вписания конуса в сферу, у которых основание и большой круг совпадают)=R=\(10\sqrt{2}\), O - центр сферы.[IMAGENEWLINE] AB - образующая для конуса и гипотенуза для треугольника, а значит: [IMAGENEWLINE] \(AB^2=AO^2+BO^2=R^2+R^2=2R^2\)[IMAGENEWLINE] \(AB=R\sqrt{2}=10\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=10\cdot2=20\).
    Задание 3.2
    Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен 10√2. Найдите образующую конуса.
    Изображение к заданию 196
  • Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
    \(V_{пов. шара}=24\). Вычисляется по формуле: \(V_{пов. шара}=4\pi R^2\)[IMAGENEWLINE] \(24=4\pi R^2 \rightarrow \pi R^2=6\). [IMAGENEWLINE] \(S_{кр}=\pi R^2=6 \).
    Задание 3.3
    Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.
    Изображение к заданию 197
  • Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
    [image:0:right] \(r=h\) (по условию). \(S_{бок.ц.}=6\sqrt2\). \(S_{бок.ц.}=2\pi rh=2\pi r^2\).[IMAGENEWLINE] \(6\sqrt2=2\pi r^2 \rightarrow \pi r^2=3\sqrt2\).[IMAGENEWLINE] \(S_{бок. к.}=\pi rl\).[IMAGENEWLINE] \(l\) найдем с помощью теоремы Пифагора: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2r^2}=r\sqrt2\).[IMAGENEWLINE] Тогда \(S_{бок. к.}=\pi r^2\sqrt2=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6.\)
    Задание 3.4
    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
    Изображение к заданию 199
  • От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.
    \(\frac{S_{осн1}}{S_{осн2}}=\frac{4}{1}\), так как средняя линия делит треугольники в данном отношении. При этом \(h_1=h_2=h\).[NEWLINE] \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_{осн1}h_1}{S_{осн2}h_2}=\frac{S_{осн1}h}{S_{осн2}h}=\frac{4}{1}\). Откуда \(V_2=\frac{V_1}{4}=\frac{34}{4}=8,5\).
    Задание 3.5
    От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.
    Изображение к заданию 200
  • На олимпиаде по математике 320 участников собираются разместить в пяти аудиториях: в четырех — по 60 человек, а оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.
    \( 320-60\cdot4 = 80 \). [NEWLINE] P(A) = \(\frac{80}{320}\) = \(\frac{1}{4}\) = 0,25
    Задание 4.1
    На олимпиаде по математике 320 участников собираются разместить в пяти аудиториях: в четырех — по 60 человек, а оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.
  • Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
    Первые 3 дня по 11 докладов: \( 11\cdot 3 = 33\) [NEWLINE] Оставшиеся доклады распределены поровну между четвертым и пятым днями: 75-33=42, то есть по 21 доклад. [NEWLINE] P=\(\frac{21}{75}\) = 0,28.
    Задание 4.2
    Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
  • На конференцию приехали учёные из трёх стран: 8 из Уругвая, 7 из Чили и 5 из Парагвая. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад учёного из Чили.
    Общее количество участников 20, нам нужны только из Чили, которых 7. [NEWLINE] P = \( \frac{7}{20} \) = 0,35
    Задание 4.3
    На конференцию приехали учёные из трёх стран: 8 из Уругвая, 7 из Чили и 5 из Парагвая. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад учёного из Чили.
  • Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.
    Для каждой игры команда «Мотор» может либо начинать с мячом, либо нет. Вероятность каждого исхода равна 0,5. [NEWLINE] То есть нам нужны, чтобы было так: БЕЗ МЯЧА, С МЯЧОМ, БЕЗ МЯЧА. Это несовместные события, поэтому вероятность такого события равна произведению этих вероятностей: \( P=0,5^3 \) = 0,125.
    Задание 4.4
    Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.
  • Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать с мячом только вторую игру.
    «Ротор» должен: [NEWLINE] НЕ начинать первую игру (с «Статором»),[NEWLINE] начинать вторую игру (с «Стартёром»),[NEWLINE] НЕ начинать третью игру (с «Мотором»).[NEWLINE] Это независимые события, а потому, так как вероятность независимых событий равна произведению их вероятносей, то [NEWLINE] \(P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0,125.\)
    Задание 4.5
    Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать с мячом только вторую игру.
  • Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,92. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
    [image:0:left] Конвейер решается с помощью "Древа". Красные - из условия, Зеленые - посчитаны исходя из формулы полной вероятности.[IMAGENEWLINE] Нам нужны Исправные И Бракованные ИЛИ Неисправные И Бракованные (В теорвере "И" - действие "умножить", а "ИЛИ" - действие "сложить").[IMAGENEWLINE] Значит искомая вероятность будет равна: \(P=0,99\cdot0,02+0,01\cdot0,92=0,0198+0,0092=0,029.\)
    Задание 5.1
    Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,92. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
  • При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
    Такие задания удобно решать с помощью координатной прямой. [image:0:left] Тут нужно просто найти вероятность, которая находится между 790 и 810. Для этого мы для начала найдем обратную вероятность для события "масса окажется больше, чем 790 г": [IMAGENEWLINE] \(P(A)=0,93\) - вероятность события "масса окажется больше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) \) - вероятность обратного события, т.е. "масса окажется меньше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) = 1 - 0,93 = 0,07. \) [NEWLINE] Перерисуем. [NEWLINE] [image:1:left] Теперь просто вычитаем: \(0,96-0,07=0,89.\) Это и есть искомая вероятность, которую нас просят найти.
    Задание 5.2
    При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
  • В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
    [BOLD] Обозначим события: [/BOLD][NEWLINE] - \( A \) — кофе закончится в первом автомате. [NEWLINE] - \( B \) — кофе закончится во втором автомате. [NEWLINE] [BOLD] Из условия задачи известно: [/BOLD] [NEWLINE] - \( P(A) = 0,25, \) [NEWLINE] - \( P(B) = 0,25, \) [NEWLINE] - \( P(AB) = 0,1 \) - кофе закончится в первом И во втором автомате (в теорвере союз "И" это знак "умножить" для событий, а ИЛИ это знак "плюс"). [NEWLINE] Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность, что в обоих автоматах кофе не закончится. Это событие будет противоположным событию, когда хотя бы в одном автомате закончится кофе. Вероятность этого события можно найти как: [NEWLINE] \( P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - P(AB). \) [NEWLINE] [BOLD] Используем формулу для вероятности объединения двух событий: [/BOLD] \( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB). \) [NEWLINE] Подставляем известные значения: \( P(A + B) = 0,25 + 0,25 - 0,1 = 0,4. \) [NEWLINE] [BOLD] Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: [/BOLD] \( P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - 0,4 = 0,6. \)[NEWLINE] [BOLD][/BOLD][NEWLINE] [BOLD]НЕБОЛЬШОЕ ПОЯСНЕНИЕ ДЛЯ ТЕХ, КТО НЕ ПОНЯЛ.[/BOLD][NEWLINE] [image:0:left] Во-первых, такие задачи решаются и понимаются прекрасно с помощью кругов Эйлера. [IMAGENEWLINE] Во-вторых, нужно обратить внимание на то, что вероятности у нас совместные, потому что вероятностью независимых событий будет произведение вероятностей этих событий. Но если мы умножим данные вероятности, то получим \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,0625,\) хотя по условию дано \(P(AB)=0,1,\) что говорит о совместности этих событий. В таком случае нам нужно исключить их пересечение и тогда мы получим "чистую" вероятность того, что кофе закончится (говорят, общая вероятность).[IMAGENEWLINE] Теперь смотрим на рисунок и видим, что мы объединяем два множества вероятности событий и должны "удалить" их пересечение. Их пересечением является совпадение событий, то есть вероятность "кофе закончится в первом и во втором автомате".[IMAGENEWLINE] Вот отсюда и получается формула \(P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).\)
    Задание 5.3
    В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
  • Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
    Когда говорят "хотя бы 1 что-то не перегорит" это значит, что нам подходят абсолютно все условия, кроме перегорания всех ламп: три, две или одна лампа горит - ок, ноль ламп горят - не ок. [NEWLINE] Получается, если вообще все перегорят, то это противоположное событие. При этом каждое из событий "лампа перегорит" независимо, а потому [NEWLINE] \( P_{\text{все перегорят}} = 0,6 \times 0,6 \times 0,6 = 0,216. \) [NEWLINE] Тогда вероятность обратного события:[NEWLINE] \( P_{\text{хотя бы одна}} = 1 - P_{\text{все перегорят}} = 1 - 0,216 = 0,784. \)
    Задание 5.4
    Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  • Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
    Когда говорят "хотя бы 1 что-то не перегорит" это значит, что нам подходят абсолютно все условия, кроме перегорания всех ламп: три, две или одна лампа горит- ок, ноль ламп горят - не ок. [NEWLINE] Получается, если вообще все перегорят, то это противоположное событие. При этом каждое из событий "лампа перегорит" независимо, а потому [NEWLINE] \( P_{\text{все перегорят}} = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125. \) [NEWLINE] Тогда вероятность обратного события:[NEWLINE] \( P_{\text{хотя бы одна}} = 1 - P_{\text{все перегорят}} = 1 - 0,125 = 0,875. \)
    Задание 5.5
    Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  • Решите уравнение \(7^{x-4} = 49. \)
    \( 7^{x-4} = 7^2 \)[NEWLINE] Используем равносильный переход: x-4=2 [NEWLINE] \(x=6.\)
    Задание 6.1
    Решите уравнение 7^{x-4} = 49.
  • Решите уравнение \(0,2^{2-5x} = 125\)
    \( 0,2 = 5^{-1} \). Тогда 0,2\(^{2-5x} = 5^{(-1)\cdot(2-5x)} = 5^{5x-2}\) [NEWLINE] \(5^{5x-2} = 5^3\). [NEWLINE] Используем равносильный переход: [NEWLINE] 5x-2=3 [NEWLINE] x=1
    Задание 6.2
    Решите уравнение 0,2^{2-5x} = 125
  • Найдите корень уравнения $log_5(20-x)=2.$
    Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальную форму по определению:[NEWLINE] \(\log_a(b) = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b.\) [NEWLINE] a = 5, b = 20 - x, c = 2. [NEWLINE] Тогда: \(\log_5(20 - x) = 2 \quad \Rightarrow \quad 5^2 = 20 - x.\)[NEWLINE] 25 = 20 - x.[NEWLINE] x=20-25.[NEWLINE] x = -5.
    Задание 6.3
    Найдите корень уравнения log_5(20-x)=2.
  • Найдите значение выражения 6cos2ɑ, если sinɑ=-0,8
    \( cos2\alpha = 1-2sin^2\alpha\)[NEWLINE] \(6cos2\alpha = 6(1-2sin^2\alpha) = 6-12sin^2\alpha\)[NEWLINE] Если \( sin\alpha=-0,8\): \( 6-12\cdot0,64 = 6-7,68 = -1,68 \)
    Задание 7
    Найдите значение выражения 6cos2ɑ, если sinɑ=-0,8
  • На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
    Производная функции — скорость изменения функции. То есть если производная отрицательна, то скорость функции отрицательна (что означает убывание функции) и наоборот. [image:0:block] В нашем случае таких точек всего 2 (см. рис)
    Задание 8.1
    На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
    Изображение к заданию 190
  • На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    [image:0:right] Значение производной в точке это тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс. Обратите внимание на то, что функция касательной убывающая, а потому производная будет отрицательная. Другими словами, мы будем находить \(tg\beta=tg(180^{\circ}-\alpha)=-tg\alpha\). Откуда \(tg\alpha=-tg\beta\).[IMAGENEWLINE] Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему:[IMAGENEWLINE] \(tg\beta=\frac{2}{8}=0,25 \rightarrow tg\alpha=-0,25\). А мы знаем, что \(f'(x_0)=tg\alpha=-0,25\).
    Задание 8.2
    На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    Изображение к заданию 201
  • На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−18; 1].
    Нанесем отрезок на рисунок и отметим точки минимума функции.[image:0:block][NEWLINE] Пояснение к выбору точек минимуму функции. [NEWLINE] Нам дан график производной функции. Мы знаем ее физический смысл — \(x'(t)=v'(t)\). То есть это скорость функции. Любая точка экстремума это точка, где функция останавливается и меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот (или точка перегиба, например, в корнях двойной кратности). А это означает, что нам нужно найти нули производной, где график производной меняет свой знак с минуса на плюс. Как видно из рисунка, на отрезкой [-18;1] таких всего 3.
    Задание 8.3
    На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−18; 1].
    Изображение к заданию 202
  • На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    [image:0:right] Значение производной в точке это тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс. Обратите внимание на то, что функция касательной возрастающая, а потому производная будет положительная.[IMAGENEWLINE] Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему:[IMAGENEWLINE] \(tg\alpha=\frac{2}{8}=0,25\). А мы знаем, что \(f'(x_0)=tg\alpha=0,25\).
    Задание 8.4
    На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
    Изображение к заданию 203
  • На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
    Нанесем отрезок на рисунок и отметим точки, соответствующие промежуткам возрастания функции \(f(x)\).[image:0:block][NEWLINE] Пояснение к выбору точек, соответствующих промежуткам возрастания функции.[NEWLINE] Нам дан график производной функции. Мы знаем ее физический смысл — \(x'(t)=v'(t)\). То есть это скорость функции. Откуда следует, что промежутки возрастания функции соответствуют положительным значениям производной. Как видно из рисунка, таких всего 3: x₄, x₅, x₆.
    Задание 8.5
    На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
    Изображение к заданию 204
  • Мотоциклист, двигаясь по городу со скоростью v₀ = 60км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 32 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле: \(S = v₀t + \frac{at^2}{2}\),где t — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.
    Проще всего подставить и решить уравнение: [NEWLINE] \(154=60t+\frac{32t^2}{2}\)|:4 [NEWLINE] \(8t^2+30t-77\)[NEWLINE] \(D=900+2464=3364\) [NEWLINE] \(t_{1,2}=\frac{-30\pm58}{16}\)[NEWLINE] \(t_1=1,75\) ИЛИ \(t_2=-5,5\) - посторонний корень (Время не может быть отрицательным)[NEWLINE] Нас просят дать ответ в минутах! Значит умножаем на 60 и получаем 105 минут.
    Задание 9
    Мотоциклист, двигаясь по городу со скоростью v₀ = 60км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 32 км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле: S = v₀t + \frac{at^2}{2} ,где t — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.
  • Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
    Если первый мастер выполняет 1 заказ за 42 часа, то его производительность это \(\frac{1}{42}\) заказа в час. Тогда у второго — \(\frac{1}{21}\).[NEWLINE] Сложим их производительность: \(\frac{1}{42}\)+\(\frac{1}{21}\) = \(\frac{1}{42}\)+\(\frac{2}{42}\) = \(\frac{3}{42}\)=\(\frac{1}{14}\) заказа в час. [NEWLINE] \( t=\frac{A}{N} \), где A - работа (1 заказ); N - производительность (заказ в час).[NEWLINE] \( t=\frac{1}{\frac{1}{14}} = 14 \) часов
    Задание 10
    Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
  • На рисунке изображены графики функций f(x)=a√x и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    Нужно восстановить коэффициенты. Для этого возьмем точки, принадлежащие функциям и удобные для счета. [image:0:left] Для начала \( f(x)= a\sqrt{x}: С(1;3) \Rightarrow 3=a\sqrt{1} \Rightarrow a=3.\) [IMAGENEWLINE] Значит \( f(x)= 3\sqrt{x}. \) [IMAGENEWLINE] Теперь \(g(x)=kx: D(2;1) \Rightarrow 1=k\cdot2 \Rightarrow k=\frac{1}{2}.\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(g(x)=\frac{1}{2}x.\) [IMAGENEWLINE] Для того чтобы найти точку пересечения, нужно приравнять функции: [IMAGENEWLINE] \(\frac{1}{2}x=3\sqrt{x}.\) | Умножим на 2 обе части и возведем в квадрат[IMAGENEWLINE] \(x^2=36x\)[IMAGENEWLINE] \(x^2-36x=0\)[IMAGENEWLINE] \(x=0\) ИЛИ \(x=36\) [IMAGENEWLINE] x=0 - это абсцисса точки А, а вот x=36 - это абсцисса точки B.
    Задание 11.1
    На рисунке изображены графики функций f(x)=a√x и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    Изображение к заданию 193
  • На рисунке изображены графики функций f(x) = \(\frac{k}{x}\) и g(x)=ax+b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    [image:0:right]Восстановим коэффициенты. Возьмем точку A и подставим значения координат в функцию f(x):[IMAGENEWLINE] A(-1;3): \(3=\frac{k}{-1} \rightarrow k=-3\). Значит \(f(x)=-\frac{3}{x}\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Теперь возьмем еще и точку C(4;1) и восстановим коэффициенты для функции g(x): [IMAGENEWLINE] \( \begin{cases} 1=a\cdot4+b & \\ 3=a\cdot(-1)+b \end{cases} \). [IMAGENEWLINE] Вычтем из верхнего уравнения нижнее:[IMAGENEWLINE] \(1-3=4a+b+a-b\)[IMAGENEWLINE] \(-2=5a\)[IMAGENEWLINE] \(a=-0,4 \rightarrow b=1-4\cdot(-0,4)=1+1,6=2,6\). [IMAGENEWLINE] Получается \(g(x)=-0,4x+2,6\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Точки пересечения находим приравнивая функции и решая получившееся уравнение: [IMAGENEWLINE] \(f(x)=g(x) \rightarrow -\frac{3}{x}=-0,4x+2,6\). Домножаем на \(x\neq0\) (известно из рис.).[IMAGENEWLINE] \(-3=-0,4x^2+2,6x\)[IMAGENEWLINE] \(0,4x^2-2,6x-3=0|\cdot5\)[IMAGENEWLINE] \(2x^2-13x-15=0|\) Решаем дискриминантом (не буду расписывать) и получаем:[IMAGENEWLINE] \(x=-1\)(известная абсцисса точки A) ИЛИ \(x=7,5\) (другая неизвестная абсцисса, значит это абсцисса точки B).
    Задание 11.2
    На рисунке изображены графики функций f(x) = \frac{k}{x} и g(x)=ax+b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    Изображение к заданию 205
  • На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
    Восстановим коэффициенты и позже приравняем функции. Для этого составим две системы для двух линейных функций.[NEWLINE] [image:0:left] Возьмем точки A и B, потом C и D. Линейные функции имеют вид f(x)=kx+b и пусть будет g(x), значит первая система будет такой: [IMAGENEWLINE] \( \begin{cases} 4=k\cdot(-2)+b & (\text{точка A}) & \\ -3=k\cdot(-3)+b & (\text{точка B})\end{cases} \)[IMAGENEWLINE] Решим методом вычитания из верхнего нижнего: \(7=k\). Тогда [IMAGENEWLINE] \(b=4+2\cdot7=18\). Тогда \(f(x)=7x+18\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Аналогично составляем систему для g(x):[IMAGENEWLINE] \( \begin{cases} 1=k\cdot1+b & (\text{точка C}) & \\ 3=k\cdot(-3)+b & (\text{точка B})\end{cases} \)[IMAGENEWLINE] Решим методом вычитания из верхнего нижнего: \(-2=4k \rightarrow k=-0,5\). Тогда [IMAGENEWLINE] \(b=1+0,5=1,5\), что, в целом, видно на графике.[IMAGENEWLINE] Значит \(g(x)=-0,5x+1,5\)[IMAGENEWLINE] Теперь необходимо приравнять f(x) и g(x) для нахождения точки пересечения:[IMAGENEWLINE] \(7x+18=-0,5x+1,5\)[IMAGENEWLINE] \(7,5x=16,5\) (Если трудно считается, то можно домножить на 2)[IMAGENEWLINE] \(15x=33\) [IMAGENEWLINE] \(x=2,2\). [IMAGENEWLINE] Решением данного уравнение, а значит и абсциссой точки пересечения двух графиков будет \(x=2,2\).
    Задание 11.3
    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
    Изображение к заданию 207
  • На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax² + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    [image:0:right] Для начала заметим, что парабола пересекает \(Oy\) в точке \(A(0;0)\). Значит \(c=0\). Уже легче. А еще заметим, что парабола пересекает \(Ox\) в точке \(1;0\). Это означает, что мы можем разложить функцию нашей параболы на множители такие, что \(x=0\) и \(x=1\) с учетом \(c=0\). [IMAGENEWLINE] Значит \(f(x)=x(x-1)=x^2-x\). Красота же? [IMAGENEWLINE] Для g(x) необходимо восстановить коэффициент k. Для этого возьмем точку D (см.рис) и подставим в функцию:[IMAGENEWLINE] \(3=k\cdot1 \rightarrow k=3\) (Или можете найти с помощью тангенса по смыслу производной).[IMAGENEWLINE] Значит \(g(x)=3x\). Приравниваем функции и находим нужные иксы.[IMAGENEWLINE] \(x^2-x=3x\)[IMAGENEWLINE] \(x^2-4x=0\)[IMAGENEWLINE] \(x(x-4)=0\)[IMAGENEWLINE] \(x=0\) (Для точки А) ИЛИ \(x=4\) (Для другой точки, получается).[IMAGENEWLINE]
    Задание 11.4
    На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax² + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    Изображение к заданию 208
  • Найдите точку минимума функции y=x³-8,5x²+10x-13.
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти промежуток, в котором минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] \(((x^n)'=nx^{n-1})\) [NEWLINE] \(y'=3x^2-17x+10\) [NEWLINE] Находим нули функции: [NEWLINE] \(3x^2-17x+10=0\) (Решаем с помощью дискриминанта или переноса коэффициента)[NEWLINE] \(x=\frac{2}{3}\) ИЛИ \(x=5\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и определим промежутки. Графиком производной будет парабола, ветви вверх, поэтому будут знаки интервалов "плюс-минус-плюс": [NEWLINE] [image:0:left] Как выше уже было сказано, нам необходимо найти точки, где минус меняется на плюс, потому что для функции это смена промежутка убывания на промежуток возрастания. Такой точкой будет 5 (см. рис.).
    Задание 12.1
    Найдите точку минимума функции y=x³-8,5x²+10x-13.
  • Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 18x² + 81x + 56 на отрезке [−7; 0].
    Наименьшее значение функции достигается тогда, когда функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания. Конечно же, для нахождения этих промежутков необходимо найти производную, найти ее нули (ведь производная это скорость, а ее нули - точки "остановки" функции): [NEWLINE] \(((x^n)'=nx^{n-1}\) [NEWLINE] \(y'=3x^2+36x+81\). Приравниваем к нулю[NEWLINE] \(3x^2+36x+81=0\). Решаем с помощью дискриминанта или метода переноса коэффициента [NEWLINE] \(x=-9\) ИЛИ \(x=-3\). Наносим эти точки экстремума на числовую прямую и там же отрезок \([-7;0]\). [NEWLINE] [image:0:left] Возможно у меня получился немного нагроможденный, но зато информативный рисунок. Так как производной будет парабола с \(a>0\), то ветви параболы вверх, а значит знаки промежутков будут плюс-минус-плюс. Обратите внимание на то, что функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания в точке \(x=-3\). Это значение подставляем в искомую функцию и все. [IMAGENEWLINE] \(y=(-3)^3+18\cdot(-3)^2+18\cdot(-3)+56=-27+162-243+56=-52\).
    Задание 12.2
    Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 18x² + 81x + 56 на отрезке [−7; 0].
  • Найдите точку минимума функции \(y=(58-x)e^{58-x}\)
    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти промежуток, в котором минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] Определим правила дифференцирования: [NEWLINE] \((x^n)'=nx^{n-1}\) [NEWLINE] \((UV)'=U'V+UV'\)[NEWLINE] \((e^x)'=e^x\), но в данном случае функция сложная, а значит \((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\).[NEWLINE] \(y'=((58-x)e^{58-x})'=(58-x)'e^{58-x}+(e^{58-x})'\cdot (58-x)'\cdot(58-x)=(-1)\cdot e^{58-x}+e^{58-x}\cdot (-1) \cdot (58-x).\)[NEWLINE] ----------------------[NEWLINE] Поясню для тех, кто не понял.[NEWLINE] Пусть \(U=58-x\), а \(V=e^{58-x}\). Продифференцируем отдельно и потом соберем пазл вместе по правилу выше для \((UV)'\).[NEWLINE] \(U'=-1\), \(V'=e^{58-x}\cdot(58-x)'=e^{58-x}\cdot(-1)\). Теперь собираем это все вместе и получается тот же \(y'\). [NEWLINE] ----------------------[NEWLINE] Немного преобразуем и приравняем к нулю.[NEWLINE] \(y'=(-1)\cdot e^{58-x}+e^{58-x}\cdot (-1) \cdot (58-x)=(-1)e^{58-x}(1 + 58-x)=(-1)e^{58-x}(59-x)\). [NEWLINE] \((-1)e^{58-x}(59-x)=0\). Приравниваем к нулю, но \(-1\) явно не ноль, поэтому опустим это.[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(-e^{58-x}=0\)[NEWLINE]Это, по сути, показательная функция, а значит никогда не может быть равной нулю. Значит здесь решений нет.[COLUMN-BREAK]\(59-x=0\)[NEWLINE]\(x=59\)[NEWLINE]Я думаю, что всем уже понятно, что это единственный корень, а поэтому это и будет ответ. Можете даже не тратить свое время, но кому интересно — ниже разберемся с экстремумами в учебных целях.[/TWO-COLUMNS] [image:0:left] Заметим, что функция \(-e^{58-x}<0\), поэтому определяем знак производной с этим учетом. Возьмем \(x=60 \rightarrow 59-60=-1<0\). Значит справа знак плюс, а слева минус. Значит данная единственная точка действительно будет точкой минимума
    Задание 12.3
    Найдите точку минимума функции y=(58-x)e^{58-x}
  • а) Решите уравнение 2sinx+2√2sin(-x)-4cos²x=√2-4.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{\pi}{2};\pi]\).
    б) \(2\sin x-2\sqrt2\sin x-4\cos^2x-\sqrt2+4=0\)[NEWLINE] \(2\sin x-2\sqrt2\sin x-4+4\sin^2x-\sqrt2+4=0\)[NEWLINE] \(2\sin x-2\sqrt2\sin x+4\sin^2 x-\sqrt2=0\)[NEWLINE] \(2\sin x(1+2\sin x)-\sqrt2(2\sin x+1)=0\)[NEWLINE] \((2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt2)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2\sin x+1=0\)[NEWLINE]\(\sin x=-\frac{1}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m, \quad n \in Z \\& x=\frac{7\pi}{6}+2\pi j, \quad j \in Z \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]\(2\sin x-\sqrt2=0\)[NEWLINE]\(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x=\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\& x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\\end{aligned}\right.\)[/TWO-COLUMNS] Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности. [NEWLINE] [image:0:left] Идем от нуля до необходимых корней: [IMAGENEWLINE] \(x_1=0-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)[IMAGENEWLINE] Конечно, мы так же можем дойти и до корня во второй четверти, но для учебных целей можно пойти и от \(\pi\) (см.рис.):[IMAGENEWLINE] \(x_3=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\).[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\); \(x=\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\); \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m\); \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi j\)[NEWLINE] б)\(x_1=-\frac{\pi}{6}\);[NEWLINE] \(x_2=\frac{\pi}{4}\);[NEWLINE] \(x_3=\frac{3\pi}{4}\).
    Задание 13.1
    а) Решите уравнение 2sinx+2√2sin(-x)-4cos²x=√2-4.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{\pi}{2};\pi] .
  • а) Решите уравнение \(2+2\cos(\pi-2x)+\sqrt8\sin x=\sqrt6+\sqrt{12}\sin x.\)[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}].\)
    \(2-2\cos2x+\sqrt8\sin x-\sqrt6-\sqrt{12}\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2(1-2\sin^2x)+2\sqrt2\sin x-\sqrt2\sqrt3-2\sqrt3\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2+4\sin^2x+2\sqrt2\sin x-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \(2\sin x(2\sin x+\sqrt2)-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \((2\sin x+\sqrt2)(2\sin x-\sqrt3)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2\sin x+\sqrt2=0\)[NEWLINE]\(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]\(2\sin x-\sqrt3=0\)[NEWLINE]\(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)\(\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(4\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_2\) — движением назад от \(4\pi\) на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_3\) получается движением от \(3\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE] Ответ:а) \(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z\\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE]
    Задание 13.2
    а) Решите уравнение 2+2\cos(\pi-2x)+\sqrt8\sin x=\sqrt6+\sqrt{12}\sin x.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi;\frac{9\pi}{2}].
  • а) Решите уравнение $2+2\cos(\pi+2x)-\sqrt8\sin x=\sqrt6 - \sqrt{12}\sin x.$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$
    [image:0]
    Задание 13.3
    а) Решите уравнение 2+2\cos(\pi+2x)-\sqrt8\sin x=\sqrt6 - \sqrt{12}\sin x.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{\pi}{2};2\pi].
  • а) Решите уравнение 2-2cos(π+2x)-√8cosx=√6-√12cosx [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{\pi}{2};2\pi]\).
    \(cos(\pi+2x)=-cos2x\), так как это третья четверть; \(sin^2x=1-cos^2x\); \(cos2x=cos^2x-sin^2x\).[NEWLINE] \(2+2cos2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\). Заменяем cos2x [NEWLINE] \(2+2(cos^2x-sin^2x)-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2(cos^2x-1+cos^2x)-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2cos^2x-2+2cos^2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2cos^2x-2+2cos^2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(4cos^2x-2\sqrt2cosx-\sqrt3\sqrt2+2\sqrt{3}cosx=0\) [NEWLINE] \(2cosx(2cosx-\sqrt2)+\sqrt3(-\sqrt2+2cosx)=0\) [NEWLINE] \((2cosx+\sqrt3)(2cosx-\sqrt2)=0\) [NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(cosx=-\frac{\sqrt3}2{}\)[NEWLINE]\(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z\)[COLUMN-BREAK]\(cosx=\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) [IMAGENEWLINE] \(x_2=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) [IMAGENEWLINE] \(x_3=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}\). [IMAGENEWLINE] Ответ: а) \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z\); \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\) [IMAGENEWLINE] б) \(x_1=\frac{5\pi}{6}\); \(x_2=\frac{7\pi}{6}\); \(x_3=\frac{7\pi}{4}\)
    Задание 13.4
    а) Решите уравнение 2-2cos(π+2x)-√8cosx=√6-√12cosx
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{\pi}{2};2\pi] .
  • а) Решите уравнение 1-cos2x+√3sin(x+π)=√3-2sinx [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([π;\frac{5\pi}{2}]\).
    \(cos2x=cos^2x-sin^2x;\) \(sin(x+\pi)=-sinx.\)[NEWLINE] \(1-cos^2x+sin^2x-\sqrt3sinx-\sqrt3+2sinx=0\)[NEWLINE] \(1-1+sin^2x+sin^2x-\sqrt3sinx-\sqrt3+2sinx=0\)[NEWLINE] \(2sin^2x-\sqrt3sinx-\sqrt3+2sinx=0\)[NEWLINE] \(2sinx(sinx+1)-\sqrt3(sinx+1)=0\)[NEWLINE] \((2sinx-\sqrt3)(sinx+1)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2sinx-\sqrt3=0\)[NEWLINE]\(sinx=\frac{\sqrt3}{2}\)[NEWLINE]\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z\)[NEWLINE]\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k \in Z\)[COLUMN-BREAK]\(sinx+1=0\)[NEWLINE]\(sinx=-1\)[NEWLINE]\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi m, m \in Z\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) не попадает, значит не берем его.[IMAGENEWLINE] \(x_1=2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=\frac{-3\pi}{2}\)[IMAGENEWLINE] Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z;\) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k \in Z;\) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi m, m \in Z.\)[IMAGENEWLINE] б) \(x_1=\frac{7\pi}{3};\) \(x_2=\frac{-3\pi}{2}.\)
    Задание 13.5
    а) Решите уравнение 1-cos2x+√3sin(x+π)=√3-2sinx
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;\frac{5\pi}{2}] .
  • а) Решите уравнение $1-\cos2x+\sqrt2\sin(x-\pi)=\sqrt2-2\sin x.$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}].$
    [image:0]
    Задание 13.6
    а) Решите уравнение 1-\cos2x+\sqrt2\sin(x-\pi)=\sqrt2-2\sin x.
    б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [-\pi;\frac{\pi}{2}].
  • а) Решите уравнение 2sin²x+√2sin(2π+x)-√3sin2x=√6cosx.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{3\pi}{2}\);3π].
    \(2sin^2x+\sqrt2sinx-\sqrt3\cdot2sinxcosx-\sqrt6cosx=0\)[NEWLINE] \(sinx(2sinx+\sqrt2)-\sqrt3cosx(2sinx+\sqrt2)=0\)[NEWLINE] \((2sinx+\sqrt2)(sinx-\sqrt3cosx)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2sinx+\sqrt2=0\)[NEWLINE]\(sinx=-\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[ \begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4} +2\pi n, n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m, m \in Z\end{aligned} \right.\)[COLUMN-BREAK]\(sinx-\sqrt3cosx=0|:cosx\neq0\)[NEWLINE]\(tgx=\sqrt3\)[NEWLINE]\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(2\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_2\) — движением назад от \(2\pi\) на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] \(x_1=2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\);[IMAGENEWLINE] \(x_2=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}\);[NEWLINE] Ответ: а) \(x=-\frac{\pi}{4} +2\pi n, n \in Z\); \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m, m \in Z\); \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z\)[NEWLINE] б) \(x_1=\frac{7\pi}{3}\); \(x_2=\frac{7\pi}{4}\).
    Задание 13.7
    а) Решите уравнение 2sin²x+√2sin(2π+x)-√3sin2x=√6cosx.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ \frac{3\pi}{2} ;3π].
  • а) Решите уравнение $\sin (-2x+\frac{\pi}{2})-\sin(4\pi-x)=0.$[NEWLINE] б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi].$
    Приведу решение ученицы: [image:0]
    Задание 13.8
    а) Решите уравнение \sin (-2x+\frac{\pi}{2})-\sin(4\pi-x)=0.
    б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{7\pi}{2};-2\pi].
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM=5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE] а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 12.
    [image:0:right]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ — равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE] Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE] То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $12$, а также $A_1K=KB_1$ и $AM=5MA_1.$ Из этого будет следовать, что:[IMAGENEWLINE] $A_1K=KB_1=6,$ $A_1M=10,$ $AM=2.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] 1) $C_1K=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{(12-6)(12+6)}=$$\sqrt{6\cdot18}=6\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE] 2) $KM=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{34}\cdot6\sqrt{34}=6\sqrt{102}.$ [BOLD]Ответ:[/BOLD] б) $6\sqrt{30}$
    Задание 14.1
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM=5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
    а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
    б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 12.
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE] а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 40.[NEWLINE]
    [image:0:left]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE] Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE] То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $40$, а также $A_1K=KB_1$ и $2A_1M=3MA.$ Из этого будет следовать, что[IMAGENEWLINE] $A_1K=KB_1=20,$ $A_1M=24,$ $AM=16.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] 1) $C_1K=\sqrt{40^2-20^2}=\sqrt{(40-20)(40+20)}=$$\sqrt{20\cdot60}=20\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE] 2) $KM=\sqrt{20^2+24^2}=\sqrt{4^2(5^2+6^2)}=4\sqrt{61}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{3}\cdot4\sqrt{61}=40\sqrt{183}.$
    Задание 14.2
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
    а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
    б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 40.
  • Решите неравенство $\frac{2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16}{x-1} \geq 0.$
    [image:0]
    Задание 15.1
    Решите неравенство \frac{2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16}{x-1} \geq 0.
  • Решите неравенство $\frac{2^{3x}-10\cdot2^{2x}+17\cdot2^{x}-8}{x} \leq 0.$
    [image:0][image:1]
    Задание 15.2
    Решите неравенство \frac{2^{3x}-10\cdot2^{2x}+17\cdot2^{x}-8}{x} \leq 0.
  • Решите неравенство $\frac{27^{x}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+5}-729}{50x^2+10x+0,5} \leq 0.$
    [image:0][image:1]
    Задание 15.3
    Решите неравенство \frac{27^{x}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+5}-729}{50x^2+10x+0,5} \leq 0.
  • Решите неравенство $\frac{3\cdot27^{x}-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4,5} \leq 0.$
    [image:0][image:1]
    Задание 15.4
    Решите неравенство \frac{3\cdot27^{x}-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4,5} \leq 0.
  • Решите неравенство $\frac{9\cdot27^x-3\cdot9^{x+1}+3^{x+3}-9}{50x^2-90x+40,5} \geq 0.$
    [image:0]
    Задание 15.5
    Решите неравенство \frac{9\cdot27^x-3\cdot9^{x+1}+3^{x+3}-9}{50x^2-90x+40,5} \geq 0.
  • Решите неравенство $\frac{x^3-x^2-x+1}{9^{x^2}-18\cdot3^{x^2}+81} \leq 0.$
    [image:0][image:1]
    Задание 15.6
    Решите неравенство \frac{x^3-x^2-x+1}{9^{x^2}-18\cdot3^{x^2}+81} \leq 0.
  • Решите неравенство $\frac{x^3-x^2-x+1}{4^{x^2}-16\cdot2^{x^2}+64} \leq 0.$
    [image:0][image:1]
    Задание 15.7
    Решите неравенство \frac{x^3-x^2-x+1}{4^{x^2}-16\cdot2^{x^2}+64} \leq 0.
  • Решите неравенство $\frac{27x^3+9x^2-3x-1}{64^{x^2}-4\cdot8^{x^2}+4} \geq 0.$
    [image:0]
    Задание 15.8
    Решите неравенство \frac{27x^3+9x^2-3x-1}{64^{x^2}-4\cdot8^{x^2}+4} \geq 0.
  • Решите неравенство $\frac{2}{2^x+10} \leq \frac{3}{2^{x+1}-1}.$
    [image:0]
    Задание 15.9
    Решите неравенство \frac{2}{2^x+10} \leq \frac{3}{2^{x+1}-1}.
  • Решите неравенство \( 7\log_{3}(x^2 - 7x + 12) \leq 8 + \log_{3}\left(\frac{(x-3)^7}{x-4}\right). \)
    [image:0]
    Задание 15.10
    Решите неравенство 7\log_{3}(x^2 - 7x + 12) \leq 8 + \log_{3}\left(\frac{(x-3)^7}{x-4}\right).
  • Решите неравенство \( 9\log_{7}(x^2 + x -2) \leq 10 + \log_{7}\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right). \)
    [image:0][image:1]
    Задание 15.11
    Решите неравенство 9\log_{7}(x^2 + x -2) \leq 10 + \log_{7}\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right).
  • В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] - каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] - с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;[NEWLINE] - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.[NEWLINE] На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 14$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n$ — количество лет (искомое), [NEWLINE] $r = 25% = 0{,}25$ — годовая процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{n}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый год.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline n & \dfrac{S}{n} & \dfrac{S}{n}(1 + r) & \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты производятся по дифференцированной схеме, то сумма выплат, равная 24,5 млн рублей, образует арифметическую прогрессию. Сумму которой с первого года по $n$-й год можно найти по формуле:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \][NEWLINE] где $a_1 = Sr + \dfrac{S}{n}$, $a_n = \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n}$ [NEWLINE] \[ S_n = \frac{Snr + 2S + Sr}{2} \][NEWLINE] Подставим $S = 14$, $r = 0{,}25$, $S_n = 24{,}5$: [NEWLINE] \[ 24{,}5 = \frac{14 \cdot n \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 14 + 14 \cdot 0{,}25}{2} \][NEWLINE] \[ 24{,}5 = \frac{3{,}5n + 28 + 3{,}5}{2} \][NEWLINE] \[ 24{,}5 = \frac{3{,}5n + 31{,}5}{2} \][NEWLINE] \[ 49 = 3{,}5n + 31{,}5 \][NEWLINE] \[ 3{,}5n = 17{,}5 \][NEWLINE] \[ n = 5 \]
    Задание 16.1
    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:
    - каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
    - с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
    - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
    На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?
  • В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;[NEWLINE] — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.[NEWLINE] На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 7,5 млн рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 5$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n$ — количество лет (искомое), [NEWLINE] $r = 20\% = 0{,}2$ — годовая процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{n}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый год.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline n & \dfrac{S}{n} & \dfrac{S}{n}(1 + r) & \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты производятся по дифференцированной схеме, то сумма выплат, равная 7,5 млн рублей, образует арифметическую прогрессию. Сумму которой с первого года по $n$-й год можно найти по формуле:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \][NEWLINE] где $a_1 = Sr + \dfrac{S}{n}$, $a_n = \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n}$[NEWLINE] \[ S_n = \frac{Snr + 2S + Sr}{2} \][NEWLINE] Подставим $S = 5$, $r = 0{,}2$, $S_n = 7{,}5$:[NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{5 \cdot n \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 5 + 5 \cdot 0{,}2}{2} \][NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{n + 10 + 1}{2} \][NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{n + 11}{2} \][NEWLINE] \[ 15 = n + 11 \][NEWLINE] \[ n = 4 \]
    Задание 16.2
    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
    — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
    На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 7,5 млн рублей?
  • 15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-то по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 18$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r = 1% = 0{,}01$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{72}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{72} & S \cdot \dfrac{71}{72} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{71}{72} & S \cdot \dfrac{71}{72} + S \cdot \dfrac{71}{72}r & S \cdot \dfrac{71}{72}r + \dfrac{S}{72} & S \cdot \dfrac{70}{72} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 13 & S \cdot \dfrac{60}{72} & S \cdot \dfrac{60}{72} + S \cdot \dfrac{60}{72}r & S \cdot \dfrac{60}{72}r + \dfrac{S}{72} & S \cdot \dfrac{59}{72} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 24 & S \cdot \dfrac{49}{72} & S \cdot \dfrac{49}{72} + S \cdot \dfrac{49}{72}r & S \cdot \dfrac{49}{72}r + \dfrac{S}{72} & S \cdot \dfrac{48}{72} \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2027 год (13–24 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{60}{72}r + \dfrac{S}{72}\right) + \left(S \cdot \dfrac{49}{72}r + \dfrac{S}{72}\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{72} \cdot \frac{(60r + 1) + (49r + 1)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{72} \cdot \frac{109r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{72} \cdot 6 \cdot (109r + 2) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{12} \cdot (109r + 2) \][NEWLINE] Подставим $S = 18$, $r = 0{,}01$: \[ S_n = \frac{18}{12} \cdot (109 \cdot 0{,}01 + 2) = 1{,}5 \cdot (1{,}09 + 2) = 1{,}5 \cdot 3{,}09 = 4{,}635 \text{ млн} \]
    Задание 16.3
    15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-то по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
    $S=6$ млн рублей — сумма кредита;[NEWLINE] $\frac{S_n}{100}$ — начисляемый процент каждый месяц;[NEWLINE] $\frac{6}{72} $ — ежемесячная фиксированная выплата;[NEWLINE] $ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после} \\ \hline 1 & 6 & 6 + \dfrac{6 \cdot 3}{100} & \dfrac{6 \cdot 3}{100} + \dfrac{6}{24} & 6 - \dfrac{6}{24} = 6 \cdot \dfrac{23}{24} \\ \hline \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \hline 12 & 6 \cdot \dfrac{13}{24} & 6 \cdot \dfrac{13}{24} + 6 \cdot \dfrac{13}{24} \cdot \dfrac{3}{100} & 6 \cdot \dfrac{13}{24} \cdot \dfrac{3}{100} + \dfrac{6}{24} & 6 \cdot \dfrac{12}{24} \\ \hline \end{array} $[NEWLINE] Так как в условии задачи сказано равномерно уменьшаемые платежи, то есть по дифференцированной схеме, то сумма выплат за 2027 год (месяцы 1–12) будет составлять арифметическую прогрессию. Составим уравнение:[NEWLINE] $ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $[NEWLINE] $ S = \dfrac{ 6 \cdot \dfrac{3}{100} + \dfrac{6}{24} + 6 \cdot \dfrac{13}{24} \cdot \dfrac{3}{100} + \dfrac{6}{24} }{2} \cdot 12 $[NEWLINE] $ S = \dfrac{6}{24} \left( \dfrac{3 \cdot 24}{100} + 1 + \dfrac{3 \cdot 13}{100} + 1 \right) \cdot 6 $[NEWLINE] $ S = \dfrac{6}{24} \left( \dfrac{72}{100} + \dfrac{39}{100} + 2 \right) \cdot 6 $[NEWLINE] $ S = \dfrac{6}{24} \left( \dfrac{111}{100} + 2 \right) \cdot 6 $[NEWLINE] $ S = \dfrac{6}{24} \cdot \dfrac{311}{100} \cdot 6 $[NEWLINE] $ S = \dfrac{6 \cdot 6}{24} \cdot \dfrac{311}{100} $[NEWLINE] $ S = 1{,}5 \cdot 3{,}11 $[NEWLINE] $S = 4{,}665$ млн
    Задание 16.4
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно А, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
    Долг уменьшается на одну и ту же сумму каждый месяц, значит выплатой будет часть от \(A\), то есть \(\frac{1}{24}A.\) [NEWLINE] 2027 год начинается с 1 месяца и заканчивается на 12-м. Кредит был всего на 24 месяца, значит 2028 год это с 13 по 24 месяцы. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Месяц} & \textbf{Выплата} & \textbf{Долг} & \textbf{%}\\ \hline 1 & \frac{1}{24}A & A & \frac{3}{100}A \\ \hline 2 & \frac{1}{24}A & \frac{23}{24}A & \frac{3}{100}\frac{23}{24}A\\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 13 & \frac{1}{24}A & \frac{12}{24}A & \frac{3}{100}\frac{12}{24}A\\ \hline 14 & \frac{1}{24}A & \frac{11}{24}A & \frac{3}{100}\frac{11}{24}A\\ \hline .. & ... & ... & ... \\ \hline 23 & \frac{1}{24}A & \frac{2}{24}A & \frac{3}{100}\frac{2}{24}A\\ \hline 24 & \frac{1}{24}A & \frac{1}{24}A & \frac{3}{100}\frac{1}{24}A\\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] По условию, нам известно, что сумма платежей в 2028 году равна 17 925 тыс. рублей, значит мы складываем все месяцы, начиная с 13-го:[NEWLINE] Все платежи = Выплаты (6 мес.) + % (с 13 по 24 мес.), где % будем считать с помощью формулы суммы арифметической прогрессии.[NEWLINE] \(17\space925=6\cdot\frac{1}{24}A+\frac{3}{100}A(\frac{12}{24}+...\frac{1}{24})\)[NEWLINE] \(17\space925=\frac{1}{2}A+\frac{3}{100}A\cdot\frac{\frac{1+12}{24}}{2}\cdot12\)[NEWLINE] \(17\space925=\frac{239}{400}A|\cdot\frac{400}{239}\)[NEWLINE] \(A=30000\) тыс. рублей[NEWLINE] \(A=30\) млн рублей.[NEWLINE] Ответ: 30 млн рублей.
    Задание 16.5
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно А, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно A, если общая сумма платежей в 2031 году составит 1356 тыс. рублей?[NEWLINE]
    Обозначим: [NEWLINE] $A$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 60$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r = 2% = \dfrac{1}{50}$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{60}$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & A \cdot \dfrac{n - 48}{n} & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 49}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] Так как выплаты происходят по дифференцированной схеме, то, зная выплаты за 2031 год (с 49-го по 60-й месяц) в 1356 тыс. рублей (т.е. 1,356 млн), сумму платежей за этот год можно найти по формуле:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{49} = A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n}$, $a_{60} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}$ [NEWLINE] Подставим $n = 60$, $r = \dfrac{1}{50}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 1{,}356 = \frac{ A \cdot \dfrac{60 - 48}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{12}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{13}{50} + \dfrac{2A}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{13A}{3000} + \dfrac{A}{30} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \dfrac{13A}{500} + \dfrac{A}{5} \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = A \left( \dfrac{13}{500} + \dfrac{100}{500} \right) = A \cdot \dfrac{113}{500} \][NEWLINE] \[ A = \dfrac{1{,}356 \cdot 500}{113} = \dfrac{678}{113} = 6 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]6
    Задание 16.6
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
    — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.
    Чему равно A, если общая сумма платежей в 2031 году составит 1356 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; [NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE] — к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему равно A, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $A$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 48$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r = 1% = \dfrac{1}{100}$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{48}$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Остаток} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 37 & A \cdot \dfrac{n - 36}{n} & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 37}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 48 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что платежи производятся по дифференцированной схеме. Следовательно, зная сумму платежей за 2030 год (с 37-го по 48-й месяц) в 6390 тыс. рублей (т.е. 6,39 млн), составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{37-48} = \frac{a_{37} + a_{48}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{37} = A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n}$, $a_{48} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}$ [NEWLINE] Подставим $n = 48$, $r = \dfrac{1}{100}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 6{,}39 = \frac{ A \cdot \dfrac{48 - 36}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{12}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{13}{100} + \dfrac{2A}{48} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{13A}{4800} + \dfrac{A}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \dfrac{13A}{800} + \dfrac{A}{4} \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = A \left( \dfrac{13}{800} + \dfrac{200}{800} \right) = A \cdot \dfrac{213}{800} \][NEWLINE] \[ A = \dfrac{6{,}39 \cdot 800}{213} = \dfrac{5112}{213} = 24 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]24
    Задание 16.7
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
    — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.
    Чему равно A, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:[NEWLINE] — 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 4% по сравнению с коном предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] — 15-го чиcла каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца:[NEWLINE] — к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно А, если общая сумма платежей в 2027 году составит 2610 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = A$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r = 4% = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{S}{24} = \dfrac{A}{24}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A + 0{,}04A & \dfrac{A}{24} + 0{,}04A & \dfrac{23A}{24} \\ \hline 2 & \dfrac{23A}{24} & \dfrac{23A}{24}(1 + 0{,}04) & \dfrac{A}{24} + 0{,}04 \cdot \dfrac{23A}{24} & \dfrac{22A}{24} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & \dfrac{13A}{24} & \dfrac{13A}{24}(1 + 0{,}04) & \dfrac{A}{24} + 0{,}04 \cdot \dfrac{13A}{24} & \dfrac{12A}{24} \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты образуют арифметическую прогрессию, то сумму выплат за 2027 год (месяцы 1–12) можно вычислить по формуле:[NEWLINE] \[ S_{1-12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_1 = \dfrac{A}{24} + 0{,}04A$, $a_{12} = \dfrac{A}{24} + 0{,}04 \cdot \dfrac{13A}{24}$ [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \[ 2{,}61 = \frac{\left( \dfrac{A}{24} + 0{,}04A \right) + \left( \dfrac{A}{24} + 0{,}04 \cdot \dfrac{13A}{24} \right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \left( \dfrac{2A}{24} + 0{,}04A \left(1 + \dfrac{13}{24}\right) \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \left( \dfrac{A}{12} + 0{,}04A \cdot \dfrac{37}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \dfrac{A}{2} + 0{,}04A \cdot \dfrac{37}{4} \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \dfrac{A}{2} + 0{,}37A \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = 0{,}87A \][NEWLINE] \[ A = \dfrac{2{,}61}{0{,}87} = 3 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]3
    Задание 16.8
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:
    — 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 4% по сравнению с коном предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    — 15-го чиcла каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца:
    — к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.
    Чему равно А, если общая сумма платежей в 2027 году составит 2610 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составляет 7830 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 18$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 36$ — количество месяцев, [NEWLINE] $\frac{S}{n} = \frac{18}{36} = 0{,}5$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц, [NEWLINE] $r%$ — месячная процентная ставка.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 1)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 2)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & S \cdot \dfrac{n - 11}{n} & S \cdot \dfrac{n - 11}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 12}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Просуммируем платежи за 2027 год (с 1-го по 12-й месяц). Тогда их сумма вычисляется как:[NEWLINE] \[ S_{1-12} = \frac{\dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) + \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $S = 18$, $n = 36$, $S_{1-12} = 7{,}83$ млн:[NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{\dfrac{18}{36}\left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + \dfrac{18}{36}\left(\dfrac{r(36 - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{0{,}5 \left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + 0{,}5 \left(\dfrac{25r}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{0{,}5 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = 0{,}25 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right) \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = 3 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right) \][NEWLINE] \[ \frac{7{,}83}{3} = \dfrac{61r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \dfrac{61r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 0{,}61 = \dfrac{61r}{100} \][NEWLINE] \[ 61 = 61r \][NEWLINE] \[ r = 1 \]
    Задание 16.9
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составляет 7830 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-то числа каждого месяца долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно г, если общая сумма платежей в 2027 году составила 4830 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 9$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r%$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{S}{36} = \dfrac{9}{36} = 0{,}25$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2027 год — это месяцы 1–12.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & 9 & 9 + 9 \cdot \dfrac{r}{100} & 9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36} & \dfrac{35}{36} \cdot 9 \\ \hline 2 & \dfrac{35}{36} \cdot 9 & \dfrac{35}{36} \cdot 9 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{35}{36} \cdot 9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36} & \dfrac{34}{36} \cdot 9 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & \dfrac{25}{36} \cdot 9 & \dfrac{25}{36} \cdot 9 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{25}{36} \cdot 9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36} & \dfrac{24}{36} \cdot 9 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Выплаты образуют арифметическую прогрессию. Сумму выплат за 2027 год (12 месяцев) найдём по формуле:[NEWLINE] \[ S_{1-12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Где: $a_1 = 9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36}$, $a_{12} = \dfrac{25}{36} \cdot 9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36}$ Подставим:[NEWLINE] \[ 4{,}83 = \frac{\left(9 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36}\right) + \left(\dfrac{225}{36} \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{9}{36}\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 4{,}83 = \left( \dfrac{9r}{100} \left(1 + \dfrac{25}{36}\right) + \dfrac{18}{36} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 4{,}83 = \left( \dfrac{9r}{100} \cdot \dfrac{61}{36} + 0{,}5 \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ \frac{4{,}83}{6} = \dfrac{9r}{100} \cdot \dfrac{61}{36} + 0{,}5 \][NEWLINE] \[ 0{,}805 = \dfrac{9r}{100} \cdot \dfrac{61}{36} + 0{,}5 \][NEWLINE] \[ 0{,}305 = \dfrac{9r \cdot 61}{3600} \][NEWLINE] \[ 0{,}305 \cdot 3600 = 549r \][NEWLINE] \[ 1098 = 549r \][NEWLINE] \[ r = \frac{1098}{549} = 2 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]2
    Задание 16.10
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-то числа каждого месяца долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно г, если общая сумма платежей в 2027 году составила 4830 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $A = 18$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 60$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r%$ — начисляемые проценты, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{18}{60} = 0{,}3$ млн — фиксированная выплата основного долга каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & 18 & 18 + 18 \cdot \dfrac{r}{100} & 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{59}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 + \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{11}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как нам известна общая сумма платежей за 2031 год (месяцы 49–60), которая при сложении образует арифметическую прогрессию, то их сумму вычислим как:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{49} = \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60}$, $a_{60} = \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60}$ [NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 3{,}951 = \frac{ \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \left( \dfrac{18r}{100} \cdot \dfrac{13}{60} + \dfrac{36}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{6}{60} + \dfrac{36}{60} \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{1}{10} + 3{,}6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{234r}{1000} + 3{,}6 \][NEWLINE] \[ 0{,}351 = \dfrac{234r}{1000} \][NEWLINE] \[ r = \dfrac{0{,}351 \cdot 1000}{234} = \dfrac{351}{234} = \dfrac{117}{78} = \dfrac{39}{26} = 1{,}5 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]1,5
    Задание 16.11
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; [NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE] — к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2030 году составила 3195 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $A = 12$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 48$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r%$ — начисляемые проценты, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$ млн — фиксированная выплата основного долга каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 37 & A \cdot \dfrac{n - 36}{n} & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 37}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 48 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как платежи производятся по дифференцированной схеме, то зная общую сумму платежей за 2030 год (с 37-го по 48-й месяц) в 3195 тыс. рублей (т.е. 3,195 млн), составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{37-48} = \frac{a_{37} + a_{48}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{37} = A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} = A \cdot \dfrac{12}{48}r + \dfrac{A}{48} = \dfrac{A}{4}r + \dfrac{A}{48}$, [NEWLINE] $a_{48} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{48}r + \dfrac{A}{48}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \[ 3{,}195 = \frac{ \left( \dfrac{A}{4}r + \dfrac{A}{48} \right) + \left( \dfrac{A}{48}r + \dfrac{A}{48} \right) }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( \dfrac{A}{4}r + \dfrac{A}{48}r + \dfrac{2A}{48} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( Ar \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{48} \right) + \dfrac{A}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( Ar \cdot \dfrac{13}{48} + \dfrac{A}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $A = 12$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( 12r \cdot \dfrac{13}{48} + \dfrac{12}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( \dfrac{156r}{48} + 0{,}5 \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \left( \dfrac{13r}{4} + 0{,}5 \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 = \dfrac{78r}{4} + 3 \][NEWLINE] \[ 3{,}195 - 3 = 19{,}5r \][NEWLINE] \[ 0{,}195 = 19{,}5r \][NEWLINE] \[ r = \dfrac{0{,}195}{19{,}5} = \dfrac{195}{19500} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01 = 1% \]
    Задание 16.12
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно r, если общая сумма платежей в 2030 году составила 3195 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; [NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE] — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составила 6165 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 9$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 24$ — количество месяцев, [NEWLINE] $\dfrac{S}{n} = \dfrac{9}{24} = 0{,}375$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц, [NEWLINE] $r\%$ — месячная процентная ставка.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 1)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 2)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & S \cdot \dfrac{n - 11}{n} & S \cdot \dfrac{n - 11}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 12}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Просуммируем платежи за 2027 год (с 1-го по 12-й месяц). Тогда их сумма вычисляется как:[NEWLINE] \[ S_{1-12} = \frac{\dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) + \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $S = 9$, $n = 24$, $S_{1-12} = 6{,}165$ млн:[NEWLINE] \[ 6{,}165 = \frac{\dfrac{9}{24}\left(\dfrac{24r}{100} + 1\right) + \dfrac{9}{24}\left(\dfrac{r(24 - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 6{,}165 = \frac{0{,}375 \left(\dfrac{24r}{100} + 1\right) + 0{,}375 \left(\dfrac{13r}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 6{,}165 = \frac{0{,}375 \left( \dfrac{37r}{100} + 2 \right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 6{,}165 = 0{,}375 \cdot 6 \cdot \left( \dfrac{37r}{100} + 2 \right) \][NEWLINE] \[ 6{,}165 = 2{,}25 \left( \dfrac{37r}{100} + 2 \right) \][NEWLINE] \[ \frac{6{,}165}{2{,}25} = \dfrac{37r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 2{,}74 = \dfrac{37r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 0{,}74 = \dfrac{37r}{100} \][NEWLINE] \[ r = \frac{0{,}74 \cdot 100}{37} = \frac{74}{37} = 2 \][NEWLINE] Ответ: 2
    Задание 16.13
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
    Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составила 6165 тыс. рублей?
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-то числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга одним платежом;[NEWLINE] — 15-то числа каждого месяца (с января 2027 года по март 2028 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — 15 марта 2028 года долг составит 200 тыс. рублей;[NEWLINE] — 15 апреля 2028 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного погашения составит 612 тыс. рублей?
    Обозначим: [NEWLINE] $S$ — сумма кредита (в тыс. рублей), [NEWLINE] $n = 16$ — количество месяцев, [NEWLINE] $r = 2% = \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50}$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $x$ — фиксированная выплата основного долга каждый месяц (с января 2027 по март 2028).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Хочу обратить ваше внимание на то, что $x\neq\frac{S}{n}.$ Иначе бы у нас не получилось бы ни в коем случае на последний месяц 200 тыс. рублей долга.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Из условия: [NEWLINE] На 15 марта 2028 года (конец 15-го месяца) долг = 200 тыс. руб. → \[ S - 15x = 200 \Rightarrow x = \dfrac{S - 200}{15} \] [NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + x & S - x \\ \hline 2 & S - x & (S - x)(1 + r) & (S - x)r + x & S - 2x \\ \hline 3 & S - 2x & (S - 2x)(1 + r) & (S - 2x)r + x & S - 3x \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 15 & S - 14x & (S - 14x)(1 + r) & (S - 14x)r + x & S - 15x = 200 \\ \hline 16 & S - 15x = 200 & 200(1 + r) & 200(1 + r) & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как первые 15 месяцев образуют арифметическую прогрессию ввиду дифференцированной схемы платежей, а на начало 16-го месяца долг составляет 200 тыс. рублей, то, зная сумму платежей за 16 месяцев в 612 тыс. рублей, составим следующее уравнение:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ \Sigma = 612 = S_{1-15} + a_{16} \][NEWLINE] \[ S_{1-15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15 \][NEWLINE] Где $a_1 = Sr + x$, $a_{15} = (S - 14x)r + x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $x = \dfrac{S - 200}{15}$, $r = \dfrac{1}{50}$:[NEWLINE] \[ 612 = \frac{Sr + x + (S - 14x)r + x}{2} \cdot 15 + 200(1 + r) \][NEWLINE] \[ 612 = \frac{Sr + (S - 14x)r + 2x}{2} \cdot 15 + 200 \cdot 1{,}02 \][NEWLINE] \[ 612 = \frac{r(S + S - 14x) + 2x}{2} \cdot 15 + 204 \][NEWLINE] \[ 612 - 204 = \frac{r(2S - 14x) + 2x}{2} \cdot 15 \][NEWLINE] \[ 408 = \left( rS - 7rx + x \right) \cdot 15 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $r = \dfrac{1}{50}$, $x = \dfrac{S - 200}{15}$:[NEWLINE] \[ 408 = \left( \dfrac{S}{50} - 7 \cdot \dfrac{1}{50} \cdot \dfrac{S - 200}{15} + \dfrac{S - 200}{15} \right) \cdot 15 \][NEWLINE] \[ 408 = \left( \dfrac{S}{50} + \dfrac{S - 200}{15} \left(1 - \dfrac{7}{50}\right) \right) \cdot 15 \][NEWLINE] \[ 408 = \left( \dfrac{S}{50} + \dfrac{S - 200}{15} \cdot \dfrac{43}{50} \right) \cdot 15 \][NEWLINE] \[ 408 = \dfrac{15S}{50} + \dfrac{43(S - 200)}{50} \][NEWLINE] \[ 408 = \dfrac{15S + 43S - 8600}{50} \][NEWLINE] \[ 408 = \dfrac{58S - 8600}{50} \][NEWLINE] \[ 408 \cdot 50 = 58S - 8600 \][NEWLINE] \[ 20400 = 58S - 8600 \][NEWLINE] \[ 58S = 29000 \][NEWLINE] \[ S = \dfrac{29000}{58} = 500 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: 500[/BOLD]
    Задание 16.14
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-то числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга одним платежом;
    — 15-то числа каждого месяца (с января 2027 года по март 2028 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    — 15 марта 2028 года долг составит 200 тыс. рублей;
    — 15 апреля 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
    Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного погашения составит 612 тыс. рублей?
  • В июле 2025 года планируется взять кредит в банке сроком на четыре года на сумму 2 млн рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — в январе 2026 и 2027 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — в январе 2028 и 2029 годов долг возрастает на 2r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем; [NEWLINE] — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. [NEWLINE] Найдите r, если общая переплата по кредиту после полного его погашения составляет 650 тыс. рублей.[NEWLINE]
    Обозначим: [NEWLINE] $A = 2$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 4$ года — срок кредитования, [NEWLINE] $r%$ — начисляемые проценты первые два года, [NEWLINE] $2r%$ — начисляемые проценты последние два года, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$ млн — фиксированная выплата основного долга каждый год.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + 2r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \cdot 2r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline 4 & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n}(1 + 2r) & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \cdot 2r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как переплата по кредиту складывается из начисленных процентов, то составим уравнение, зная их сумму в 650 тыс. рублей (т.е. 0,65 млн):[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ \Sigma = Ar + A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \cdot 2r + A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \cdot 2r = 0{,}65 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $A = 2$, $n = 4$:[NEWLINE] \[ 2r + 2 \cdot \dfrac{3}{4}r + 2 \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2r + 2 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2r = 0{,}65 \][NEWLINE] \[ 2r + \dfrac{6}{4}r + \dfrac{8}{4}r + \dfrac{4}{4}r = 0{,}65 \][NEWLINE] \[ 2r + 1{,}5r + 2r + 1r = 0{,}65 \][NEWLINE] \[ 6{,}5r = 0{,}65 \][NEWLINE] \[ r = \dfrac{0{,}65}{6{,}5} = \dfrac{65}{650} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\% \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]10
    Задание 16.16
    В июле 2025 года планируется взять кредит в банке сроком на четыре года на сумму 2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
    — в январе 2026 и 2027 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    — в январе 2028 и 2029 годов долг возрастает на 2r% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем;
    — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
    Найдите r, если общая переплата по кредиту после полного его погашения составляет 650 тыс. рублей.
  • Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0{,}5x^2 + 2x + 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы в млн рублей за один год составит $px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p = 10$, а далее каждый год $p$ возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
    Прибыль за год: [NEWLINE] \[ f(x) = px - (0{,}5x^2 + 2x + 6) = -0{,}5x^2 + (p - 2)x - 6 \][NEWLINE] Это квадратичная функция, график — парабола, ветви вниз → максимум в вершине: [NEWLINE] \[ x_0 = \frac{-(p - 2)}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{p - 2}{1} = p - 2 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Максимальная прибыль: [NEWLINE] \[ f(x_0) = f(p - 2) = -0{,}5(p - 2)^2 + (p - 2)(p - 2) - 6 = 0{,}5(p - 2)^2 - 6 \][NEWLINE] То есть: [NEWLINE] \[ f_{\max}(p) = \frac{(p - 2)^2}{2} - 6 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим по годам:[NEWLINE] \(\) [NEWLINE] [BOLD]1-й год:[/BOLD] $p = 10$ [NEWLINE] \[ x_0 = 10 - 2 = 8 \] [NEWLINE] \[ f(8) = -0{,}5 \cdot 64 + (10 - 2) \cdot 8 - 6 = -32 + 64 - 6 = 26 \text{ млн} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] [BOLD]2-й год:[/BOLD] $p = 11$ [NEWLINE] \[ x_0 = 11 - 2 = 9 \] [NEWLINE] \[ f(9) = -0{,}5 \cdot 81 + 9 \cdot 9 - 6 = -40{,}5 + 81 - 6 = 34{,}5 \text{ млн} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] [BOLD]3-й год: [/BOLD]$p = 12$ [NEWLINE] \[ x_0 = 12 - 2 = 10 \] [NEWLINE] \[ f(10) = -0{,}5 \cdot 100 + 10 \cdot 10 - 6 = -50 + 100 - 6 = 44 \text{ млн} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] [BOLD]4-й год:[/BOLD] $p = 13$ [NEWLINE] \[ x_0 = 13 - 2 = 11 \] [NEWLINE] \[ f(11) = -0{,}5 \cdot 121 + 11 \cdot 11 - 6 = -60{,}5 + 121 - 6 = 54{,}5 \text{ млн} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Суммируем прибыли: [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] - После 1 года: $26$ [NEWLINE] - После 2 лет: $26 + 34{,}5 = 60{,}5$ [NEWLINE] - После 3 лет: $60{,}5 + 44 = 104{,}5$ [NEWLINE] - После 4 лет: $104{,}5 + 54{,}5 = 159$ [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Кайф, точно равно стоимости завода. [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 4
    Задание 16.17
    Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0{,}5x^2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы в млн рублей за один год составит px - (0{,}5x^2 + 2x + 6) . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p = 10 , а далее каждый год p возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
  • Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] \((|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0\)[NEWLINE] имеет ровно два различных корня.
    Пусть \(y=|x-a^2|+|x+1|:\)[NEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[NEWLINE] Проанализируем заменёнку (найдем нули его модулей):[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(x-a^2=0\)[NEWLINE]\(x=a^2\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt a^2\)[NEWLINE][COLUMN-BREAK]\(x+1=0\)[NEWLINE]\(x=-1\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt -1\)[/TWO-COLUMNS] Заметим, что \(a^2\geq0,\) поэтому \(x=a^2\) будет всегда правее на числовой прямой, чем \(x=-1.\) С этим знанием, нанесем на числовую прямую эти числа и расставим знаки для каждого из модулей. [image:0:left] Для каждого промежутка теперь раскроем модули:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-(x-a^2)-(x+1), \quad x\lt-1 \\ y=-(x-a^2)+x+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=x-a^2+x+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-2x+a-1, \quad x\lt-1 \\ y=a^2+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=2x-a^2+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Эскизно нанесем множество решений этой системы со значениями прямой \(y=a:\)[NEWLINE] [image:1:left] Перемещая прямую \(y=a\) снизу вверх и получаем, что при \(\lt a^2+1\) нет решений;[IMAGENEWLINE] при \(=a^2+1\) — бесконечное множество решений (они наложились);[IMAGENEWLINE] при \(\gt a^2+1\) — 2 решения.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Теперь самое сложное — отобрать нужные решения.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Во-первых, мы видим, что мы уже сказали, что наша заменёнка может иметь 2 решения и более, либо не иметь их вовсе. Учитывая, что наше искомое уравнение — квадратичное, то мы требуем от него лишь одно решение (то есть \(D=0\)). НО! Не будем забывать, что оно В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ КВАДРАТИЧНОЕ, а модули работают как бы НА НЕГО.[IMAGENEWLINE] То есть у квадратичного вообще-то все равно может быть два решения, а вот у заменёнки при этих значениях какие-то корни могут как бы "выпадать" из нужного интервала для решения. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]ВЫВОД:[/BOLD] возможны две ситуации:[IMAGENEWLINE] 1) Квадратичное имеет одно решение при \(y_0 \gt a^2+1,\) то есть в этом случае у заменёнки будет два решения;[IMAGENEWLINE] 2) Квадратичное имеет два решения такие, что \(y_1 \lt a^2+1 \lt y_2,\) то есть у заменёнки будет два решения, но один из корней выпадает из нужного нам интервала \(\gt a^2+1.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 1) Для начала решим самое простое — когда \(D=0\) у квадратичной функции:[IMAGENEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[IMAGENEWLINE] \(D=49-4(4a^2+4)=\)\(49-16a^2-16=33-16a^2\)[IMAGENEWLINE] \(33-16a^2=0\)[IMAGENEWLINE] \(a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) Изобразим все вышеперечисленное во втором пункте для нашей квадратичной функции \(f(y)=y^2-7y+4a^2+4:\)[NEWLINE] [image:2:left] То есть решения должны быть в нижней полуплоскости, потому что \(f(a^2+1) \lt 0\) (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Тогда получается, что решение сводится к системе:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} f(y)=y^2-7y+4a^2+4 \\ f(a^2+1) \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4a^2+4 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4(a^2+1) \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)(a^2-2) \lt 0,\) но \(a^2+1 \gt 0\) — всегда верно[IMAGENEWLINE] Тогда \(a^2-2 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция с нулями \(\pm\sqrt2,\) а значит \(a\in(-\sqrt2;\sqrt2).\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Объединяя это с нулями дискриминанта, мы получаем конечный ответ:[IMAGENEWLINE] \(a\in\{\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\}\cup(-\sqrt2;\sqrt2).\)
    Задание 18.1
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    (|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0
    имеет ровно два различных корня.