Основная волна ЕГЭ 2026. Оба дня

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

[image:0:right]Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°. [IMAGENEWLINE] Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°

Задание 1.1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°.
Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°

Ответ: 128

Ваш ответ:
В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: $ AB + CD = AD + BC $ [NEWLINE] Подставляем значения: $ 10 + 17 = AD + BC $ [NEWLINE] Следовательно, периметр четырехугольника: $ P = 2(CD + AD) = 2(10 + 17) = 54 $

Задание 1.2

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем:

Подставляем значения:

Следовательно, периметр четырехугольника:

Ответ: 54

Ваш ответ:
[image:0:right]В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 76, вписана окружность, $AB = 14$. Найдите длину стороны $CD$

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: [NEWLINE] \[ AB + CD = BC + AD \][NEWLINE] Периметр: \[ AB + BC + CD + DA = 76 \][NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \[ (AB + CD) + (BC + AD) = 76 \Rightarrow 2(AB + CD) = 76 \][NEWLINE] \[ AB + CD = 38 \][NEWLINE] Известно, что $AB = 14$, значит: \[ 14 + CD = 38 \Rightarrow CD = 24 \]

Задание 1.3

В четырёхугольник , периметр которого равен 76, вписана окружность, . Найдите длину стороны

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

Периметр:
Подставим:

Известно, что , значит:

Ответ: 24

Ваш ответ:
[image:0:right]Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 9, AD = 6. Найдите CD.

Известно, что у описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны. [NEWLINE] Тогда $AB+CD=BC+AD.$[NEWLINE] $4+CD=9+6$[NEWLINE] $CD=15-4=11.$

Задание 1.4

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 9, AD = 6. Найдите CD.

Известно, что у описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны.
Тогда

Ответ: 11

Ваш ответ:
[image:0:right]В треугольнике ABC угол C равен 30°, AD — биссектриса, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

$\angle CAD=\angle DAB=22^\circ.$[NEWLINE] $\angle ADB$ — внешний угол $\triangle ADC,$ а значит равен сумме двух других углов, не смежных с ним:[NEWLINE] $\angle ADB=30^\circ+22^\circ=52^\circ$

Задание 1.5

В треугольнике ABC угол C равен 30°, AD — биссектриса, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

— внешний угол а значит равен сумме двух других углов, не смежных с ним:

Ответ: 52

Ваш ответ:
Даны векторы $ \vec{a} $(25; 0) и $ \vec{b} $(1; -5). Найдите длину вектора $ \vec{a} - 4\vec{b} $.

$4\vec{b}(4;-20)$[NEWLINE] $\vec{a}-4\vec{b}(25-4;0-(-20))\rightarrow \vec{a}-4\vec{b}(21;20)$[NEWLINE] Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для $\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.$ Тогда:[NEWLINE] $|\vec{a}-4\vec{b}|=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{841}=29.$

Задание 2.1

Даны векторы (25; 0) и (1; -5). Найдите длину вектора .

Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для Тогда:

Ответ: 29

Ваш ответ:
[image:0:right]На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $2\vec{a}+\vec{b}$.

Найдём координаты векторов с помощью разложения на единичные векторы:[NEWLINE] $\vec{a}(2;-1), \quad \vec{b}(-3;2).$[NEWLINE] Тогда $2\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}(1;0).$[NEWLINE] Значит, $|\vec{c}|=\sqrt{1^2+0^2}=1.$

Задание 2.2

На координатной плоскости изображены векторы и , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора .

Найдём координаты векторов с помощью разложения на единичные векторы:

Тогда
Значит,

Ответ: 1

Ваш ответ:
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза, так как получившиеся треугольники в основании подобны и коэффициент подобия k=2 (по средней линии), а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда объем отсеченной треугольной призмы будет: $ V_{\text{отс}} = \frac{1}{4} \cdot V_{\text{всей}} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13. $

Задание 3.1

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза, так как получившиеся треугольники в основании подобны и коэффициент подобия k=2 (по средней линии), а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда объем отсеченной треугольной призмы будет:

Ответ: 13

Ваш ответ:
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 100. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Боковая поверхность данной призмы состоит из параллелограммов, которые делятся ровно пополам плоскостью. Так же уменьшается ровно в 2 раза грань, через которую не проходит плоскость, потому что это все еще плоскость, проходящая через среднюю линию оснований.[NEWLINE] Поэтому площадь уменьшится ровно в 2 раза:[NEWLINE] $\frac{100}{2}=50.$

Задание 3.2

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 100. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Боковая поверхность данной призмы состоит из параллелограммов, которые делятся ровно пополам плоскостью. Так же уменьшается ровно в 2 раза грань, через которую не проходит плоскость, потому что это все еще плоскость, проходящая через среднюю линию оснований.

Поэтому площадь уменьшится ровно в 2 раза:

Ответ: 50

Ваш ответ:
[image:0:right]Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.

Объём цилиндра: $V_ц=S_{осн}\cdot h$[NEWLINE] Объём конуса: $V_к=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h$[NEWLINE] По условию основания совпадают, а значит и их площади совпадают. Следовательно,[NEWLINE] $V_к=\frac{1}{3}V_ц=\frac{1}{3}\cdot 150=50.$

Задание 3.3

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.

Объём цилиндра:
Объём конуса:
По условию основания совпадают, а значит и их площади совпадают. Следовательно,

Ответ: 50

Ваш ответ:
В сборнике билетов по математике 52 билета, в тринадцати из них встречается вопрос по теме "Логарифмы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Логарифмы".

$P=\frac{13}{52}=0,25.$

Задание 4.1

В сборнике билетов по математике 52 билета, в тринадцати из них встречается вопрос по теме "Логарифмы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Логарифмы".

Ответ: 0,25

Ваш ответ:
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 20 из Великобритании, 11 из Франции, 13 из Германии и 6 из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Великобритании.

$P=\frac{20}{50}=0,4$

Задание 4.2

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 20 из Великобритании, 11 из Франции, 13 из Германии и 6 из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Великобритании.

Ответ: 0,4

Ваш ответ:
На конференцию приехали учёные из четырёх стран: 10 из Австрии, 11 из Германии, 15 из Сербии и 14 из Латвии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Австрии.

$P=\frac{10}{50}=0,2$

Задание 4.3

На конференцию приехали учёные из четырёх стран: 10 из Австрии, 11 из Германии, 15 из Сербии и 14 из Латвии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Австрии.

Ответ: 0,2

Ваш ответ:
Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

[image:0:right]Такие задачи удобно решать с помощью числовой прямой. Нам необходимо отрезок, отмеченный красным на рисунке, так как эта числовая прямая является множеством всех событий. А этот отрезок и есть искомый вопрос задачи. А найти его можно по выражению:[IMAGENEWLINE] $P=0,94-0,87=0,07$

Задание 4.4

Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Такие задачи удобно решать с помощью числовой прямой. Нам необходимо отрезок, отмеченный красным на рисунке, так как эта числовая прямая является множеством всех событий. А этот отрезок и есть искомый вопрос задачи. А найти его можно по выражению:

Ответ: 0,07

Ваш ответ:
На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,12. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Пусть $A$ — событие "достался вопрос по теме «Вписанная окружность»", $B$ — событие "достался вопрос по теме «Тригонометрия»".[NEWLINE] По условию задачи требуется $A$ ИЛИ $B.$ То есть $P(A\cap B).$ В теорвере союз "ИЛИ" означает "сложить". То есть:[NEWLINE] $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$[NEWLINE] $P(A\cap B)=0,2+0,12=0,32.$

Задание 4.5

На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,12. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Пусть — событие "достался вопрос по теме «Вписанная окружность»", — событие "достался вопрос по теме «Тригонометрия»".

По условию задачи требуется ИЛИ То есть В теорвере союз "ИЛИ" означает "сложить". То есть:

Ответ: 0,32

Ваш ответ:
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.

Нам нужно попасть в первые две и не попасть в две последние. Такая вероятность будет равна произведению вероятности этих событий, так как нам сказали "При каждом ОТДЕЛЬНОМ выстреле вероятность равна 0,7", что означает независимость событий. [NEWLINE] Пусть $P(A)$ - вероятность попадания, тогда $P(B)$ - вероятность промаха и она равна $1-0,7=0,3$. Тогда искомая вероятность будет равна: [NEWLINE] $P=0,7\cdot0,7\cdot0,3\cdot0,3=0,0441.$

Задание 5.1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.

Нам нужно попасть в первые две и не попасть в две последние. Такая вероятность будет равна произведению вероятности этих событий, так как нам сказали "При каждом ОТДЕЛЬНОМ выстреле вероятность равна 0,7", что означает независимость событий.

Пусть - вероятность попадания, тогда - вероятность промаха и она равна . Тогда искомая вероятность будет равна:

Ответ: 0,0441

Ваш ответ:
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

[image:0:left] Конвейер решается с помощью "Древа". Красные — из условия, Зеленые — посчитаны исходя из формулы полной вероятности.[IMAGENEWLINE] Нам нужны Исправные И Забракованные ИЛИ Неисправные И Забракованные (В теорвере "И" - действие "умножить", а "ИЛИ" - действие "сложить").[IMAGENEWLINE] Значит искомая вероятность будет равна: $P=0,98\cdot0,01+0,02\cdot0,99=0,0098+0,0198=0,0296.$

Задание 5.2

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Конвейер решается с помощью "Древа". Красные — из условия, Зеленые — посчитаны исходя из формулы полной вероятности.
Нам нужны Исправные И Забракованные ИЛИ Неисправные И Забракованные (В теорвере "И" - действие "умножить", а "ИЛИ" - действие "сложить").
Значит искомая вероятность будет равна:

Ответ: 0,0296

Ваш ответ:
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий. [NEWLINE] В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятностей. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись: [NEWLINE] $P=\frac{5}{25}\cdot\frac{9}{24}+\frac{9}{25}\cdot\frac{5}{24}.$ [NEWLINE] Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:[NEWLINE] $P=2\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{8}=0,4\cdot0,375=0,15.$

Задание 5.3

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий.

В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятностей. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись:

Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:

Ответ: 0,15

Ваш ответ:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

[BOLD] Обозначим события: [/BOLD][NEWLINE] - $ A $ — кофе закончится в первом автомате. [NEWLINE] - $ B $ — кофе закончится во втором автомате. [NEWLINE] [BOLD] Из условия задачи известно: [/BOLD] [NEWLINE] - $ P(A) = 0,1, $ [NEWLINE] - $ P(B) = 0,1, $ [NEWLINE] - $ P(AB) = 0,05 $ - кофе закончится в первом И во втором автомате (в теорвере союз "И" это знак "умножить" для событий, а ИЛИ это знак "плюс"). [NEWLINE] Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность, что в обоих автоматах кофе не закончится. Это событие будет противоположным событию, когда хотя бы в одном автомате закончится кофе. Вероятность этого события можно найти как: [NEWLINE] $ P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - P(AB). $ [NEWLINE] [BOLD] Используем формулу для вероятности объединения двух событий: [/BOLD] $ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB). $ [NEWLINE] Подставляем известные значения: $ P(A + B) = 0,1 + 0,1 - 0,05 = 0,15. $ [NEWLINE] [BOLD] Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: [/BOLD] $ P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - 0,15 = 0,85. $[NEWLINE] [BOLD][/BOLD][NEWLINE] [BOLD]НЕБОЛЬШОЕ ПОЯСНЕНИЕ ДЛЯ ТЕХ, КТО НЕ ПОНЯЛ.[/BOLD][NEWLINE] [image:0:left] Во-первых, такие задачи решаются и понимаются прекрасно с помощью кругов Эйлера. [IMAGENEWLINE] Во-вторых, нужно обратить внимание на то, что вероятности у нас совместные, потому что вероятностью независимых событий будет произведение вероятностей этих событий. Но если мы умножим данные вероятности, то получим $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,01,$ хотя по условию дано $P(AB)=0,05,$ что говорит о совместности этих событий. В таком случае нам нужно исключить их пересечение и тогда мы получим "чистую" вероятность того, что кофе закончится (говорят, общая вероятность).[IMAGENEWLINE] Теперь смотрим на рисунок и видим, что мы объединяем два множества вероятности событий и должны "удалить" их пересечение. Их пересечением является совпадение событий, то есть вероятность "кофе закончится в первом и во втором автомате".[IMAGENEWLINE] Вот отсюда и получается формула $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).$

Задание 5.4

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Обозначим события:
- — кофе закончится в первом автомате.
- — кофе закончится во втором автомате.
Из условия задачи известно:
-
-
- - кофе закончится в первом И во втором автомате (в теорвере союз "И" это знак "умножить" для событий, а ИЛИ это знак "плюс").
Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность, что в обоих автоматах кофе не закончится. Это событие будет противоположным событию, когда хотя бы в одном автомате закончится кофе. Вероятность этого события можно найти как:

Используем формулу для вероятности объединения двух событий:
Подставляем известные значения:
Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах:

НЕБОЛЬШОЕ ПОЯСНЕНИЕ ДЛЯ ТЕХ, КТО НЕ ПОНЯЛ.
Во-первых, такие задачи решаются и понимаются прекрасно с помощью кругов Эйлера.
Во-вторых, нужно обратить внимание на то, что вероятности у нас совместные, потому что вероятностью независимых событий будет произведение вероятностей этих событий. Но если мы умножим данные вероятности, то получим хотя по условию дано что говорит о совместности этих событий. В таком случае нам нужно исключить их пересечение и тогда мы получим "чистую" вероятность того, что кофе закончится (говорят, общая вероятность).
Теперь смотрим на рисунок и видим, что мы объединяем два множества вероятности событий и должны "удалить" их пересечение. Их пересечением является совпадение событий, то есть вероятность "кофе закончится в первом и во втором автомате".
Вот отсюда и получается формула

Ответ: 0,85

Ваш ответ:
Найдите корень уравнения $ \sqrt{9x - 47} = 4. $

Для устранения квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат: [NEWLINE] $ 9x - 47 = 4^2, $[NEWLINE] $ 9x - 47 = 16. $ [NEWLINE] $ 9x = 16 + 47, $[NEWLINE] $ 9x = 63, $[NEWLINE] $ x = 7. $

Задание 6.1

Найдите корень уравнения

Для устранения квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат:

Ответ: 7

Ваш ответ:
Найдите корень уравнения $log_5(20-x)=2.$

Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальную форму по определению:[NEWLINE] $\log_a(b) = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b.$ [NEWLINE] a = 5, b = 20 - x, c = 2. [NEWLINE] Тогда: $\log_5(20 - x) = 2 \quad \Rightarrow \quad 5^2 = 20 - x.$[NEWLINE] 25 = 20 - x.[NEWLINE] x=20-25.[NEWLINE] x = -5.

Задание 6.2

Найдите корень уравнения

Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальную форму по определению:

a = 5, b = 20 - x, c = 2.

Тогда:

25 = 20 - x.

x=20-25.

x = -5.

Ответ: -5

Ваш ответ:
Найдите корень уравнения $6^{9-x}=216.$

$6^{9-x}=6^3$[NEWLINE] $9-x=3$[NEWLINE] $x=6.$

Задание 6.3

Найдите корень уравнения

Ответ: 6

Ваш ответ:
Найдите значение выражения: $ \frac{2\sin 136°}{\sin 68° \cdot \sin 22°} $

$ \sin(180^\circ - x) = \sin x, $ $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Таким образом: [NEWLINE] $ \sin 136^\circ = \sin(180^\circ - 44^\circ) = \sin 44^\circ $. Теперь подставим это в исходное выражение: [NEWLINE] $ \frac{2\sin 44^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ} $[NEWLINE] $ \sin 68^\circ = \sin(90^\circ-22^\circ) = \cos 22^\circ $. [NEWLINE] И теперь подставляем: $ \frac{2\sin 44^\circ}{\cos 22^\circ \cdot \sin 22^\circ} $[NEWLINE] $ \sin 44^\circ = \sin(2 \cdot 22^\circ) = 2 \sin 22^\circ \cos 22^\circ $ [NEWLINE] $ \frac{2(2 \sin 22^\circ \cos 22^\circ)}{\cos 22^\circ \cdot \sin 22^\circ} =$ $ \frac{4 \sin 22^\circ \cos 22^\circ}{\cos 22^\circ \sin 22^\circ} = 4 $[NEWLINE]

Задание 7.1

Найдите значение выражения:

. Таким образом:

. Теперь подставим это в исходное выражение:

.

И теперь подставляем:

Ответ: 4

Ваш ответ:
Найдите значение выражения: $\frac{(3\sqrt{8})^2}{6}$.

$(ab)^n=a^nb^n.$[NEWLINE] $\frac{3^2\cdot\sqrt8^2}{6}=\frac{9\cdot8}{6}=12.$

Задание 7.2

Найдите значение выражения: .

Ответ: 12

Ваш ответ:
Найдите tgɑ, если sinɑ=$\frac{\sqrt{26}}{26} $ и $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

$tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$ Значит нам необходимо найти $\cos\alpha$.[NEWLINE] $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \rightarrow \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha \rightarrow$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} .$ (Учитывая первую четверть)[NEWLINE] $\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{26}}{26})^2}=\sqrt{\frac{676-26}{26}}=$$\sqrt{\frac{650}{26}}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}.$[NEWLINE] $tg\alpha=\frac{\sqrt{26}}{26}:\frac{5\sqrt{26}}{26}=\frac{\sqrt{26}}{26}\cdot\frac{26}{5\sqrt{26}}=0,2.$

Задание 7.3

Найдите tgɑ, если sinɑ= и .

Значит нам необходимо найти .

(Учитывая первую четверть)

Ответ: 0,2

Ваш ответ:
Найдите $\operatorname{tg} x$, если $\cos x = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$, при $x \in [0; \pi]$.

$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = $$1 - \left(\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)^2 = $$1 - \frac{25 \cdot 26}{676} = $$1 - \frac{650}{676} = \frac{26}{676} = \frac{1}{26} $[NEWLINE] $ \sin x = \sqrt{\frac{1}{26}} = $$\frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $[NEWLINE] Т.к. $x \in [0; \pi]$, и $\cos x > 0$, то $x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ ⇒ $\sin x > 0$[NEWLINE] $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = $$\frac{\dfrac{\sqrt{26}}{26}}{\dfrac{5\sqrt{26}}{26}} = \frac{1}{5}=0,2 $

Задание 7.4

Найдите , если , при .

Т.к. , и , то ⇒

Ответ: 0,2

Ваш ответ:
На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

Производная функции — скорость изменения функции. То есть если производная отрицательна, то скорость функции отрицательна (что означает убывание функции) и наоборот. [image:0:block] В нашем случае таких точек всего 2 (см. рис)

Задание 8.1

На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

Производная функции — скорость изменения функции. То есть если производная отрицательна, то скорость функции отрицательна (что означает убывание функции) и наоборот.
В нашем случае таких точек всего 2 (см. рис)

Ответ: 2

Ваш ответ:
На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Производная функции отрицательна тогда, когда функция убывает. Или можно по-другому. Производная функции отрицательна тогда, когда касательная к ней составляет тупой угол с положительным направлением оси абсцисс [NEWLINE] [image:0] [NEWLINE] Как видно из рисунка, таких точек всего 4.

Задание 8.2

На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Производная функции отрицательна тогда, когда функция убывает. Или можно по-другому. Производная функции отрицательна тогда, когда касательная к ней составляет тупой угол с положительным направлением оси абсцисс

Как видно из рисунка, таких точек всего 4.

Ответ: 4

Ваш ответ:
На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−18; 1].

Нанесем отрезок на рисунок и отметим точки минимума функции.[image:0:block][NEWLINE] Пояснение к выбору точек минимуму функции. [NEWLINE] Нам дан график производной функции. Мы знаем ее физический смысл — $x'(t)=v'(t)$. То есть это скорость функции. Любая точка экстремума это точка, где функция останавливается и меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот (или точка перегиба, например, в корнях двойной кратности). А это означает, что нам нужно найти нули производной, где график производной меняет свой знак с минуса на плюс. Как видно из рисунка, на отрезке [-18;1], таких всего 3.

Задание 8.3

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−18; 1].

Нанесем отрезок на рисунок и отметим точки минимума функции.

Пояснение к выбору точек минимуму функции.
Нам дан график производной функции. Мы знаем ее физический смысл — . То есть это скорость функции. Любая точка экстремума это точка, где функция останавливается и меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот (или точка перегиба, например, в корнях двойной кратности). А это означает, что нам нужно найти нули производной, где график производной меняет свой знак с минуса на плюс. Как видно из рисунка, на отрезке [-18;1], таких всего 3.

Ответ: 3

Ваш ответ:
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256} \cdot 10^{21}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9,12 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Выразим $T$:[NEWLINE] $P = \sigma S T^4 \quad |:\sigma S$[NEWLINE] $T^4 = \frac{P}{\sigma S} \quad |\sqrt[4]{}$[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$[NEWLINE] Подставляем значения:[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{9{,}12 \cdot 10^{26}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{21}}} = $$\sqrt[4]{\frac{9{,}12 \cdot 10^{26} \cdot 256}{5{,}7 \cdot 10^{13}}} = $$\sqrt[4]{\frac{912 \cdot 256 \cdot 10^{14}}{5700}} = $$\sqrt[4]{0{,}16 \cdot 256 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{40{,}96 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{4096 \cdot 10^{12}} = $$\sqrt[4]{8^4 \cdot 10^{12}} = 8 \cdot 10^3 = 8000$

Задание 9.1

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому , где — мощность излучения звезды (в Вт), — постоянная, — площадь поверхности звезды (в м), а — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна м, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Выразим :

Подставляем значения:

Ответ: 8000

Ваш ответ:
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 1 \cdot 10^{-5}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 7 \cdot 10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 60$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t = αRC log_2\frac{U0}{U}$ (с), где $\alpha = 1,5$ – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 105 с. Ответ дайте в киловольтах.

$t = αRC log_2\frac{U_0}{U}|:(αRC)$[NEWLINE] $\log_2\frac{U_0}{U}=\frac{t}{αRC}$[NEWLINE] Воспользуемся определением логарифма $\log_ab=c\Leftrightarrow a^c=b:$[NEWLINE] $2^{\frac{t}{αRC}} = \frac{U_0}{U}$[NEWLINE] $U=\frac{U_0}{2^{\frac{t}{αRC}}}.$[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] $U=\frac{60}{2^{\frac{105}{1,5\cdot7\cdot10^6\cdot1\cdot10^{-5}}}}=$$\frac{60}{2^{\frac{105}{1,5\cdot7\cdot10}}}=$$\frac{60}{2}=30.$

Задание 9.2

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с), где – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 105 с. Ответ дайте в киловольтах.

Воспользуемся определением логарифма

Подставим:

Ответ: 6

Ваш ответ:
Два велосипедиста одновременно отправились 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Велосипедист} & \textbf{v (км/ч)} & \textbf{A (км)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{Первый} & x & 190 & \frac{190}{x} \\ \hline \text{Второй} & x-9 & 190 & \frac{190}{x-9} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия известно, что первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Составим уравнение: \[ \frac{190}{x-9} - \frac{190}{x } = 9. \] [NEWLINE] $ \frac{190 x - 190(x-9)}{x(x -9)} = 9 $ [NEWLINE] $ \frac{190x + 1710 - 190x}{x(x -9)} = 9 $ [NEWLINE] $ \frac{960}{x(x -9)} = 9 | \cdot x(x -9)$ [NEWLINE] $ 1710 = 9x(x -9) $ [NEWLINE] $ 1710 = 9x^2 - 81x $ [NEWLINE] $ 9x^2 -81x - 1710 = 0|:9 $ [NEWLINE] $ x^2 -9x - 190 = 0 $[NEWLINE] $\begin{cases} x_1+x_2=9 \\ x_1\cdot x_2 = 190 \end{cases}\rightarrow$ $\left[\begin{aligned} & x_1=19 \\& x_2=-10 \\\end{aligned}\right.$ [NEWLINE] Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем $ x = 19 $.

Задание 10.1

Два велосипедиста одновременно отправились 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решим с помощью таблицы:

Из условия известно, что первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Составим уравнение:

Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем .

Ответ: 19

Ваш ответ:
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько и на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим: $x$ — скорость велосипедиста в первый день (км/ч). Составим таблицу: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{День} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{1} & x & 72 & \dfrac{72}{x} \\ \hline \text{2} & x + 3 & 72 & \dfrac{72}{x + 3} + 2 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] По условию время первого дня равно времени второго дня: \[ \frac{72}{x} = \frac{72}{x + 3} + 2 \][NEWLINE] \[ \frac{72}{x} - \frac{72}{x + 3} = 2 \][NEWLINE] \[ \frac{72(x + 3) - 72x}{x(x + 3)} = 2 \][NEWLINE] \[ \frac{216}{x(x + 3)} = 2 \][NEWLINE] \[ 2x(x + 3) = 216 \][NEWLINE] \[ x^2 + 3x - 108 = 0 \][NEWLINE] \[ D = 9 + 432 = 441 = 21^2 \][NEWLINE] [NEWLINE] \[ x = \frac{-3 \pm 21}{2} \][NEWLINE] \[ x_1 = 9,\quad x_2 = -12 \quad (\text{не подходит}) \][NEWLINE]

Задание 10.2

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько и на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим: — скорость велосипедиста в первый день (км/ч). Составим таблицу:

По условию время первого дня равно времени второго дня:

Ответ: 9

Ваш ответ:
Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 125 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

1) Составим таблицу: [NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сплав} & \text{Масса (кг)} & \text{Процент никеля} & \text{Масса никеля (кг)} \\ \hline \text{Первый} & x & 5\% & 0,05x \\ \hline \text{Второй} & y & 30\% & 0,30y \\ \hline \text{Третий} & 125 & 25\% & 0,25 \cdot 125 \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] 2) Составляем систему уравнений и решаем: \[ \begin{cases} x + y = 125 \\ 0,05x + 0,30y = 0,25 \cdot 125 |:0,05 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x + y = 125 \\ x + 6y = 625 |:0,05 \end{cases} \] [NEWLINE] 3) Вычитаем из нижнего верхнее:[NEWLINE] $5y=500|:5$[NEWLINE] $y=100.$[NEWLINE] $x=125-100=25.$[NEWLINE] В ответе просят указать их разность: [NEWLINE] $y-x=100-25=75.$

Задание 10.3

Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 125 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

1) Составим таблицу:

2) Составляем систему уравнений и решаем:

3) Вычитаем из нижнего верхнее:

В ответе просят указать их разность:

Ответ: 75

Ваш ответ:
[image:0:right]На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c,$ где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-7).$

Заметим, что $f(0)=-3\rightarrow c=-3.$[NEWLINE] Возьмём две точки и восстановим оставшиеся коэффициенты. Например, $(-3;0)$ и $(1;0):$[NEWLINE] [NEWLINE] $\begin{cases} 0=9a-3b-3|:3 \\ 0=a+b-3 \end{cases}$$\begin{cases} 3a-b-1=0 \\ a+b-3=0 \end{cases}$[NEWLINE] Складываем верхнее с нижним:[NEWLINE] $3a-b-1+a+b-3=0$[NEWLINE] $4a=4$[NEWLINE] $a=1\rightarrow b=3-1=2.$[NEWLINE] Значит $f(x)=x^2+2x-3$[NEWLINE] [NEWLINE] Тогда $f(-7)=49-14-3=32.$

Задание 11.1

На рисунке изображён график функции вида где числа и — целые. Найдите значение

Заметим, что
Возьмём две точки и восстановим оставшиеся коэффициенты. Например, и

Складываем верхнее с нижним:

Значит

Тогда

Ответ: 32

Ваш ответ:
[image:0:right]На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c.$ Найдите значение $f(-2).$

Заметим, что $f(0)=4\rightarrow c=4.$[NEWLINE] Восстановим остальные коэффициенты взяв точки $(1;0),(4;0)$ и составив систему уравнений:[NEWLINE] $\begin{cases} 0=a\cdot1^2+b\cdot1+4 \\ 0=a\cdot4^2+b\cdot4+4 \end{cases}$ $\begin{cases} 0=a+b+4 \\ 0=16a+4b+4|:4 \end{cases}$ $\begin{cases} 0=a+b+4 \\ 0=4a+b+1 \end{cases}$[NEWLINE] $3a=3\rightarrow a=1.$[NEWLINE] $b=-5$[NEWLINE] [NEWLINE] Тогда $f(x)=x^2-5x+4$[NEWLINE] Тогда $f(-2)=(-2)^2-5\cdot(-2)2+4=18.$

Задание 11.2

На рисунке изображён график функции вида Найдите значение

Заметим, что
Восстановим остальные коэффициенты взяв точки и составив систему уравнений:

Тогда
Тогда

Ответ: -2

Ваш ответ:
[image:0:right]На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}.$ Найдите значение $f(32).$

Восстановим коэффициент $k,$ взяв точку $(8;4):$[NEWLINE] $4=k\cdot\sqrt{8} \rightarrow k=\frac{4}{\sqrt{8}}$[NEWLINE] Значит $f(x)=\frac{4}{\sqrt{8}}\sqrt{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] $f(32)=\frac{4}{\sqrt{8}}\cdot\sqrt{32}=8.$

Задание 11.3

На рисунке изображён график функции Найдите значение

Восстановим коэффициент взяв точку

Значит

Ответ: 8

Ваш ответ:
Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] $((x^n)'=nx^{n-1},$ $(CU)'=CU',$ $x'=1,$ $C'=0.$[NEWLINE] $y'=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt x-2.$[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $\sqrt x-2=0$[NEWLINE] $\sqrt x=2|^2$[NEWLINE] $x=4.$[NEWLINE] У нас получается одна единственная точка, значит она и будет точкой минимума.

Задание 12.1

Найдите точку минимума функции

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку минимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой минус меняется на плюс. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.

Найдем нули производной:

У нас получается одна единственная точка, значит она и будет точкой минимума.

Ответ: 4

Ваш ответ:
Найдите точку максимума y=0,5x²-21x+110lnx+43

Точка максимума - один из экстремумов функции. Найдем производную, найдем нули, найдем и точки экстремума.[NEWLINE] $y'=(0,5x^2-21x+110lnx+43)'$[NEWLINE] Правила дифференцирования:[NEWLINE] $(CU)'=CU';$ $(x^n)'=nx^{n-1};$ $(lnx)'=\frac{1}{x};$ $(U+V)'=U'+V'$[NEWLINE] $y'=x-21+\frac{110}{x}|\cdot x\neq0$[NEWLINE] $y'=x^2-21x+110$[NEWLINE] $x^2-21x+110=0$[NEWLINE] $x=10$ ИЛИ $x=11$ [NEWLINE] [image:0:left] Производной является парабола, ветви вверх, а значит будет "плюс-минус-плюс". Значит точкой максимума для функции будет 10, потому что производная меняет знак с плюса на минус.

Задание 12.2

Найдите точку максимума y=0,5x²-21x+110lnx+43

Точка максимума - один из экстремумов функции. Найдем производную, найдем нули, найдем и точки экстремума.

Правила дифференцирования:

ИЛИ
Производной является парабола, ветви вверх, а значит будет "плюс-минус-плюс". Значит точкой максимума для функции будет 10, потому что производная меняет знак с плюса на минус.

Ответ: 10

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2$.

1) Найдём область определения функции:[NEWLINE] $D(y): \quad 2 + 2x - x^2 \gt 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 2 \gt 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 \lt 0$[NEWLINE] Корни: $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ [NEWLINE] $D(y): \left(1 - \sqrt{3};\; 1 + \sqrt{3}\right)$[NEWLINE] [NEWLINE] 2) Найдём производную:[NEWLINE] Пусть $u = 2 + 2x - x^2$, тогда $y = \log_2 u - 2$, [NEWLINE] $y' = \dfrac{1}{u \ln 2} \cdot u'$, [NEWLINE] $u' = 2 - 2x = 2(1 - x)$[NEWLINE] [NEWLINE] $y' = \frac{2(1 - x)}{(2 + 2x - x^2)\ln 2}$[NEWLINE] [NEWLINE] Знаменатель > 0 на $D(y)$, $\ln 2 \gt 0$, знак $y'$ определяется числителем: [NEWLINE] $y' = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$[NEWLINE] [NEWLINE] [image:0:right]3) Определим знаки производной.[IMAGENEWLINE] При $x=1$ происходит смена знаков производной с $+$ на $-.$ Следовательно, $x_{\max} = 1$

Задание 12.3

Найдите точку максимума функции .

1) Найдём область определения функции:

Корни:

2) Найдём производную:
Пусть , тогда ,
,

Знаменатель \gt 0 на , , знак определяется числителем:

3) Определим знаки производной.
При происходит смена знаков производной с на Следовательно,

Ответ: 1

Ваш ответ:
Найдите точку минимума функции $y = 1{,}5x^2 - 30x + 48 \cdot \ln x + 4$.

$(u + v)' = u' + v' \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}$[NEWLINE] $(x^n)' = n x^{n-1} \qquad x' = 1 \qquad C' = 0 \qquad (C u)' = C u'$[NEWLINE] 1) Найдём производную:[NEWLINE] $y' = \left(1{,}5x^2 - 30x + 48 \cdot \ln x + 4\right)' $$= (1{,}5x^2)' - (30x)' + (48 \ln x)' + 4' $$= 1{,}5 \cdot 2x - 30 + 48 \cdot \frac{1}{x} + 0 =$$ 3x - 30 + \frac{48}{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] 2) Найдём нули производной:[NEWLINE] $3x - 30 + \frac{48}{x} = 0 \quad | \cdot x > 0$[NEWLINE] $3x^2 - 30x + 48 = 0 \quad | :3$[NEWLINE] $x^2 - 10x + 16 = 0$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} &x_1 = 8 \\& x_2 = 2 \\\end{aligned}\right. $[NEWLINE] $x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)$[NEWLINE] [image:0:right]3) Нанесём на числовую прямую и найдём знаки производной: [IMAGENEWLINE] Определив, знаки производной, заметим, что точка минимума будет при $x=8,$ так как там происходит смена знака с $-$ на $+$

Задание 12.4

Найдите точку минимума функции .

1) Найдём производную:

2) Найдём нули производной:

3) Нанесём на числовую прямую и найдём знаки производной:
Определив, знаки производной, заметим, что точка минимума будет при так как там происходит смена знака с на

Ответ: 8

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y=-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+11x+14.$

$y=-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+11x+14$[NEWLINE] $y'=(-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}})'+(11x)'+14'$[NEWLINE] $y'=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+11$[NEWLINE] $y'=-\frac{1}{2}\sqrt{x}+11$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули производной:[NEWLINE] $-\frac{1}{2}\sqrt{x}+11=0$[NEWLINE] $x=484$[NEWLINE] Заметим, что корень единственный и поэтому он пойдёт в ответ, но не забудьте удостовериться в истинности решения. Если мы посмотрим на саму функцию производной, то не трудно догадаться о том, что это перевернутый кусок параболы (квадратный корень), причём убывающий и пересекающий ось $Ox$ в точке $x=484,$ поэтому это и будет максимум, ведь производная поменяет свой знак с $+$ на $-.$

Задание 12.5

Найдите точку максимума функции

Найдём нули производной:

Заметим, что корень единственный и поэтому он пойдёт в ответ, но не забудьте удостовериться в истинности решения. Если мы посмотрим на саму функцию производной, то не трудно догадаться о том, что это перевернутый кусок параболы (квадратный корень), причём убывающий и пересекающий ось в точке поэтому это и будет максимум, ведь производная поменяет свой знак с на

Ответ: 484

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y=21+15x-x^{\frac{3}{2}}.$

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.[NEWLINE] $((x^n)') = nx^{n-1},\quad (CU)' = CU',\quad x' = 1,\quad C' = 0.$[NEWLINE] $y = 21 + 15x - x^{\frac{3}{2}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём производную: $y' = 15 - \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 15 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули производной: $15 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 0$[NEWLINE] $\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 15$[NEWLINE] $\sqrt{x} = 15 \cdot \dfrac{2}{3} = 10$[NEWLINE] $x = 100$[NEWLINE] У нас получается одна единственная точка в области определения ($x \geq 0$); при $x < 100$ производная положительна, при $x > 100$ отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Задание 12.6

Найдите точку максимума функции

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.

Найдём производную:

Найдём нули производной:

У нас получается одна единственная точка в области определения (); при отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Ответ: 100

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y = 1 + 12x - x^{\frac{3}{2}}.$

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.[NEWLINE] $((x^n)') = nx^{n-1},\quad (CU)' = CU',\quad x' = 1,\quad C' = 0.$[NEWLINE] $y = 1 + 12x - x^{\frac{3}{2}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём производную: $y' = 12 - \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 12 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули производной: $12 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 0$[NEWLINE] $\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 12$[NEWLINE] $\sqrt{x} = 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 8$[NEWLINE] $x = 64$[NEWLINE] У нас получается одна единственная точка в области определения ($x \geq 0$); при $x < 64$ производная положительна, при $x > 64$ отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Задание 12.7

Найдите точку максимума функции

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.

Найдём производную:

Найдём нули производной:

У нас получается одна единственная точка в области определения (); при отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Ответ: 64

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y = 15 - 24x - x^{\frac{3}{2}}.$

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.[NEWLINE] $((x^n)') = nx^{n-1},\quad (CU)' = CU',\quad x' = 1,\quad C' = 0.$[NEWLINE] $y = 15 - 24x - x^{\frac{3}{2}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём производную: $y' = -24 - \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = -24 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули производной: $-24 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 0$[NEWLINE] $\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = -24$[NEWLINE] $\sqrt{x} = -24 \cdot \dfrac{2}{3} = -16$[NEWLINE] Уравнение не имеет решений, так как $\sqrt{x} \geq 0$ при всех $x$ из области определения ($x \geq 0$). Значит производная $y' = -24 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$ отрицательна при всех $x \geq 0$, функция убывает на всей области определения $[0;\,+\infty)$, и наибольшее значение достигается на левом конце, то есть в точке $x = 0$.

Задание 12.8

Найдите точку максимума функции

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.

Найдём производную:

Найдём нули производной:

Уравнение не имеет решений, так как при всех из области определения (). Значит производная отрицательна при всех , функция убывает на всей области определения , и наибольшее значение достигается на левом конце, то есть в точке .

Ответ: 0

Ваш ответ:
Найдите точку максимума функции $y = 4 + 27x - x^{\frac{3}{2}}.$

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.[NEWLINE] $((x^n)') = nx^{n-1},\quad (CU)' = CU',\quad x' = 1,\quad C' = 0.$[NEWLINE] $y = 4 + 27x - x^{\frac{3}{2}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём производную: $y' = 27 - \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 27 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули производной: $27 - \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 0$[NEWLINE] $\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 27$[NEWLINE] $\sqrt{x} = 27 \cdot \dfrac{2}{3} = 18$[NEWLINE] $x = 324$[NEWLINE] У нас получается одна единственная точка в области определения ($x \geq 0$); при $x < 324$ производная положительна, при $x > 324$ отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Задание 12.9

Найдите точку максимума функции

Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и её нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону.

Найдём производную:

Найдём нули производной:

У нас получается одна единственная точка в области определения (); при отрицательна, то есть знак меняется с плюса на минус, значит она и будет точкой максимума.

Ответ: 324

Ваш ответ:
а) Решите уравнение: $\log_3(\sin 2x) = \log_3(\sqrt{3} \cos x)$. [NEWLINE] б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;\; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\log_a f = \log_a g \Leftrightarrow \begin{cases} f = g \\ f > 0,\ g > 0 \end{cases}$[NEWLINE] $\log_3(\sin 2x) = \log_3(\sqrt{3} \cos x)$[NEWLINE] $ \begin{cases} \sin 2x = \sqrt{3} \cos x \\ \sqrt{3} \cos x > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} \cos x \, (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] [NEWLINE] 1) $\cos x = 0$ — не подходит (нарушает ОДЗ) [NEWLINE] 2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$[NEWLINE] \[ x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\in Z \][NEWLINE] Проверим полученные корни на ОДЗ $\cos x > 0$: [NEWLINE] — $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $\cos x = \dfrac{1}{2} > 0$ — подходит [NEWLINE] — $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $\cos x=-\dfrac{1}{2} < 0$ — не подходит[NEWLINE] Значит ответ для пункта а: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [image:0:right]б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi;\; \dfrac{\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности:[IMAGENEWLINE] $x_1=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] [IMAGENEWLINE] а) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [IMAGENEWLINE] б) $\frac{\pi}{4}.$

Задание 13.1

а) Решите уравнение: .
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

1) — не подходит (нарушает ОДЗ)
2)

Проверим полученные корни на ОДЗ :
— : — подходит
— : — не подходит
Значит ответ для пункта а:
б) Отберём корни на отрезке с помощью тригонометрической окружности:

Ответ:
а)
б)

Ответ:
а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $[NEWLINE] $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = $$\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x)$[NEWLINE] $ \left(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^2 = $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\sin x - \cos x)^2 = $$\dfrac{1}{2}(\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) = $$\dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) $[NEWLINE] [NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2} - \sin x \cos x = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $[NEWLINE] $ \cos x (\cos x - \sin x) = 0 $[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos x = 0$[NEWLINE]$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$ \cos x - \sin x=0|:\cos x$[NEWLINE]$tgx=1$[NEWLINE]$ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$[IMAGENEWLINE] $5\pi = \dfrac{10\pi}{2}, \quad 6\pi = \dfrac{12\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_1 = \dfrac{11\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_2 = 5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $\dfrac{11\pi}{2}, \dfrac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]

Задание 13.2

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Тогда:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Ответ: а)
б)

Ответ:
а) Решите уравнение: $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x)$.[NEWLINE] б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-3\pi;\; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

$\log_a f=\log_a g \Leftrightarrow \begin{cases} f=g \\ f \gt 0 / g \gt 0 \end{cases}$[NEWLINE] $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x)$[NEWLINE] $ \begin{cases} \sin 2x = \sqrt{2} \cos x \\ \sqrt{2} \cos x > 0 \end{cases} $ [NEWLINE] $ \begin{cases} 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x=0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] $ \begin{cases} \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $[NEWLINE] 1) $\cos x = 0 $ — не подходит [NEWLINE] 2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ [NEWLINE] $ x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} $[NEWLINE] [NEWLINE] Проверим $\cos x > 0$: [NEWLINE] — $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0$ — подходит [NEWLINE] — $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} < 0$ — не подходит[NEWLINE] [NEWLINE] Итого: $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.[IMAGENEWLINE] $x_1 = -2\pi+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{4}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $-\dfrac{7\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]

Задание 13.3

а) Решите уравнение: .
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

1) — не подходит
2)

Проверим :
— : — подходит
— : — не подходит

Итого:
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: а)
б)

Ответ:
а) Решите уравнение $\sin^2 x + \cos^2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\; \dfrac{15\pi}{2}\right].$

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $[NEWLINE] $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = $$\cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$[NEWLINE] $ \left(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^2 = $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\cos x - \sin x)^2 = $$\dfrac{1}{2}(\cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x) = $$\dfrac{1}{2}(1 - 2\cos x \sin x) $[NEWLINE] [NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] $ \sin^2 x + \dfrac{1}{2}(1 - 2\cos x \sin x) = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \sin^2 x + \dfrac{1}{2} - \cos x \sin x = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \sin^2 x - \cos x \sin x = 0 $[NEWLINE] $ \sin x (\sin x - \cos x) = 0 $[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\sin x = 0$[NEWLINE]$x = \pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$ \sin x - \cos x=0|:\cos x$[NEWLINE]$tgx=1$[NEWLINE]$ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\; \dfrac{15\pi}{2}\right].$[IMAGENEWLINE] $x_1 = 7\pi$[IMAGENEWLINE] $x_2 = 7\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{29\pi}{4}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $7\pi, \frac{29\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]

Задание 13.4

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Тогда:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Ответ: а)
б)

Ответ:
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\, -\dfrac{\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=0$[NEWLINE] $ 2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2\cos x=0 $[NEWLINE] $\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos x$[NEWLINE] $ \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos x $[NEWLINE] $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{1}{2}\cos x$[NEWLINE] $ \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. $x_1$ получается движением от $-2\pi$ вперед на $\frac{\pi}{6},$ $x_2$ получается движением от $-\pi$ вперед на $\frac{\pi}{6}.$[IMAGENEWLINE] $x_1=-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$[IMAGENEWLINE] $x_2=-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}$.

Задание 13.5

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. получается движением от вперед на получается движением от вперед на

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\, -\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=0$[NEWLINE] $2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2\cos x=0$[NEWLINE] $\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos x$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos x$[NEWLINE] $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-2\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{11\pi}{6}$.

Задание 13.6

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\, 2\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$[NEWLINE] $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)=\sqrt{2}\cos x$[NEWLINE] $\cos x+\sin x=2\cos x$[NEWLINE] $\sin x=\cos x$[NEWLINE] $\tan x=1$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{5\pi}{4}$.

Задание 13.7

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};\, -3\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$[NEWLINE] $2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\sqrt{3}\cos x$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$[NEWLINE] $\tan x=\sqrt{3}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-4\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-4\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{11\pi}{3}$.

Задание 13.8

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $2\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $-2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $\cos x=-\frac{1}{2}$[NEWLINE] $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{2\pi}{3}$.

Задание 13.9

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\left[3\pi;\, \dfrac{9\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin x$[NEWLINE] $\cos x=\sin x$[NEWLINE] $\tan x=1$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. $x_1$ получается движением от $3\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$, $x_2$ получается движением от $4\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}$[IMAGENEWLINE] $x_2=4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{13\pi}{4};\ \dfrac{17\pi}{4}$.

Задание 13.10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни уравнения на отрезке .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sqrt{3}\sin x$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$[NEWLINE] $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $0$ вперёд на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{\pi}{6}$.

Задание 13.11

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\sin(\pi+x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2};\, -3\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\sin(\pi+x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin x$[NEWLINE] $\cos x=\sin x$[NEWLINE] $\tan x=1$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-4\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{15\pi}{4}$.

Задание 13.12

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin(\pi+x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\, \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin(\pi+x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin x=0$[NEWLINE] $\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sin x=0$[NEWLINE] $\sqrt{3}\cos x=0$[NEWLINE] $\cos x=0$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1, x_2$ получаются в точках пересечения окружности с координатной плоскостью.[IMAGENEWLINE] $x_1=\frac{3\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_2=\frac{5\pi}{2}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$; б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{2}$.

Задание 13.13

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получаются в точках пересечения окружности с координатной плоскостью.

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos(\pi-x)=1$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{17\pi}{2};\, 10\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos(\pi-x)=1$[NEWLINE] $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}\cos x=1$[NEWLINE] $\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1$[NEWLINE] $\sqrt{2}\sin x=1$[NEWLINE] $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, \\& x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Подходит только корень, получаемый движением от $9\pi$ назад на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=9\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{35\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$; б) $\dfrac{35\pi}{4}$.

Задание 13.14

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Подходит только корень, получаемый движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)+2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi;\, -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)+2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$[NEWLINE] $\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $\cos x+\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-5\pi$ назад на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-5\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{31\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k$; б) $-\dfrac{31\pi}{6}$.

Задание 13.15

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\, 8\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2\sin x=0|:2$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin x$[NEWLINE] $-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\sin x$[NEWLINE] $\tan x=-\sqrt{3}$[NEWLINE] $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $7\pi$ назад на $\frac{\pi}{3}$, $x_2$ получается движением от $8\pi$ назад на $\frac{\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=7\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{20\pi}{3}$[IMAGENEWLINE] $x_2=8\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{23\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$; б) $\dfrac{20\pi}{3};\ \dfrac{23\pi}{3}$.

Задание 13.16

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от назад на , получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi;\, -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$[NEWLINE] $\sqrt{3}\sin x-\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $-\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-5\pi$ назад на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-5\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{31\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k$; б) $-\dfrac{31\pi}{6}$.

Задание 13.17

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\, -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=0$[NEWLINE] $\sin x-\cos x-2\sin x=0$[NEWLINE] $-\cos x=\sin x$[NEWLINE] $\tan x=-1$[NEWLINE] $x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-3\pi$ назад на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-3\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{13\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k$; б) $-\dfrac{13\pi}{4}$.

Задание 13.18

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+2\sqrt{3}\cos(\pi+x)=1$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\, 6\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+2\sqrt{3}\cos(\pi+x)=1$[NEWLINE] $4\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos x=1$[NEWLINE] $2\sqrt{3}\cos x-2\sin x-2\sqrt{3}\cos x=1$[NEWLINE] $-2\sin x=1$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{1}{2}$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k, \\& x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $6\pi$ назад на $\frac{\pi}{6}$, $x_2$ получается движением от $5\pi$ вперед на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=6\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{35\pi}{6}$[IMAGENEWLINE] $x_2=5\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{31\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$; б) $\dfrac{31\pi}{6};\ \dfrac{35\pi}{6}$.

Задание 13.19

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от назад на , получается движением от вперед на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\cos(\pi-x)=3$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\, 8\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\cos(\pi-x)=3$[NEWLINE] $4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2\cos x=3$[NEWLINE] $2\cos x-2\sqrt{3}\sin x-2\cos x=3$[NEWLINE] $-2\sqrt{3}\sin x=3$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$[NEWLINE] $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$ или $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $7\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$, $x_2$ получается движением от $7\pi$ вперёд на $\frac{2\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=7\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{22\pi}{3}$[IMAGENEWLINE] $x_2=7\pi+\frac{2\pi}{3}=\frac{23\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$; б) $\dfrac{22\pi}{3};\ \dfrac{23\pi}{3}$.

Задание 13.20

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

или
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{17\pi}{2};\, 10\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$[NEWLINE] $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=2$[NEWLINE] $2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2$[NEWLINE] $-2\sqrt{2}\sin x=2$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \\& x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $9\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$, $x_2$ получается движением от $9\pi$ вперёд на $\frac{3\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=9\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{37\pi}{4}$[IMAGENEWLINE] $x_2=9\pi+\frac{3\pi}{4}=\frac{39\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$; б) $\dfrac{37\pi}{4};\ \dfrac{39\pi}{4}$.

Задание 13.21

а) Решите уравнение .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin(\pi+x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\, \dfrac{13\pi}{2}\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin(\pi+x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2\sin x=0$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin x$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\sin x$[NEWLINE] $\tan x=\sqrt{3}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] $x_1$ получается движением от $5\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$, $x_2$ получается движением от $6\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=5\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{16\pi}{3}$[IMAGENEWLINE] $x_2=6\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{19\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$; б) $\dfrac{16\pi}{3};\ \dfrac{19\pi}{3}$.

Задание 13.22

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
а) Решите уравнение $4\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$.[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{17\pi}{2};\, 10\pi\right]$.

[BOLD]а)[/BOLD] $4\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$[NEWLINE] $4\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2\cos x=\sqrt{3}$[NEWLINE] $2\cos x+2\sqrt{3}\sin x-2\cos x=\sqrt{3}$[NEWLINE] $2\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$[NEWLINE] $\sin x=\frac{1}{2}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Серия $\frac{\pi}{6}+2\pi k$ в отрезок не попадает; подходит корень, получаемый движением (поворотом) от $9\pi$ назад на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=9\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{53\pi}{6}$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{53\pi}{6}$.

Задание 13.23

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а)

или
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Серия в отрезок не попадает; подходит корень, получаемый движением (поворотом) от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ:
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M – середина SD, точка K – середина SA.[NEWLINE] а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.[NEWLINE] б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 6.

[image:0:right]а) $AB=CD, SA=SD \Rightarrow AK=DM$ (т.к. $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида).[IMAGENEWLINE] Также, $\angle KAB=\angle MCD.$ Из этого следует, что $\triangle AKB=\triangle MCD.$ Тогда $BK=MC.$ Заметим, что $K$ и $M$ равноудалены от основания.[IMAGENEWLINE] Рассмотрим $\triangle SAD:$[IMAGENEWLINE] $AD$ — диагональ правильного шестиугольника такая, что $\frac{1}{2}AD=BC$ (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).[IMAGENEWLINE] $KM=\frac{1}{2}AD$ как средняя линия по определению. Следовательно, $KM=BC\Rightarrow BCMK$ — параллелограмм. Значит, $BK$ и $CM$ принадлежат одной плоскости, чтд.[IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) $\angle GHO = 60^\circ$ (по условию). Проведём $SO,$ достроив до $\triangle GHO$ и $\triangle SHO$ — прямоугольных треугольников, где необходимо найти $SO$ — катет прямоугольного треугольника. Из п. а следует, что $\triangle BCO$ — равносторонний, тогда $OH=\frac{BC\sqrt3}{2}$, а также из этого пункта следует, что $KM$ — средняя линия, значит $SO=\frac{1}{2}GO.$[IMAGENEWLINE] $OH=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\Rightarrow $ $tg60^\circ=\frac{GO}{OH}\Rightarrow GO=9 \Rightarrow SO = 18.$

Задание 14.1

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M – середина SD, точка K – середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 6.

а) (т.к. — правильная шестиугольная пирамида).
Также, Из этого следует, что Тогда Заметим, что и равноудалены от основания.
Рассмотрим
— диагональ правильного шестиугольника такая, что (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).
как средняя линия по определению. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и принадлежат одной плоскости, чтд.
б) (по условию). Проведём достроив до и — прямоугольных треугольников, где необходимо найти — катет прямоугольного треугольника. Из п. а следует, что — равносторонний, тогда , а также из этого пункта следует, что — средняя линия, значит

Ответ:
Решите неравенство $\log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \leqslant \log_{x+1} x.$

Здесь основания логарифмов одинаковы, поэтому знак неравенства между аргументами зависит от того, больше основание единицы или меньше. Сначала находим ОДЗ, затем на ней определяем поведение основания и убираем логарифмы.[NEWLINE] Свойства и факты: при $a > 1$ функция $\log_a t$ возрастает и знак сохраняется; дискриминант $D = b^2 - 4ac$ показывает знак квадратного трёхчлена.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]ОДЗ:[/BOLD] $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1\neq 1 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$ $\begin{cases} x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$[NEWLINE] Из $x > 0$ автоматически $x + 1 > 1$, так что условие $x + 1 \neq 1$ выполнено.[NEWLINE] Проверяем $x^2 - 5x + 7$: $D = 25 - 28 = -3 < 0$, старший коэффициент положителен, значит трёхчлен положительнен при всех $x$.[NEWLINE] [BOLD]Итого ОДЗ:[/BOLD] $x > 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] На всей ОДЗ основание $x + 1 > 1$, логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:[NEWLINE] $\log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \leqslant \log_{x+1} x.$[NEWLINE] $x^2 - 5x + 7 \leqslant x $.[NEWLINE] $x^2 - 6x + 7 \leqslant 0$[NEWLINE] Корни квадратного уравнения: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.[NEWLINE] Решение квадратного неравенства (графиком является парабола, ветви вверх): $x \in [3 - \sqrt{2};\, 3 + \sqrt{2}]$.[NEWLINE] Поскольку $3 - \sqrt{2} > 0$, весь этот отрезок лежит в ОДЗ $x > 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $[3 - \sqrt{2};\, 3 + \sqrt{2}].$

Задание 15.1

Решите неравенство

Здесь основания логарифмов одинаковы, поэтому знак неравенства между аргументами зависит от того, больше основание единицы или меньше. Сначала находим ОДЗ, затем на ней определяем поведение основания и убираем логарифмы.

Свойства и факты: при функция возрастает и знак сохраняется; дискриминант показывает знак квадратного трёхчлена.

ОДЗ:

Из автоматически , так что условие выполнено.

Проверяем : .

На всей ОДЗ основание , логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

.

Корни квадратного уравнения: .

Решение квадратного неравенства (графиком является парабола, ветви вверх): .

Поскольку , весь этот отрезок лежит в ОДЗ .

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{9}{\log_3 x} - \log_3\left(\dfrac{9}{x}\right) \leqslant \dfrac{34}{\log_3 x^2}.$

[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\begin{cases} x \gt 0 \\ \log_{3} x \neq 0 \\ \log_{3} x^2 \neq 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \gt 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$[NEWLINE] $x \in (0;1) \cup (1;+\infty).$[NEWLINE] [NEWLINE] $\dfrac{9}{\log_3 x} - \log_3\left(\dfrac{9}{x}\right) \leqslant \dfrac{34}{\log_3 x^2}.$[NEWLINE] $\frac{9}{\log_3 x} - (2 - \log_3 x) \leqslant \frac{34}{2\log_3 x}$[NEWLINE] $\frac{9}{\log_3 x} - 2 + \log_3 x \leqslant \frac{17}{\log_3 x}$[NEWLINE] $\frac{\log_3^2 x - 2\log_3 x - 8}{\log_3 x} \leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов: [TWO-COLUMNS]$\log_3^2 x - 2\log_3 x - 8 = 0$[NEWLINE]$(\log_3 x - 4)(\log_3 x + 2) = 0$[NEWLINE]$\log_3 x = 4$[NEWLINE]$x = 81$[NEWLINE]$\log_3 x = -2$[NEWLINE]$x = \frac{1}{9}$[COLUMN-BREAK]$\log_3 x \neq 0$[NEWLINE]$x \neq 1$[/TWO-COLUMNS] $\frac{(x-81)(x-\frac{1}{9})}{x-1}\leqslant0$[NEWLINE] $x \in \left(0;\, \dfrac{1}{9}\right] \cup (1;\, 81]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\left(0;\, \dfrac{1}{9}\right] \cup (1;\, 81].$

Задание 15.2

Решите неравенство

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\log_{49}(x + 4) + \log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} \leqslant -\dfrac{3}{4}.$

[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\begin{cases} x + 4 \gt 0 \\ x^2 + 8x + 16 \gt 0 \text{(верно)} \\ x^2 + 8x + 16 \neq 1 \end{cases}$$\begin{cases} x \gt -4 \\ x \neq -3 \end{cases}$[NEWLINE] $x \in (-4;-3) \cup (-3;+\infty).$[NEWLINE] [NEWLINE] $\log_{49}(x + 4) + \log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} \leqslant -\dfrac{3}{4}.$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\log_7(x+4) + \frac{1}{4\log_7(x+4)} \leqslant -\frac{3}{4}$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\log_7(x+4) + \frac{1}{4\log_7(x+4)} + \frac{3}{4} \leqslant 0$[NEWLINE] $\frac{2\log_7^2(x+4) + 3\log_7(x+4) + 1}{\log_7(x+4)} \leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов: [TWO-COLUMNS]$2\log_7^2(x+4) + 3\log_7(x+4) + 1 = 0$[NEWLINE]$(2\log_7(x+4) + 1)(\log_7(x+4) + 1) = 0$[NEWLINE]$\log_7(x+4) = -\frac{1}{2}$[NEWLINE]$x = \frac{\sqrt{7}}{7} - 4$[NEWLINE]$\log_7(x+4) = -1$[NEWLINE]$x = -\frac{27}{7}$[COLUMN-BREAK]$\log_7(x+4) \neq 0$[NEWLINE]$x \neq -3$[/TWO-COLUMNS] $\frac{(x-(\frac{\sqrt{7}}{7}-4))(x+\frac{27}{7})}{x+3}\leqslant0$[NEWLINE] $x \in \left(-4;\, -\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{7}}{7}-4;\, -3\right)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\left(-4;\, -\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{7}}{7}-4;\, -3\right).$

Задание 15.3

Решите неравенство

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство: $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $

Запишем ОДЗ неравенства[NEWLINE] $$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ \frac{4}{x} > 0 \\ x \neq 0 \\ \log_2 x^2 \neq 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$[NEWLINE] [NEWLINE] Итоговая ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $[NEWLINE] Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:[NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - (\log_2 4 - \log_2 x) \leqslant \frac{38}{2 \log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - 2 + \log_2 x \leqslant \frac{19}{\log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] Пусть $\log_2 x = t$:[NEWLINE] $ \frac{4}{t} - 2 + t \leqslant \frac{19}{t} $[NEWLINE] $ \frac{4 - 2t + t^2 - 19}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t^2 - 2t - 15}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{(t+3)(t-5)}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] [NEWLINE] Сделаем обратную замену:[NEWLINE] $\frac{(\log_{2}x+3)(\log_{2}x-5)}{\log_{2}x} \leqslant 0$[NEWLINE] Введём функцию и найдём её нули:[NEWLINE] $\log_{2}x+3=0$[NEWLINE] $x=\frac{1}{8}$[NEWLINE] $\log_{2}x-5=0$[NEWLINE] $x=32$[NEWLINE] $\log_{2}x=0$[NEWLINE] $x=1$[NEWLINE] [NEWLINE] Собираем неравенство заново:[NEWLINE] $\frac{(x-\frac{1}{8})(x-5)}{x-1} \leqslant 0$[NEWLINE] [image:0:right]Решим полученное неравенство методом интервалов[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$

Задание 15.4

Решите неравенство:

Запишем ОДЗ неравенства

Итоговая ОДЗ: .

Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:

Пусть :

Сделаем обратную замену:

Введём функцию и найдём её нули:

Собираем неравенство заново:
Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $(\log_{36} x + 1)\cdot\left(\dfrac{1}{\log_{36} x} + 1\right) \leqslant \log_{36} x.$

[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\begin{cases} x \gt 0 \\ \log_{36} x \neq 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \gt 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$[NEWLINE] $x \in (0;1) \cup (1;+\infty).$[NEWLINE] [NEWLINE] $(\log_{36} x + 1)\cdot\left(\dfrac{1}{\log_{36} x} + 1\right) \leqslant \log_{36} x.$[NEWLINE] $1+\log_{36} x+\frac{1}{\log_{36} x}+1\leqslant \log_{36} x$[NEWLINE] $\frac{1}{\log_{36} x}+2\leqslant 0$[NEWLINE] $\frac{2\log_{36} x+1}{\log_{36} x}\leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов: [TWO-COLUMNS]$2\log_{36} x+1=0$[NEWLINE]$\log_{36} x=-\frac{1}{2}$[NEWLINE]$x=36^{-\frac{1}{2}}$[NEWLINE]$x=\frac{1}{6}$[COLUMN-BREAK]$\log_{36} x\neq0$[NEWLINE]$x\neq1$[/TWO-COLUMNS] $\frac{x-\frac{1}{6}}{x-1}\leqslant0$[NEWLINE] $x \in \left[\dfrac{1}{6};\, 1\right)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\left[\dfrac{1}{6};\, 1\right).$

Задание 15.5

Решите неравенство

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $3^{\log_{3}(4+x^2)}+x^4-10 \geqslant 0.$

$3^{\log_{3}(4+x^2)}+x^4-10 \geqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $4 + x^2 \gt 0 \rightarrow x \in \mathbb{R} $[NEWLINE] [NEWLINE] $3^{\log_3(4+x^2)} + x^4 - 10 \geqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(4+x^2)} = 4 + x^2$:[NEWLINE] $(4 + x^2) + x^4 - 10 \geqslant 0$[NEWLINE] $x^4 + x^2 - 6 \geqslant 0$[NEWLINE] $(x^2 + 3)(x^2 - 2) \geqslant 0$[NEWLINE] Так как $x^2 + 3 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $x^2 - 2 \geqslant 0$, то есть $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \geqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in (-\infty;\, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-\infty;\, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};\, +\infty).$

Задание 15.6

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29 \geqslant 0.$

$5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29 \geqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $9 - x^2 \gt 0 \rightarrow $$x^2 \lt 9 \rightarrow $$x \in (-3;\, 3)$[NEWLINE] [NEWLINE] $5^{\log_5(9-x^2)} + x^4 - 29 \geqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5(9-x^2)} = 9 - x^2$:[NEWLINE] $(9 - x^2) + x^4 - 29 \geqslant 0$[NEWLINE] $x^4 - x^2 - 20 \geqslant 0$[NEWLINE] $(x^2 + 4)(x^2 - 5) \geqslant 0$[NEWLINE] Так как $x^2 + 4 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $x^2 - 5 \geqslant 0$, то есть $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \geqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Границы ОДЗ $x = 3$ и $x = -3$ выкалываются.[NEWLINE] $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \geqslant 0$ при $x \in (-3;\, 3)$[NEWLINE] $x \in (-3;\, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5};\, 3)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-3;\, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5};\, 3).$

Задание 15.7

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $2^{\log_{2}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$

$2^{\log_{2}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $x^2 - 1 \gt 0 \rightarrow $$x^2 \gt 1 \rightarrow $$x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] $2^{\log_2(x^2-1)} + x^4 - 5 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(x^2-1)} = x^2 - 1$:[NEWLINE] $(x^2 - 1) + x^4 - 5 \leqslant 0$[NEWLINE] $x^4 + x^2 - 6 \leqslant 0$[NEWLINE] $(x^2 + 3)(x^2 - 2) \leqslant 0$[NEWLINE] Так как $x^2 + 3 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $x^2 - 2 \leqslant 0$, то есть $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Границы ОДЗ $x = 1$ и $x = -1$ выкалываются.[NEWLINE] $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$ при $x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE] $x \in [-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $[-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}].$

Задание 15.8

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $3^{\log_{3}(25-5^x)}+25^x-45 \geqslant 0.$

$3^{\log_{3}(25-5^x)}+25^x-45 \geqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $25 - 5^x \gt 0 \rightarrow $$5^x \lt 25 \rightarrow $$x \lt 2$[NEWLINE] [NEWLINE] $3^{\log_3(25-5^x)} + 25^x - 45 \geqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(25-5^x)} = 25 - 5^x$:[NEWLINE] $(25 - 5^x) + 25^x - 45 \geqslant 0$[NEWLINE] $25^x - 5^x - 20 \geqslant 0$[NEWLINE] Замечаем, что $25^x = (5^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $5^x$:[NEWLINE] $(5^x + 4)(5^x - 5) \geqslant 0$[NEWLINE] Так как $5^x + 4 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $5^x - 5 \geqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $5^x - 5 = 0$[NEWLINE] $5^x = 5$[NEWLINE] $x = 1$[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 2$ выкалывается.[NEWLINE] $x-1 \geqslant 0$ при $x \lt 2$[NEWLINE] $x \in [1;\, 2)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $[1;\, 2).$

Задание 15.9

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $3^{\log_{3}(2^x-2)}+4^x-18 \leqslant 0.$

$3^{\log_{3}(2^x-2)}+4^x-18 \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $2^x - 2 \gt 0 \rightarrow $$2^x \gt 2 \rightarrow $$x \gt 1$[NEWLINE] [NEWLINE] $3^{\log_3(2^x-2)} + 4^x - 18 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(2^x-2)} = 2^x - 2$:[NEWLINE] $(2^x - 2) + 4^x - 18 \leqslant 0$[NEWLINE] $4^x + 2^x - 20 \leqslant 0$[NEWLINE] Замечаем, что $4^x = (2^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $2^x$:[NEWLINE] $(2^x + 5)(2^x - 4) \leqslant 0$[NEWLINE] Так как $2^x + 5 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $2^x - 4 \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $2^x - 4 = 0$[NEWLINE] $2^x = 4$[NEWLINE] $x = 2$[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE] $x-2 \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE] $x \in (1;\, 2]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 2].$

Задание 15.10

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $5^{\log_{5}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$

$5^{\log_{5}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $x^2 - 1 \gt 0 \rightarrow $$x^2 \gt 1 \rightarrow $$x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] $5^{\log_5(x^2-1)} + x^4 - 5 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5(x^2-1)} = x^2 - 1$:[NEWLINE] $(x^2 - 1) + x^4 - 5 \leqslant 0$[NEWLINE] $x^4 + x^2 - 6 \leqslant 0$[NEWLINE] $(x^2 + 3)(x^2 - 2) \leqslant 0$[NEWLINE] Так как $x^2 + 3 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $x^2 - 2 \leqslant 0$, то есть $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Границы ОДЗ $x = 1$ и $x = -1$ выкалываются.[NEWLINE] $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$ при $x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE] $x \in [-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $[-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}].$

Задание 15.11

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $2^{\log_{2}(3^x-1)}+9^x-11 \leqslant 0.$

$2^{\log_{2}(3^x-1)}+9^x-11 \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $3^x - 1 \gt 0 \rightarrow $$3^x \gt 1 \rightarrow $$x \gt 0$[NEWLINE] [NEWLINE] $2^{\log_2(3^x-1)} + 9^x - 11 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(3^x-1)} = 3^x - 1$:[NEWLINE] $(3^x - 1) + 9^x - 11 \leqslant 0$[NEWLINE] $9^x + 3^x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Замечаем, что $9^x = (3^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $3^x$:[NEWLINE] $(3^x + 4)(3^x - 3) \leqslant 0$[NEWLINE] Так как $3^x + 4 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $3^x - 3 \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $3^x - 3 = 0$[NEWLINE] $3^x = 3$[NEWLINE] $x = 1$[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 0$ выкалывается.[NEWLINE] $x-1 \leqslant 0$ при $x \gt 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, 1]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0;\, 1].$

Задание 15.12

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $2^{\log_{2}(9^x-1)}-3^x-11 \leqslant 0.$

$2^{\log_{2}(9^x-1)}-3^x-11 \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $9^x - 1 \gt 0 \rightarrow $$9^x \gt 1 \rightarrow $$x \gt 0$[NEWLINE] [NEWLINE] $2^{\log_2(9^x-1)} - 3^x - 11 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(9^x-1)} = 9^x - 1$:[NEWLINE] $(9^x - 1) - 3^x - 11 \leqslant 0$[NEWLINE] $9^x - 3^x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Замечаем, что $9^x = (3^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $3^x$:[NEWLINE] $(3^x + 3)(3^x - 4) \leqslant 0$[NEWLINE] Так как $3^x + 3 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $3^x - 4 \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $3^x - 4 = 0$[NEWLINE] $3^x = 4$[NEWLINE] $x = \log_3 4$[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 0$ выкалывается.[NEWLINE] $x - \log_3 4 \leqslant 0$ при $x \gt 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, \log_3 4]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0;\, \log_3 4].$

Задание 15.13

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2-2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0.$

$\dfrac{x^2-2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $9 \cdot 3^x \gt 0 \rightarrow $$x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] $\log_2(9 \cdot 3^x) \neq 0 \rightarrow 9 \cdot 3^x \neq 1 \rightarrow 3^x \neq \dfrac{1}{9} \rightarrow x \neq -2$[NEWLINE] $x \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] Упростим знаменатель: $\log_2(9 \cdot 3^x) = \log_2 9 + \log_2 3^x = 2\log_2 3 + x\log_2 3 = (x + 2)\log_2 3$.[NEWLINE] Так как $\log_2 3 \gt 0$ — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком $(x + 2)$, и неравенство равносильно:[NEWLINE] $\dfrac{x^2 - 2x}{x + 2} \leqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{x(x - 2)}{x + 2} \leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] $x \in (-\infty;\, -2) \cup [0;\, 2]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-\infty;\, -2) \cup [0;\, 2].$

Задание 15.14

Решите неравенство

ОДЗ:

Упростим знаменатель: .

Так как — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком , и неравенство равносильно:

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2+2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0.$

$\dfrac{x^2+2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0.$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $9 \cdot 3^x \gt 0 \rightarrow x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] $\log_2(9 \cdot 3^x) \neq 0 \rightarrow $$9 \cdot 3^x \neq 1 \rightarrow $$3^x \neq \dfrac{1}{9} \rightarrow x \neq -2$[NEWLINE] $x \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] Упростим знаменатель: $\log_2(9 \cdot 3^x) = \log_2 9 + \log_2 3^x = 2\log_2 3 + x\log_2 3 = (x + 2)\log_2 3$.[NEWLINE] Так как $\log_2 3 \gt 0$ — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком $(x + 2)$, и неравенство равносильно:[NEWLINE] $\dfrac{x^2 + 2x}{x + 2} \leqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{x(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] $x \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, 0]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-\infty;\, -2) \cup (-2;\, 0].$

Задание 15.15

Решите неравенство

ОДЗ:

Упростим знаменатель: .

Так как — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком , и неравенство равносильно:

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\frac{x^2-2x}{\log_{2}(9\cdot3^{x})} \leqslant 0.$

$\frac{x^2-2x}{\log_{2}(9\cdot3^{x})} \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $9\cdot3^x \gt 0$[NEWLINE] $3^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$x^2-2x=0$[NEWLINE]$x(x-2)=0$[NEWLINE]$x=0$ или $x=2$[COLUMN-BREAK]$\log_{2}(9\cdot3^{x})=0$[NEWLINE]$9\cdot3^x=1$[NEWLINE]$3^x=\frac{1}{9}$[NEWLINE]$x=-2$[/TWO-COLUMNS] $\frac{x^2-2x}{\log_{2}(9\cdot3^{x})} \leqslant 0$[NEWLINE] $\frac{x(x-2)}{x+2} \leqslant 0$[NEWLINE] $x \in (-\infty;-2) \cup [0;2].$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (-\infty;-2) \cup [0;2].$

Задание 15.16

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0.$

$5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\log_5 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] $5^{\log_5(\log_5 x)} + \log_{0.2}^2 x - 12 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5(\log_5 x)} = \log_5 x$.[NEWLINE] Преобразуем второе слагаемое: так как $0.2 = 5^{-1}$, то $\log_{0.2} x = -\log_5 x$, а в квадрате $\log_{0.2}^2 x = \log_5^2 x$.[NEWLINE] $\log_5 x + \log_5^2 x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Раскладываем квадратный трёхчлен относительно $\log_5 x$ (глобально, можем заменить переменную $\log_5 x$ и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):[NEWLINE] $(\log_5 x - 3)(\log_5 x + 4) \leqslant 0$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $\log_5 x - 3 = 0$[NEWLINE] $\log_5 x = 3$[NEWLINE] $x = 125$[NEWLINE] $\log_5 x + 4 = 0$[NEWLINE] $\log_5 x = -4$[NEWLINE] $x = \dfrac{1}{625}$[NEWLINE] Так как основание $5 \gt 1$, знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по $x$: $\log_5 x - 3 = \log_5 x - \log_5 125$ даёт знак $(x - 125)$, а $\log_5 x + 4 = \log_5 x - \log_5 \dfrac{1}{625}$ даёт знак $\left(x - \dfrac{1}{625}\right)$. Значит неравенство равносильно $(x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE] $(x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE] $x \in (1;\, 125]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 125].$[NEWLINE]

Задание 15.17

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству .

Преобразуем второе слагаемое: так как , то , а в квадрате .

Раскладываем квадратный трёхчлен относительно (глобально, можем заменить переменную и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Так как основание , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по : даёт знак , а даёт знак . Значит неравенство равносильно .

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0.$

$2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\log_2 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] $2^{\log_2(\log_2 x)} + \log_4^2 x - 3 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(\log_2 x)} = \log_2 x$.[NEWLINE] Преобразуем второе слагаемое: так как $4 = 2^2$, то $\log_4 x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$, а в квадрате $\log_4^2 x = \dfrac{1}{4}\log_2^2 x$.[NEWLINE] $\log_2 x + \dfrac{1}{4}\log_2^2 x - 3 \leqslant 0$[NEWLINE] $\log_2^2 x + 4\log_2 x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Раскладываем квадратный трёхчлен относительно $\log_2 x$ (глобально, можем заменить переменную $\log_2 x$ и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):[NEWLINE] $(\log_2 x - 2)(\log_2 x + 6) \leqslant 0$[NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $\log_2 x - 2 = 0$[NEWLINE] $\log_2 x = 2$[NEWLINE] $x = 4$[NEWLINE] $\log_2 x + 6 = 0$[NEWLINE] $\log_2 x = -6$[NEWLINE] $x = \dfrac{1}{64}$[NEWLINE] Так как основание $2 \gt 1$, знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по $x$: $\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4$ даёт знак $(x - 4)$, а $\log_2 x + 6 = \log_2 x - \log_2 \dfrac{1}{64}$ даёт знак $\left(x - \dfrac{1}{64}\right)$. Значит неравенство равносильно $(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE] $(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE] $x \in (1;\, 4]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 4].$

Задание 15.18

Решите неравенство

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству .

Преобразуем второе слагаемое: так как , то , а в квадрате .

Раскладываем квадратный трёхчлен относительно (глобально, можем заменить переменную и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Так как основание , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по : даёт знак , а даёт знак . Значит неравенство равносильно .

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2+2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0.$

$\dfrac{x^2+2x}{\log_{2}(9\cdot 3^x)} \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $9\cdot3^x \gt 0$[NEWLINE] $3^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$x^2+2x=0$[NEWLINE]$x(x+2)=0$[NEWLINE]$x=0$ или $x=-2$[COLUMN-BREAK]$\log_{2}(9\cdot3^{x})=0$[NEWLINE]$9\cdot3^x=1$[NEWLINE]$3^x=\frac{1}{9}$[NEWLINE]$x=-2$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{x^2+2x}{\log_{2}(9\cdot3^{x})} \leqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{x(x+2)}{x+2} \leqslant 0$[NEWLINE] $x \in (-\infty;-2) \cup (-2;0]$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=-2!)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (-\infty;-2) \cup (-2;0].$[NEWLINE]

Задание 15.19

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{9^x-4\cdot 3^x+3}{\log_{5}(2^x)} \leqslant 0.$

$\dfrac{9^x-4\cdot 3^x+3}{\log_{5}(2^x)} \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$9^x-4\cdot3^x+3=0$[NEWLINE]$(3^x-1)(3^x-3)=0$[NEWLINE]$3^x=1$ или $3^x=3$[NEWLINE]$x=0$ или $x=1$[COLUMN-BREAK]$\log_{5}(2^{x})=0$[NEWLINE]$2^x=1$[NEWLINE]$x=0$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{9^x-4\cdot3^x+3}{\log_{5}(2^x)} \leqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{x(x-1)}{x} \leqslant 0$[NEWLINE] $x \in (-\infty;0) \cup (0;1]$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=0!)$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (-\infty;0) \cup (0;1].$

Задание 15.20

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или
или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2+3x-4}{\log_{3}(8\cdot 2^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{x^2+3x-4}{\log_{3}(8\cdot 2^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $8\cdot2^x \gt 0$[NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$x^2+3x-4=0$[NEWLINE]$(x+4)(x-1)=0$[NEWLINE]$x=-4$ или $x=1$[COLUMN-BREAK]$\log_{3}(8\cdot2^{x})=0$[NEWLINE]$8\cdot2^x=1$[NEWLINE]$2^x=\frac{1}{8}$[NEWLINE]$x=-3$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{x^2+3x-4}{\log_{3}(8\cdot2^{x})} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x+4)(x-1)}{x+3} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in [-4;-3) \cup [1;+\infty).$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in [-4;-3) \cup [1;+\infty).$

Задание 15.21

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2+2x-3}{\log_{3}(8\cdot 2^x)} \leqslant 0.$

$\dfrac{x^2+2x-3}{\log_{3}(8\cdot 2^x)} \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $8\cdot2^x \gt 0$[NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$x^2+2x-3=0$[NEWLINE]$(x+3)(x-1)=0$[NEWLINE]$x=-3$ или $x=1$[COLUMN-BREAK]$\log_{3}(8\cdot2^{x})=0$[NEWLINE]$8\cdot2^x=1$[NEWLINE]$2^x=\frac{1}{8}$[NEWLINE]$x=-3$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{x^2+2x-3}{\log_{3}(8\cdot2^{x})} \leqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x+3)(x-1)}{x+3} \leqslant 0$[NEWLINE] $x \in (-\infty;-3) \cup (-3;1]$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=-3!$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (-\infty;-3) \cup (-3;1].$

Задание 15.22

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{x^2+4x-5}{\log_{3}(0.2\cdot 5^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{x^2+4x-5}{\log_{3}(0.2\cdot 5^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $0.2\cdot5^x \gt 0$[NEWLINE] $5^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$x^2+4x-5=0$[NEWLINE]$(x+5)(x-1)=0$[NEWLINE]$x=-5$ или $x=1$[COLUMN-BREAK]$\log_{3}(0.2\cdot5^{x})=0$[NEWLINE]$0.2\cdot5^x=1$[NEWLINE]$5^x=5$[NEWLINE]$x=1$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{x^2+4x-5}{\log_{3}(0.2\cdot5^{x})} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x+5)(x-1)}{x-1} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in [-5;1) \cup (1;+\infty)$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=-3!$)[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in [-5;1) \cup (1;+\infty).$

Задание 15.23

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{4^x-3\cdot 2^x+2}{\log_{3}(0.5\cdot 2^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{4^x-3\cdot 2^x+2}{\log_{3}(0.5\cdot 2^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $0.5\cdot2^x \gt 0$[NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$4^x-3\cdot2^x+2=0$[NEWLINE]$(2^x-1)(2^x-2)=0$ (Заменил переменную и решил относительно неё)[NEWLINE]$2^x=1$ или $2^x=2$[NEWLINE]$x=0$ или $x=1$[COLUMN-BREAK]$\log_{3}(0.5\cdot2^{x})=0$[NEWLINE]$0.5\cdot2^x=1$[NEWLINE]$2^x=2$[NEWLINE]$x=1$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{4^x-3\cdot2^x+2}{\log_{3}(0.5\cdot2^{x})} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{x(x-1)}{x-1} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in [0;1) \cup (1;+\infty)$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=1!$)[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in [0;1) \cup (1;+\infty).$

Задание 15.24

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

(Заменил переменную и решил относительно неё)
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{\log_{2}^{2} x - \log_{2} x}{\log_{0,2}(0,5\cdot 2^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{\log_{2}^{2} x - \log_{2} x}{\log_{0,2}(0,5\cdot 2^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $0,5\cdot2^x \gt 0$[NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $\log_2 x$ определён при $x \gt 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\log_{2}^{2} x - \log_{2} x = 0$[NEWLINE]Пусть $t = \log_2 x$:[NEWLINE]$t^2 - t = 0$[NEWLINE]$t(t - 1) = 0$[NEWLINE]$t = 0$ или $t = 1$[NEWLINE]$\log_2 x = 0$ или $\log_2 x = 1$[NEWLINE]$x = 1$ или $x = 2$[COLUMN-BREAK]$\log_{0,2}(0,5\cdot2^{x}) = 0$[NEWLINE]$0,5\cdot2^x = 1$[NEWLINE]$2^x = 2$[NEWLINE]$x = 1$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{\log_{2}^{2} x - \log_{2} x}{\log_{0,2}(0,5\cdot 2^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x - 1)(x - 2)}{1 - x} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, 1) \cup (1;\, 2]$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=1!$)[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (0;\, 1) \cup (1;\, 2].$

Задание 15.25

Решите неравенство

ОГР:

— верно

определён при

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{25^x-30\cdot 5^x+125}{\log_{7}(0.25\cdot 2^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{25^x-30\cdot 5^x+125}{\log_{7}(0.25\cdot 2^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $0.25\cdot2^x \gt 0$[NEWLINE] $2^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $x \in \mathbb{R}$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$25^x-30\cdot5^x+125=0$[NEWLINE]Пусть $t=5^x>0$:[NEWLINE]$t^2-30t+125=0$[NEWLINE]$(t-5)(t-25)=0$[NEWLINE]$t=5$ или $t=25$[NEWLINE]$5^x=5$ или $5^x=25$[NEWLINE]$x=1$ или $x=2$[COLUMN-BREAK]$\log_{7}(0.25\cdot2^{x})=0$[NEWLINE]$0.25\cdot2^x=1$[NEWLINE]$2^x=4$[NEWLINE]$x=2$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{25^x-30\cdot5^x+125}{\log_{7}(0.25\cdot2^{x})} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in [1;2) \cup (2;+\infty)$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=2!$)[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in [1;2) \cup (2;+\infty).$

Задание 15.26

Решите неравенство

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ:
Решите неравенство $\dfrac{\log_{2}^{2} x - 3\log_{2} x + 2}{\log_{0,25}(0,04\cdot 5^x)} \geqslant 0.$

$\dfrac{\log_{2}^{2} x - 3\log_{2} x + 2}{\log_{0,25}(0,04\cdot 5^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОГР:[/BOLD][NEWLINE] $0,04\cdot5^x \gt 0$[NEWLINE] $5^x \gt 0$ — верно[NEWLINE] $\log_2 x$ определён при $x \gt 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, +\infty)$[NEWLINE] [NEWLINE] Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\log_{2}^{2} x - 3\log_{2} x + 2 = 0$[NEWLINE]Пусть $t = \log_2 x$:[NEWLINE]$t^2 - 3t + 2 = 0$[NEWLINE]$(t - 1)(t - 2) = 0$[NEWLINE]$t = 1$ или $t = 2$[NEWLINE]$\log_2 x = 1$ или $\log_2 x = 2$[NEWLINE]$x = 2$ или $x = 4$[COLUMN-BREAK]$\log_{0,25}(0,04\cdot5^{x}) = 0$[NEWLINE]$0,04\cdot5^x = 1$[NEWLINE]$5^x = 25$[NEWLINE]$x = 2$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] $\dfrac{\log_{2}^{2} x - 3\log_{2} x + 2}{\log_{0,25}(0,04\cdot 5^x)} \geqslant 0$[NEWLINE] $\dfrac{(x - 2)(x - 4)}{2 - x} \geqslant 0$[NEWLINE] $x \in (0;\, 2) \cup (2;\, 4]$ (Не забываем про чётную кратность корня $x=2!$)[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x \in (0;\, 2) \cup (2;\, 4].$

Задание 15.27

Решите неравенство

ОГР:

— верно

определён при

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ:
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE] Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 150 000 рублей, во второй год — 180 000 рублей.

$A = 250$ тыс. руб. [NEWLINE] $n = 2$ года [NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A = 250 & A k & 150 \\ \hline 2 & A k - 150 & (A k - 150)k & 180 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] После второго платежа долг = 0: \[ (Ak - 150)k - 180 = 0 \][NEWLINE] Подставим $A = 250$: \[ (250k - 150)k - 180 = 0 \Rightarrow 250k^2 - 150k - 180 = 0 \][NEWLINE] \[ 25k^2 - 15k - 18 = 0 \][NEWLINE] \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-18) = 225 + 1800 = 2025 = 45^2 \][NEWLINE] $k = \frac{15 \pm 45}{50}$[NEWLINE] $k_1 = \frac{60}{50} = 1{,}2,\quad k_2 = \frac{-30}{50} = -0{,}6 $ [NEWLINE] $ k = 1{,}2 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow $$\frac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow $$r = 20 $[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20

Задание 16.1

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 150 000 рублей, во второй год — 180 000 рублей.

тыс. руб.

года

Составим таблицу:

После второго платежа долг = 0:

Подставим :

Ответ: 20

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.[NEWLINE] Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260 000 рублей, а во второй год — 169 000 рублей.

$A = 300$ тыс. руб.[NEWLINE] $n = 2$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A = 300 & Ak & 260 \\ \hline 2 & Ak - 260 & (Ak - 260)k & 169 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] После второго платежа долг $= 0$:[NEWLINE] \[ (Ak - 260)k - 169 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $A = 300$:[NEWLINE] \[ (300k - 260)k - 169 = 0 \Rightarrow 300k^2 - 260k - 169 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] \[ D = (-260)^2 - 4 \cdot 300 \cdot (-169) = 520^2 \][NEWLINE] [NEWLINE] $k = \dfrac{260 \pm 520}{600}$[NEWLINE] $k_1 = \dfrac{780}{600} = 1{,}3,\quad k_2 = \dfrac{-260}{600} = -\dfrac{13}{30}$[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}3 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$\dfrac{r}{100} = 0{,}3 \Rightarrow r = 30$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 30

Задание 16.2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260 000 рублей, а во второй год — 169 000 рублей.

тыс. руб.

года

Составим таблицу:

После второго платежа долг :

Подставим :

Ответ: 30

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 40 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 61,875 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 40$ млн руб.[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 40 & 40k & 40k - 30 \\ \hline 2\ (2030) & 30 & 30k & 30k - 22{,}5 \\ \hline 3\ (2031) & 22{,}5 & 22{,}5k & 22{,}5k - 16{,}875 \\ \hline 4\ (2032) & 16{,}875 & 16{,}875k & 16{,}875k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 61,875:[NEWLINE] $ 109{,}375k - 69{,}375 = 61{,}875 \Rightarrow $$ 109{,}375k = 131{,}25 \Rightarrow $$ k = 1{,}2 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}2 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow $$ r = 20$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20

Задание 16.3

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 40 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 61,875 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 61,875:

Ответ: 20

Ответ:

Ваш ответ:
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;[NEWLINE] — суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.[NEWLINE] Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

$A = 6{,}6$ млн руб.[NEWLINE] $n = 5$ лет[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] После пятого платежа долг $= 0$:[NEWLINE] $ (Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow$$ Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow $$x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow $$x = \dfrac{Ak^2}{k + 1} $[NEWLINE] [NEWLINE] Общий размер выплат равен 12,6:[NEWLINE] \[ 3(Ak - A) + 2x = 12{,}6 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $A = 6{,}6$ и $x = \dfrac{6{,}6k^2}{k + 1}$:[NEWLINE] \[ 19{,}8(k - 1) + \dfrac{13{,}2k^2}{k + 1} = 12{,}6 \][NEWLINE] [NEWLINE] Умножим обе части на $(k + 1)$ и раскроем скобки:[NEWLINE] \[ (19{,}8k - 32{,}4)(k + 1) + 13{,}2k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 19{,}8k^2 + 19{,}8k - 32{,}4k - 32{,}4 + 13{,}2k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 33k^2 - 12{,}6k - 32{,}4 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] Умножим на 10 и сократим на 6:[NEWLINE] \[ 55k^2 - 21k - 54 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 55 \cdot (-54) = 111^2 \][NEWLINE] [NEWLINE] $k = \dfrac{21 \pm 111}{110}$[NEWLINE] $k_1 = \dfrac{132}{110} = 1{,}2,\quad k_2 = \dfrac{-90}{110} = -\dfrac{9}{11}$[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}2 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$\dfrac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow r = 20$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20

Задание 16.4

В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
— суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.
Найдите , если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

млн руб.

лет

— выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).

Составим таблицу:

После пятого платежа долг :

Общий размер выплат равен 12,6:

Подставим и :

Умножим обе части на и раскроем скобки:

Умножим на 10 и сократим на 6:

Ответ: 20

Ответ:

Ваш ответ:
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;[NEWLINE] — выплаты в 2030 и 2031 годах равны;[NEWLINE] — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.[NEWLINE] Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

$A = 4{,}2$ млн руб.[NEWLINE] $n = 5$ лет[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] После пятого платежа долг $= 0$:[NEWLINE] \[ (Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow $$ Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow $$ x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow $$ x = \dfrac{Ak^2}{k + 1} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 6,1:[NEWLINE] \[ 3(Ak - A) + 2x = 6{,}1 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $A = 4{,}2$ и $x = \dfrac{4{,}2k^2}{k + 1}$:[NEWLINE] \[ 12{,}6(k - 1) + \dfrac{8{,}4k^2}{k + 1} = 6{,}1 \][NEWLINE] [NEWLINE] Умножим обе части на $(k + 1)$ и раскроем скобки:[NEWLINE] \[ (12{,}6k - 18{,}7)(k + 1) + 8{,}4k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 12{,}6k^2 + 12{,}6k - 18{,}7k - 18{,}7 + 8{,}4k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] Умножим на 10:[NEWLINE] \[ 210k^2 - 61k - 187 = 0 \][NEWLINE] [NEWLINE] \[ D = (-61)^2 - 4 \cdot 210 \cdot (-187) = 401^2 \][NEWLINE] [NEWLINE] $k = \dfrac{61 \pm 401}{420}$[NEWLINE] $k_1 = \dfrac{462}{420} = $$ 1{,}1,\quad k_2 = $$ \dfrac{-340}{420} = $$ -\dfrac{17}{21}$[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}1 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow $$ r = 10$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 10

Задание 16.5

В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите , если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

млн руб.

лет

— выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).

Составим таблицу:

После пятого платежа долг :

Общая сумма выплат равна 6,1:

Подставим и :

Умножим обе части на и раскроем скобки:

Умножим на 10:

Ответ: 10

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1 января каждого года долг увеличивается на $12\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платёж;[NEWLINE] — 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;[NEWLINE] — 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на $50\%$ меньше, чем 15 января 2029 года;[NEWLINE] — 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.

$S$ — первоначальная сумма кредита (млн руб).[NEWLINE] $n = 5$ лет[NEWLINE] $k = 1{,}12$[NEWLINE] $d$ — величина, на которую уменьшается долг 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов.[NEWLINE] [NEWLINE] Запишем долг на 15 января каждого года и найдём $d$ из условия полного погашения:[NEWLINE] \[ \begin{array}{l} 15.01.2027:\ S \\ 15.01.2028:\ S - d \\ 15.01.2029:\ S - 2d \\ 15.01.2030:\ 0{,}5(S - 2d) \\ 15.01.2031:\ 0{,}5(S - 2d) - d \\ 15.01.2032:\ 0{,}5(S - 2d) - 2d = 0 \end{array} \][NEWLINE] $ 0{,}5(S - 2d) = 2d \Rightarrow $$ S - 2d = 4d \Rightarrow $$ S = 6d \Rightarrow $$ d = \dfrac{S}{6} $[NEWLINE] Тогда долги на 15 января равны $S;\ \dfrac{5S}{6};\ \dfrac{4S}{6};\ \dfrac{2S}{6};\ \dfrac{S}{6};\ 0$.[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2028) & S & Sk & Sk - \frac{5S}{6} \\ \hline 2\ (2029) & \frac{5S}{6} & \frac{5Sk}{6} & \frac{5Sk}{6} - \frac{4S}{6} \\ \hline 3\ (2030) & \frac{4S}{6} & \frac{4Sk}{6} & \frac{4Sk}{6} - \frac{2S}{6} \\ \hline 4\ (2031) & \frac{2S}{6} & \frac{2Sk}{6} & \frac{2Sk}{6} - \frac{S}{6} \\ \hline 5\ (2032) & \frac{S}{6} & \frac{Sk}{6} & \frac{Sk}{6} \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 4,08:[NEWLINE] \[ Sk\left(1 + \tfrac{5}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6}\right) - S\left(\tfrac{5}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6}\right) = 4{,}08 \][NEWLINE] $ 3Sk - 2S = 4{,}08 \Rightarrow $$ S(3k - 2) = 4{,}08 $[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}12$:[NEWLINE] $ S(3 \cdot 1{,}12 - 2) = 4{,}08 \Rightarrow $$ 1{,}36\,S = 4{,}08 \Rightarrow $$ S = 3 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 3

Задание 16.6

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— 1 января каждого года долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платёж;
— 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;
— 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на меньше, чем 15 января 2029 года;
— 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.

— первоначальная сумма кредита (млн руб).

лет

— величина, на которую уменьшается долг 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов.

Запишем долг на 15 января каждого года и найдём из условия полного погашения:

Тогда долги на 15 января равны .

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 4,08:

Подставим :

Ответ: 3

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 10 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $20\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 12,952 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 10$ млн руб.[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 10 & 10k & 10k - 8 \\ \hline 2\ (2030) & 8 & 8k & 8k - 6{,}4 \\ \hline 3\ (2031) & 6{,}4 & 6{,}4k & 6{,}4k - 5{,}12 \\ \hline 4\ (2032) & 5{,}12 & 5{,}12k & 5{,}12k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 12,952:[NEWLINE] $ 29{,}52k - 19{,}52 = 12{,}952 \Rightarrow $$ 29{,}52k = 32{,}472 \Rightarrow $$ k = 1{,}1 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}1 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow $$ r = 10$

Задание 16.7

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 10 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 12,952 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 12,952:

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 16 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $30\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 21,256 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 16$ млн руб.[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 16 & 16k & 16k - 11{,}2 \\ \hline 2\ (2030) & 11{,}2 & 11{,}2k & 11{,}2k - 7{,}84 \\ \hline 3\ (2031) & 7{,}84 & 7{,}84k & 7{,}84k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 21,256:[NEWLINE] $ 35{,}04k - 19{,}04 = 21{,}256 \Rightarrow $$ 35{,}04k = 40{,}296 \Rightarrow $$ k = 1{,}15 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}15 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}15 \Rightarrow $$ r = 15$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 15

Задание 16.8

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 16 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 21,256 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 21,256:

Ответ: 15

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 5 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $50\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6,125 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 5$ млн руб.[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 5 & 5k & 5k - 2{,}5 \\ \hline 2\ (2030) & 2{,}5 & 2{,}5k & 2{,}5k - 1{,}25 \\ \hline 3\ (2031) & 1{,}25 & 1{,}25k & 1{,}25k - 0{,}625 \\ \hline 4\ (2032) & 0{,}625 & 0{,}625k & 0{,}625k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 6,125:[NEWLINE] $ 9{,}375k - 4{,}375 = 6{,}125 \Rightarrow $$ 9{,}375k = 10{,}5 \Rightarrow $$ k = 1{,}12 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}12 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}12 \Rightarrow $$ r = 12$

Задание 16.9

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 5 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6,125 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 6,125:

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 12 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $10\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 13,626 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 12$ млн руб.[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 12 & 12k & 12k - 10{,}8 \\ \hline 2\ (2030) & 10{,}8 & 10{,}8k & 10{,}8k - 9{,}72 \\ \hline 3\ (2031) & 9{,}72 & 9{,}72k & 9{,}72k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 13,626:[NEWLINE] $ 32{,}52k - 20{,}52 = 13{,}626 \Rightarrow $$ 32{,}52k = 34{,}146 \Rightarrow $$ k = 1{,}05 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}05 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}05 \Rightarrow $$ r = 5$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 5

Задание 16.10

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 12 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 13,626 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 13,626:

Ответ: 5

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $70\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 11502 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}2$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}3S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}3S & 0{,}3Sk & 0{,}3Sk - 0{,}09S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}09S & 0{,}09Sk & 0{,}09Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 11502:[NEWLINE] \[ 1{,}39Sk - 0{,}39S = 11502 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}2$:[NEWLINE] $ 1{,}668S - 0{,}39S = 11502 \Rightarrow $$ 1{,}278S = 11502 \Rightarrow $$ S = 9000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 9000

Задание 16.11

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 11502 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 11502:

Подставим :

Ответ: 9000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $70\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 11502 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}2$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}3S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}3S & 0{,}3Sk & 0{,}3Sk - 0{,}09S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}09S & 0{,}09Sk & 0{,}09Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 11502:[NEWLINE] \[ 1{,}39Sk - 0{,}39S = 11502 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}2$:[NEWLINE] $ 1{,}668S - 0{,}39S = 11502 \Rightarrow $$ 1{,}278S = 11502 \Rightarrow $$ S = 9000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 9000

Задание 16.12

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 11502 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 11502:

Подставим :

Ответ: 9000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $50\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 16 625 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1{,}1$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}5S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}5S & 0{,}5Sk & 0{,}5Sk - 0{,}25S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}25S & 0{,}25Sk & 0{,}25Sk - 0{,}125S \\ \hline 4\ (2032) & 0{,}125S & 0{,}125Sk & 0{,}125Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 16625:[NEWLINE] \[ 1{,}875Sk - 0{,}875S = 16625 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}1$:[NEWLINE] $ 2{,}0625S - 0{,}875S = 16625 \Rightarrow $$ 1{,}1875S = 16625 \Rightarrow $$ S = 14000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 14000

Задание 16.13

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 16 625 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 16625:

Подставим :

Ответ: 14000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $5\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $20\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6 732 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}05$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}8S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}8S & 0{,}8Sk & 0{,}8Sk - 0{,}64S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}64S & 0{,}64Sk & 0{,}64Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 6732:[NEWLINE] \[ 2{,}44Sk - 1{,}44S = 6732 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}05$:[NEWLINE] $ 2{,}562S - 1{,}44S = 6732 \Rightarrow $$ 1{,}122S = 6732 \Rightarrow $$ S = 6000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6000

Задание 16.14

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6 732 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 6732:

Подставим :

Ответ: 6000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $10\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 13 981 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}1$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}9S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}9S & 0{,}9Sk & 0{,}9Sk - 0{,}81S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}81S & 0{,}81Sk & 0{,}81Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 13981:[NEWLINE] \[ 2{,}71Sk - 1{,}71S = 13981 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}1$:[NEWLINE] $ 2{,}981S - 1{,}71S = 13981 \Rightarrow $$ 1{,}271S = 13981 \Rightarrow $$ S = 11000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 11000

Задание 16.15

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 13 981 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 13981:

Подставим :

Ответ: 11000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $5\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $30\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6657 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}05$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & Sk & Sk - 0{,}7S \\ \hline 2\ (2030) & 0{,}7S & 0{,}7Sk & 0{,}7Sk - 0{,}49S \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}49S & 0{,}49Sk & 0{,}49Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 6657:[NEWLINE] \[ 2{,}19Sk - 1{,}19S = 6657 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}05$:[NEWLINE] $ 2{,}2995S - 1{,}19S = 6657 \Rightarrow $$ 1{,}1095S = 6657 \Rightarrow $$ S = 6000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6000

Задание 16.16

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6657 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 6657:

Подставим :

Ответ: 6000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 53 875 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{25}{100} = \dfrac{5}{4}$[NEWLINE] долг на июль уменьшается в $\dfrac{100\% - 25\%}{100\%} = \dfrac{3}{4}$ раза[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & S & \frac{5S}{4} & \frac{5S}{4} - \frac{3S}{4} \\ \hline 2\ (2030) & \frac{3S}{4} & \frac{15S}{16} & \frac{15S}{16} - \frac{9S}{16} \\ \hline 3\ (2031) & \frac{9S}{16} & \frac{45S}{64} & \frac{45S}{64} - \frac{27S}{64} \\ \hline 4\ (2032) & \frac{27S}{64} & \frac{135S}{256} & \frac{135S}{256} \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 53875:[NEWLINE] \[ \left(\frac{5}{4} + \frac{15}{16} + \frac{45}{64} + \frac{135}{256}\right)S - \left(\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64}\right)S = 53875 \][NEWLINE] [NEWLINE] Приведём скобки к общему знаменателю $256$:[NEWLINE] \[ \frac{320 + 240 + 180 + 135}{256}S - \frac{192 + 144 + 108}{256}S = 53875 \][NEWLINE] $ \frac{875}{256}S - \frac{444}{256}S = 53875 \Rightarrow $$ \frac{431}{256}S = 53875 $[NEWLINE] [NEWLINE] \[ S = \frac{53875 \cdot 256}{431} = 125 \cdot 256 = 32000 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 32000

Задание 16.17

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 53 875 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

долг на июль уменьшается в раза

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 53875:

Приведём скобки к общему знаменателю :

Ответ: 32000

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 6 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $70\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 8,085 млн рублей. Найдите $r$.

$A = 6$ млн руб.[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 6 & 6k & 6k - 1{,}8 \\ \hline 2\ (2030) & 1{,}8 & 1{,}8k & 1{,}8k - 0{,}54 \\ \hline 3\ (2031) & 0{,}54 & 0{,}54k & 0{,}54k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 8,085:[NEWLINE] $ 8{,}34k - 2{,}34 = 8{,}085 \Rightarrow $$ 8{,}34k = 10{,}425 \Rightarrow $$ k = 1{,}25 $[NEWLINE] [NEWLINE] $k = 1{,}25 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}25 \Rightarrow $$ r = 25$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 25

Задание 16.18

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 6 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 8,085 млн рублей. Найдите .

млн руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 8,085:

Ответ: 25

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере 16000 тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $4\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Найдите общую сумму всех выплат (в тыс. рублей) после полного погашения кредита.

$A = 16000$ тыс. руб.[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1{,}04$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 16000 & 16000k & 16000k - 12000 \\ \hline 2\ (2030) & 12000 & 12000k & 12000k - 9000 \\ \hline 3\ (2031) & 9000 & 9000k & 9000k - 6750 \\ \hline 4\ (2032) & 6750 & 6750k & 6750k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат:[NEWLINE] \[ 43750k - 27750 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}04$:[NEWLINE] \[ 43750 \cdot 1{,}04 - 27750 = 45500 - 27750 = 17750 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 17750

Задание 16.19

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере 16000 тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму всех выплат (в тыс. рублей) после полного погашения кредита.

тыс. руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат:

Подставим :

Ответ: 17750

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере 2000 тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на $10\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Найдите общую сумму всех выплат (в тыс. рублей) после полного погашения кредита.

$A = 2000$ тыс. руб.[NEWLINE] $n = 3$ года[NEWLINE] $k = 1{,}25$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2029) & 2000 & 2000k & 2000k - 1800 \\ \hline 2\ (2030) & 1800 & 1800k & 1800k - 1620 \\ \hline 3\ (2031) & 1620 & 1620k & 1620k \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат:[NEWLINE] \[ 5420k - 3420 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}25$:[NEWLINE] \[ 5420 \cdot 1{,}25 - 3420 = 6775 - 3420 = 3355 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 3355

Задание 16.20

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере 2000 тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму всех выплат (в тыс. рублей) после полного погашения кредита.

тыс. руб.

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат:

Подставим :

Ответ: 3355

Ответ:

Ваш ответ:
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг должен быть на $20\%$ меньше долга на июль предыдущего года;[NEWLINE] — в июле 2030 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 47 712 тыс. рублей. Найдите $S$.

$S$ — сумма кредита (тыс. руб).[NEWLINE] $n = 4$ года[NEWLINE] $k = 1{,}2$[NEWLINE] [NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & S & Sk & Sk - 0{,}8S \\ \hline 2\ (2028) & 0{,}8S & 0{,}8Sk & 0{,}8Sk - 0{,}64S \\ \hline 3\ (2029) & 0{,}64S & 0{,}64Sk & 0{,}64Sk - 0{,}512S \\ \hline 4\ (2030) & 0{,}512S & 0{,}512Sk & 0{,}512Sk \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] [NEWLINE] Общая сумма выплат равна 47712:[NEWLINE] \[ 2{,}952Sk - 1{,}952S = 47712 \][NEWLINE] [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}2$:[NEWLINE] $ 3{,}5424S - 1{,}952S = 47712 \Rightarrow $$ 1{,}5904S = 47712 \Rightarrow $$ S = 30000 $[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 30000

Задание 16.21

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке в размере тыс. рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг должен быть на меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 47 712 тыс. рублей. Найдите .

— сумма кредита (тыс. руб).

года

Составим таблицу:

Общая сумма выплат равна 47712:

Подставим :

Ответ: 30000

Ответ:

Ваш ответ:
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.[NEWLINE] а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.[NEWLINE] б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$.

[image:0:right]а) $MN$ — средняя линия по определению. Следовательно, $MN||AC.$ Отсюда следует, что $\angle LAC = \angle MNA$ как накрест лежащие углы при $MN||AC$ и $AL$ — секущей.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Опишем окружность около треугольника $\triangle ABC$ с центром в точке $M \rightarrow AB$ — диаметр. Заметим, что точка $L$ принадлежит окружности, так как $AL$ — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами. [IMAGENEWLINE] Из этого следует, что $BL=LC \Rightarrow \triangle BLC$ — равнобедренный. Причём, $\angle LBC=\angle LCB.$ При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $\angle LBC = \angle LCB = \angle LAC = \angle MAL \Rightarrow$ $\triangle BLC \sim \triangle MAL$ по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] $\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}= \frac{7}{25}.$ Пусть $AC=7x,AB=25x.$[IMAGENEWLINE] Найдём $\cos \angle BAL$ как косинус половинного угла:[IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \rightarrow$ $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \angle BAC}{2}} =\frac{4}{5}.$ [IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\cos \angle BAL = \frac{AL}{AB}, $ так как $\angle ALB=90^\circ$ как вписанный угол, опирающий на диаметр $AB.$ Пусть $AL=4y, AB=5y.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Тогда $25x=5y \Leftrightarrow y=5x.$[IMAGENEWLINE] Тогда $AL=4\cdot5x=20x.$ [IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора для $\triangle ABL$, $BL=15x.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда из подобия треугольников следует, что $\frac{AM}{BL}=k,$ где $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}x.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] $\frac{AM}{BL}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}=k.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\frac{S_{AML}}{S_{BLC}}=k^2=(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{36}.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD] б) $\frac{25}{36}$

Задание 17.1

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если .

а) — средняя линия по определению. Следовательно, Отсюда следует, что как накрест лежащие углы при и — секущей.

Опишем окружность около треугольника с центром в точке — диаметр. Заметим, что точка принадлежит окружности, так как — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами.
Из этого следует, что — равнобедренный. Причём, При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.

Тогда по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.

Пусть
Найдём как косинус половинного угла:

так как как вписанный угол, опирающий на диаметр Пусть

Тогда
Тогда
По теореме Пифагора для ,

Тогда из подобия треугольников следует, что где Тогда:

Ответ: б)

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система [NEWLINE] $\begin{cases} |x-a|+|y|=2 \\ y=\sqrt{4-x^2} \end{cases}$[NEWLINE] имеет ровно одно решение.

[BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $y=\sqrt{4-x^2}:$[NEWLINE] $\begin{cases} y=\sqrt{4-x^2} \\ y \geq 0 \end{cases}$[NEWLINE] $y^2=4-x^2$[NEWLINE] $x^2+y^2=2^2 \Rightarrow$ окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $R=2,$ ограниченная снизу $(y\geq0).$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $ |x-a|+|y|=2:$[NEWLINE] Раскроем модули для 4-х случаев:[NEWLINE] $1)$ $\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \geq a \\ y \geq 0 \end{cases}$[NEWLINE] $y=-x+a+2$[NEWLINE] $2)$ $\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \lt 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \geq a \\ y \lt 0 \end{cases}$[NEWLINE] $y=x-a-2$[NEWLINE] $3)$ $\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \lt a \\ y \geq 0 \end{cases}$[NEWLINE] $y=x-a+2$[NEWLINE] $4)$ $\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \lt 0 \end{cases}$$\begin{cases} x \lt a \\ y \lt 0 \end{cases}$[NEWLINE] $y=-x+a-2$[NEWLINE] [NEWLINE] Графиком является перемещающийся по оси $Ox$ ромб (квадрат, в частности).[NEWLINE] [image:0][NEWLINE] Заметим, что случаи $I$ и $IV$ на графике получается при пересечении квадратом точек $(2;0), (-2;0)$ прямыми $y=x-a+2$ и $y=-x+a+2$ соответственно. Подставим эти точки в уравнения и найдём $a:$[NEWLINE] $I:$ $0=2-a+2\Rightarrow a=4$[NEWLINE] $IV.$ $0=-(-2)+a+2 \Rightarrow a=-4$[NEWLINE] [NEWLINE] Случай $II$ — касание квадрата с окружностью левым верхним ребром, то есть с прямой $y=x-a+2:$[NEWLINE] $\begin{cases} y=x-a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}$[NEWLINE] $(x-a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a+4)x-4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(-2a+4)^2-4\cdot2(-4a+a^2)=-4a^2+16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2+16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_1=2+2\sqrt{2} \\& a_2=2-2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_1$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$ Следовательно, $a=2-\sqrt{2}$[NEWLINE] [NEWLINE] Случай $III$ — касание квадрата с окружностью правым верхним ребром, то есть с прямой $y=-x+a+2:$[NEWLINE] $\begin{cases} y=-x+a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}$[NEWLINE] $(-x+a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a-4)x+4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(2a+4)^2-4\cdot2(4a+a^2)=-4a^2-16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2-16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_3=-2-2\sqrt{2} \\& a_4=-2+2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_3$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$[NEWLINE] Следовательно, $a=-2+\sqrt{2}$[NEWLINE] [NEWLINE] Объединяем случаи: $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$

Задание 18.1

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Рассмотрим

окружность с центром и радиусом ограниченная снизу

Рассмотрим
Раскроем модули для 4-х случаев:

Графиком является перемещающийся по оси ромб (квадрат, в частности).

Заметим, что случаи и на графике получается при пересечении квадратом точек прямыми и соответственно. Подставим эти точки в уравнения и найдём

Случай — касание квадрата с окружностью левым верхним ребром, то есть с прямой

Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):

Заметим, что при окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре эквивалентен Следовательно,

Случай — касание квадрата с окружностью правым верхним ребром, то есть с прямой

Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):

Заметим, что при окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре эквивалентен
Следовательно,

Объединяем случаи:

Ответ:

Ответ:
Найдите все значение $a,$ при каждом из которых система[NEWLINE] $\begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}$[NEWLINE] имеет единственное решение.

Заметим, что переменная $x$ либо в модуле, либо в квадрате. Это означает чётность функции, откуда следует, что её значения "отражаются" от оси $Oy.$ Это наводит на мысль о том, что если мы найдём одно решение, то автоматически на второй половине плоскости будет еще одно решение. Значит нам необходимо взять $x=0.$ [NEWLINE] [BOLD]Обращаю ваше внимание[/BOLD], что это [BOLD]НЕОБХОДИМОЕ[/BOLD] условие, но [BOLD]НЕ ДОСТАТОЧНОЕ[/BOLD] для одного решения. После нахождения кандидатов, нам обязательно придется их проверить, так как это не обычный дискриминант или еще что-то, что гарантирует нам количество решений![NEWLINE] Подставляем:[NEWLINE] $\begin{cases} 2^{|0|+3}+7\cdot|0|+1=8y+7\cdot0^2+a \\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$ $\begin{cases} 2^{3}+1=8y+a \\ y^2=1 \end{cases}$ $\begin{cases} 9=8y+a \\ \left[\begin{aligned} & y_1=1 \\& y_2=-1 \\\end{aligned}\right. \end{cases}$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & 9=8\cdot 1+a \\& 9=8\cdot(-1)+a \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & a=1 \\& a=17 \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Теперь необходимо проверить количество решений для этих кандидатов:[NEWLINE] 1) $a=1:$ [NEWLINE] $2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+1$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}+7\cdot|x|=8y+7x^2$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}-8y=7x^2-7|x|$[NEWLINE] $8(2^{|x|}-y)=7(x^2-|x|)$[NEWLINE] Необходимо исследовать возможные решения. Если вам очевидно, что это возможно, когда левая и правая часть ноль (что утверждали некоторые преподаватели при разборах), то это не полная правда. Это лишь следствие. А причиной является окружность (А точнее, её ограничения) и допустимые значения функций $2^{|x|}$ и $x^2-|x|$! Это база для таких заданий. Такой вид задания на анализ допустимых значений даже есть в 13-м номере.[NEWLINE] [NEWLINE] Для начала, исследуем окружность:[NEWLINE] $x^2+y^2=1$ — окружность с центром в точке $(0;0),$ R=1 $\Rightarrow x \in [-1;1],y\in[-1;1]$. Эти ограничения накладываются и на второе уравнение системы, ведь именно в этой плоскости могут быть решения.[NEWLINE] [NEWLINE] [image:0:right]Исследуем $2^{|x|}.$ Пусть $f(x)=2^{|x|}.$[IMAGENEWLINE] Так как $x\in [0;+\infty]$ (ввиду модуля) и $2^x \gt 0,$ то $2^{|x|}\geq1$ (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Учитывая $x \in [-1;1]:\quad 2^{|x|}=1\Rightarrow x=0,$ то есть это единственное значение, которое может принимать $x.$[IMAGENEWLINE] Зная, что $y\in[-1;1],$ делаем вывод о том, что $2^{|x|}-y \geq 0$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]Исследуем $x^2-|x|.$ Пусть $f(x)=x^2-|x|.$[IMAGENEWLINE] $f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad x \geq 0 \\ x^2+x,\quad x \lt 0 \end{cases}$[IMAGENEWLINE] Учитывая ограничения окружности:[IMAGENEWLINE] $f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad 0 \leq x \leq 1 \\ x^2+x,\quad -1 \leq x \lt 0 \end{cases}$[IMAGENEWLINE] Это две параболы, причём их минимальные значения будут в вершине, а максимальные в нулях функции (ввиду тех же ограничений, см. рис.). Откуда делаем вывод, что $x^2-|x| \leq 0.$ [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\begin{cases} 2^{|x|}-y \geq 0 \\ x^2-|x| \leq 0 \end{cases}$[IMAGENEWLINE] Тогда равными они могут быть только если они равны нулю. Находим нули этих функций и получаем единственную пару чисел $(0;1).$ Следовательно, условие задачи [BOLD]выполняется.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) $a=17:$[IMAGENEWLINE] $8\cdot 2^{|x|}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+17$[IMAGENEWLINE] Это уже более сложная функция. Тут необходим метод зоркого глаза. Давайте представим, что вот есть у нас окружность. И нам необходимо, чтобы её пересекла какая-то там функция лишь один раз. Когда такое может быть? При касании, но вдруг функция всё-таки пересекает нашу окружность? И вот тут нам поможет банальный перебор тех значений функции, которые мы можем вообще получить. [IMAGENEWLINE] [BOLD]Если какое-то значение функции находится внутри плоскости окружности, то значит она её пересекает.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [image:2:right]И вот здесь как раз-таки нужно просто взять те значения, которые удобно считать. Мы знаем, что на краях окружности находятся очень удобные значения $(-1;0)$ и $(1;0).$ Тогда если вы их подставите, то вы получите верное решение в случае с $(1;0)$. Это означает, что окружность пересекается этой функцией. Причём пересекается снизу, так как ещё пара решений это $(0;-1).$ Откуда получается 2 решения, что нам не подходит. Оставил рисунок, оставил для пущего понимания, но на экзамене хватит и эскиза из двух точек даже без доказательства монотонного возрастания/убывания функции[IMAGENEWLINE] Значит $a=17$ — посторонний кандидат.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a=1$

Задание 18.2

Найдите все значение при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Заметим, что переменная либо в модуле, либо в квадрате. Это означает чётность функции, откуда следует, что её значения "отражаются" от оси Это наводит на мысль о том, что если мы найдём одно решение, то автоматически на второй половине плоскости будет еще одно решение. Значит нам необходимо взять
Обращаю ваше внимание, что это НЕОБХОДИМОЕ условие, но НЕ ДОСТАТОЧНОЕ для одного решения. После нахождения кандидатов, нам обязательно придется их проверить, так как это не обычный дискриминант или еще что-то, что гарантирует нам количество решений!
Подставляем:

Теперь необходимо проверить количество решений для этих кандидатов:
1)

Необходимо исследовать возможные решения. Если вам очевидно, что это возможно, когда левая и правая часть ноль (что утверждали некоторые преподаватели при разборах), то это не полная правда. Это лишь следствие. А причиной является окружность (А точнее, её ограничения) и допустимые значения функций и ! Это база для таких заданий. Такой вид задания на анализ допустимых значений даже есть в 13-м номере.

Для начала, исследуем окружность:
— окружность с центром в точке R=1 . Эти ограничения накладываются и на второе уравнение системы, ведь именно в этой плоскости могут быть решения.
Исследуем Пусть
Так как (ввиду модуля) и то (см. рис.)
Учитывая то есть это единственное значение, которое может принимать
Зная, что делаем вывод о том, что

Исследуем Пусть

Учитывая ограничения окружности:

Это две параболы, причём их минимальные значения будут в вершине, а максимальные в нулях функции (ввиду тех же ограничений, см. рис.). Откуда делаем вывод, что

Тогда равными они могут быть только если они равны нулю. Находим нули этих функций и получаем единственную пару чисел Следовательно, условие задачи выполняется.

2)

Это уже более сложная функция. Тут необходим метод зоркого глаза. Давайте представим, что вот есть у нас окружность. И нам необходимо, чтобы её пересекла какая-то там функция лишь один раз. Когда такое может быть? При касании, но вдруг функция всё-таки пересекает нашу окружность? И вот тут нам поможет банальный перебор тех значений функции, которые мы можем вообще получить.
Если какое-то значение функции находится внутри плоскости окружности, то значит она её пересекает.
И вот здесь как раз-таки нужно просто взять те значения, которые удобно считать. Мы знаем, что на краях окружности находятся очень удобные значения и Тогда если вы их подставите, то вы получите верное решение в случае с . Это означает, что окружность пересекается этой функцией. Причём пересекается снизу, так как ещё пара решений это Откуда получается 2 решения, что нам не подходит. Оставил рисунок, оставил для пущего понимания, но на экзамене хватит и эскиза из двух точек даже без доказательства монотонного возрастания/убывания функции
Значит — посторонний кандидат.

Ответ:

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система[NEWLINE] $ \begin{cases} 5\cdot 2^{|x|} + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 - a,\\[2pt] x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $[NEWLINE] имеет единственное решение.

Заметим, что оба уравнения не меняются при замене $x \to -x$ (переменная $x$ входит лишь через $|x|$ и $x^2$). Поэтому вместе с парой $(x;\,y)$ решением является и $(-x;\,y)$. Значит, единственное решение возможно лишь при $x = 0$ — с этого и начинаем.[NEWLINE] Если $x = 0$:[NEWLINE] $5\cdot 2^0 + 6\cdot|0| + 7 = 5y + 6\cdot 0^2 - a \;\Rightarrow\; $$12 = 5y - a \;\Rightarrow\; a = 5y - 12,$[NEWLINE] а из второго уравнения $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$. Отсюда два претендента: [NEWLINE] $ \begin{cases} a = 5\cdot 1 - 12 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow a = -7 \quad (1), \qquad $ $ \begin{cases} a = 5\cdot(-1) - 12 \\ y = -1 \end{cases} \Rightarrow a = -17 \quad (2). $[NEWLINE] При любом другом $a$ единственного решения быть не может. Оба претендента проверяем, так как это необходимое условие, но не достаточное.[NEWLINE] [NEWLINE] Проверка (1): $a = -7$. Система принимает вид $ \begin{cases} 5\left(2^{|x|} - y\right) = 6\left(x^2 - |x|\right) & (3)\\[2pt] x^2 + y^2 = 1 & (4) \end{cases} $[NEWLINE] Исследуем (3) при $x \in [-1;\,1]$ и $y \in [-1;\,1]$, т.к. (4) — окружность радиуса $1$.[NEWLINE] - $x^2 - |x| \le 0$, поскольку при $x \in [-1;\,1]$ имеем $x^2 \le |x|$ $\Rightarrow\; 6\left(x^2 - |x|\right) \le 0$;[NEWLINE] - $|x| \in [0;\,1] \Rightarrow 2^{|x|} \in [1;\,2]$; из $-1 \le y \le 1$ следует $-1 \le -y \le 1$, значит[NEWLINE] $1 - 1 \le 2^{|x|} - y \le 2 + 1 \;\Rightarrow\; 0 \le 2^{|x|} - y \le 3 \;\Rightarrow\; 5\left(2^{|x|} - y\right) \ge 0.$[NEWLINE] [NEWLINE] Вывод: неотрицательная часть равна неположительной только при нуле слева и справа:[NEWLINE] $ \begin{cases} 2^{|x|} - y = 0,\\ x^2 - |x| = 0 \end{cases} $ $\;\Rightarrow\; |x|\left(|x| - 1\right) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \ \text{или}\ x = \pm 1.$[NEWLINE] - $x = 0 \Rightarrow y = 2^0 = 1$; точка $(0;\,1)$ лежит на окружности: $0^2 + 1^2 = 1$. ✓[NEWLINE] - $x = \pm 1 \Rightarrow y = 2^1 = 2 \notin [-1;\,1]$ — таких решений нет.[NEWLINE] Итак, при $a = -7$ система имеет ровно одно решение $(0;\,1)$ $\Rightarrow a = -7$ подходит. ✓[NEWLINE] [NEWLINE] Проверка (2): $a = -17$. Первое уравнение равносильно $5y = 5\cdot 2^{|x|} - 6x^2 + 6|x| - 10 \;\Leftrightarrow\; $$ y = 2^{|x|} - \frac{6}{5}x^2 + \frac{6}{5}|x| - 2 $[NEWLINE] Кандидат $a = -17$ «родился» из точки $(0;\,-1)$, поэтому она заведомо решение: $f(0) = 1 - 2 = -1$ и $0^2 + (-1)^2 = 1$. Искать все $y$ не обязательно — достаточно предъявить вторую точку. Возьмём точку, где окружность «заканчивается»: $(1;\,0)$:[NEWLINE] $f(1) = 2 - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 = 0, \qquad 1^2 + 0^2 = 1,$[NEWLINE] т.е. $(1;\,0)$ — второе решение (а по чётности и $(-1;\,0)$). Решений больше одного $\Rightarrow a = -17$ — посторонний кандидат.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Замечание.[/BOLD] Это не случайность: при $G(t) = t^2 + f(t)^2 - 1$, $t = |x| \in [0;\,1]$, имеем $G\!\left(\tfrac12\right) < 0$ (график внутри круга) и $G(1) = f(1)^2 \ge 0$, так что второе пересечение с окружностью существовало бы даже без совпадения $f(1) = 0$ — по теореме о промежуточном значении. Точка $(1;\,0)$ просто сэкономила время.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a = -7$.

Задание 18.3

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Заметим, что оба уравнения не меняются при замене (переменная входит лишь через и ). Поэтому вместе с парой решением является и . Значит, единственное решение возможно лишь при — с этого и начинаем.

Если :

а из второго уравнения . Отсюда два претендента:

При любом другом единственного решения быть не может. Оба претендента проверяем, так как это необходимое условие, но не достаточное.

Проверка (1): . Система принимает вид

Исследуем (3) при и , т.к. (4) — окружность радиуса .

- , поскольку при имеем ;

- ; из следует , значит

Вывод: неотрицательная часть равна неположительной только при нуле слева и справа:

- ; точка лежит на окружности: . ✓

- — таких решений нет.

Итак, при система имеет ровно одно решение подходит. ✓

Проверка (2): . Первое уравнение равносильно

Кандидат «родился» из точки , поэтому она заведомо решение: и . Искать все не обязательно — достаточно предъявить вторую точку. Возьмём точку, где окружность «заканчивается»: :

т.е. — второе решение (а по чётности и ). Решений больше одного — посторонний кандидат.

Замечание. Это не случайность: при , , имеем (график внутри круга) и , так что второе пересечение с окружностью существовало бы даже без совпадения — по теореме о промежуточном значении. Точка просто сэкономила время.

Ответ: .

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] \[ (x-1)a^{2}-x\left(x^{2}-1\right)a+x^{4}-2x^{2}+1=0 \][NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

[BOLD]Разложение на множители.[/BOLD] Заметим, что $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ и $x^{4}-2x^{2}+1=(x^{2}-1)^{2}=(x-1)^{2}(x+1)^{2}$:[NEWLINE] \[ (x-1)a^{2}-x(x-1)(x+1)a+(x-1)^{2}(x+1)^{2}=0 \][NEWLINE] Выносим общий множитель $(x-1)$:[NEWLINE] \[ (x-1)\Big(a^{2}-x(x+1)a+(x-1)(x+1)^{2}\Big)=0 \][NEWLINE] Отсюда $x=1$ либо $a^{2}-x(x+1)a+(x-1)(x+1)^{2}=0$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD] Его дискриминант:[NEWLINE] $ D=x^{2}(x+1)^{2}-4(x-1)(x+1)^{2}=$$(x+1)^{2}\big(x^{2}-4x+4\big)=$$(x+1)^{2}(x-2)^{2} $[NEWLINE] \[ a_{1,2}=\frac{x(x+1)\pm(x+1)(x-2)}{2} \][NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{2x^{2}-2}{2}=x^{2}-1,\qquad a_{2}=\frac{2x+2}{2}=x+1 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Итоговая совокупность.[/BOLD] Исходное уравнение равносильно объединению трёх уравнений:[NEWLINE] \[ \left[\begin{array}{l} x=1\\ a=x^{2}-1\\ a=x+1 \end{array}\right. \][NEWLINE] [NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=1$, параболы $a=x^{2}-1$ и прямой $a=x+1$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in (-\infty;I) \cup \{II\}$[IMAGENEWLINE] Тогда $a \in (-\infty;-1) \cap \{0\}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a \in (-\infty;-1) \cap \{0\}$

Задание 18.4

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

Разложение на множители. Заметим, что и :

Выносим общий множитель :

Отсюда либо .

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$. Его дискриминант:

Итоговая совокупность. Исходное уравнение равносильно объединению трёх уравнений:

Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда

Ответ:

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $(x-2)a^{2}-(x^{3}-x^{2}-4)a+x^{4}-4x^{2}=0$[NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

$(x-2)a^{2}-(x^{3}-x^{2}-4)a+x^{4}-4x^{2}=0$[NEWLINE] $x^{4}-4x^{2}=x^{2}(x-2)(x+2)$. [NEWLINE] [NEWLINE] Разложим на множители $x^{3}-x^{2}-4:$[NEWLINE] По теореме Безу проверим корень $x=2: \quad 2^3-2^2-4=8-4-4=0$[NEWLINE] Следовательно, $x=2$ является корнем многочлена[NEWLINE] Тогда $x^{3}-x^{2}-4=(x-2)(x^2+x+2)$[NEWLINE] [NEWLINE] $(x-2)a^{2}-(x-2)(x^2+x+2)a+x^{2}(x-2)(x+2)$[NEWLINE] $(x-2)(a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)=0$[NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант[/BOLD] (здесь $u=x^{2}$, $v=x+2$, и $D=(u+v)^{2}-4uv=(u-v)^{2}$):[NEWLINE] $D=\big(x^{2}+(x+2)\big)^{2}-4x^{2}(x+2)=$$x^{4}+2x^{2}(x+2)+(x+2)^{2}-4x^{2}(x+2)=$$x^{4}-2x^{2}(x+2)+(x+2)^{2}=$$\big(x^{2}-(x+2)\big)^{2}=$$(x^{2}-x-2)^{2}=$$(x-2)^{2}(x+1)^{2}$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{(x^{2}+x+2)\pm(x^{2}-x-2)}{2}$:[NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{x^{2}+x+2+x^{2}-x-2}{2}=\frac{2x^{2}}{2}=x^{2} \][NEWLINE] \[ a_{2}=\frac{x^{2}+x+2-x^{2}+x-2}{2}=\frac{2x+4}{2}=x+2 \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=2\\ a=x^{2}\\ a=x+2\end{array}\right.$ [NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=2$, параболы $a=x^{2}$ и прямой $a=x+2$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in (-\infty;I) \cup \{II\}$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in(-\infty;0)\cup\{4\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(-\infty;0)\cup\{4\}$.

Задание 18.5

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

.

Разложим на множители
По теореме Безу проверим корень
Следовательно, является корнем многочлена
Тогда

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (здесь , , и ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $(x+1)a^{2}+(x^{3}+x+2)a-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=0$[NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

$(x+1)a^{2}+(x^{3}+x+2)a-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=0$[NEWLINE] $-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=-x^{2}(x^{2}-x-2)=-x^{2}(x+1)(x-2)$.[NEWLINE] [NEWLINE] Разложим $x^{3}+x+2$:[NEWLINE] По теореме Безу проверим $x=-1$: $\ (-1)^{3}+(-1)+2=-1-1+2=0$.[NEWLINE] Тогда $x^{3}+x+2=(x+1)(x^{2}-x+2)$.[NEWLINE] [NEWLINE] $(x+1)a^{2}+(x+1)(x^{2}-x+2)a-x^{2}(x+1)(x-2)=0$[NEWLINE] $(x+1)\big(a^{2}+(x^{2}-x+2)a+x^{2}(2-x)\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант[/BOLD] (здесь $u=x^{2}$, $v=x+2$, и $D=(u+v)^{2}-4uv=(u-v)^{2}$):[NEWLINE] $D=\big(x^{2}+(2-x)\big)^{2}-4x^{2}(2-x)=$$x^{4}+2x^{2}(2-x)+(2-x)^{2}-4x^{2}(2-x)=$$x^{4}-2x^{2}(2-x)+(2-x)^{2}=$$\big(x^{2}-(2-x)\big)^{2}=$$(x^{2}+x-2)^{2}=$$(x+2)^{2}(x-1)^{2}$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-(x^{2}-x+2)\pm(x^{2}+x-2)}{2}$:[NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{-x^{2}+x-2+x^{2}+x-2}{2}=\frac{2x-4}{2}=x-2 \][NEWLINE] \[ a_{2}=\frac{-x^{2}+x-2-x^{2}-x+2}{2}=\frac{-2x^{2}}{2}=-x^{2} \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ a=x-2\\ a=-x^{2}\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=-1$, параболы $a=-x^{2}$ и прямой $a=x-2$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in (II;+\infty) \cup \{I\}$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in(0;+\infty)\cup\{-1\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(0;+\infty)\cup\{-1\}$.

Задание 18.6

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

.

Разложим :
По теореме Безу проверим : .
Тогда .

Квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (здесь , , и ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $(x+1)a^{2}+(x^{3}+2x^{2}+x)a+x^{4}+2x^{3}-2x-1=0$[NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

$(x+1)a^{2}+(x^{3}+2x^{2}+x)a+x^{4}+2x^{3}-2x-1=0$[NEWLINE] Разложим $x^{4}+2x^{3}-2x-1$: по Безу корень $x=-1$ ($1-2+2-1=0$); делением получаем $(x+1)(x^{3}+x^{2}-x-1)=(x+1)^{2}(x^{2}-1)=(x-1)(x+1)^{3}$.[NEWLINE] $x^{3}+2x^{2}+x=x(x+1)^{2}$.[NEWLINE] [NEWLINE] $(x+1)a^{2}+x(x+1)^{2}a+(x-1)(x+1)^{3}=0$[NEWLINE] $(x+1)\big(a^{2}+x(x+1)a+(x-1)(x+1)^{2}\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант[/BOLD] ($u=x^{2}-1$, $v=x+1$, $D=$):[NEWLINE] $D=\big((x^{2}-1)+(x+1)\big)^{2}-4(x^{2}-1)(x+1)=$$(x^{2}-1)^{2}-2(x^{2}-1)(x+1)+(x+1)^{2}=$$\big((x^{2}-1)-(x+1)\big)^{2}=$$(x^{2}-x-2)^{2}=$$(x-2)^{2}(x+1)^{2}$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-(x^{2}+x)\pm(x^{2}-x-2)}{2}$:[NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{-x^{2}-x+x^{2}-x-2}{2}=\frac{-2x-2}{2}=-x-1 \][NEWLINE] \[ a_{2}=\frac{-x^{2}-x-x^{2}+x+2}{2}=\frac{-2x^{2}+2}{2}=1-x^{2} \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ a=-x-1\\ a=1-x^{2}\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=-1$, параболы $a=1-x^{2}$ и прямой $a=-x-1$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in \{I\} \cup (II;+\infty)$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in(1;+\infty)\cup\{0\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(1;+\infty)\cup\{0\}$.

Задание 18.7

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

Разложим : по Безу корень (); делением получаем .
.

Квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (, , ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$[NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

$(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$[NEWLINE] $-x^3+x^2=-x^2(x-1)$, $\quad x^2-x=x(x-1)$.[NEWLINE] [NEWLINE] Разложим $x^4-x^3-x+1$:[NEWLINE] Группировка: $x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^3-1)$.[NEWLINE] Тогда $x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1)$.[NEWLINE] [NEWLINE] $x(x-1)a^2+(x-1)^2(x^2+x+1)a-x^2(x-1)=0$[NEWLINE] $(x-1)\big(xa^2+(x-1)(x^2+x+1)a-x^2\big)=0$, где $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$:[NEWLINE] $(x-1)\big(xa^2+(x^3-1)a-x^2\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант:[/BOLD][NEWLINE] $D=(x^3-1)^2+4x\cdot x^2=$$x^6-2x^3+1+4x^3=$$x^6+2x^3+1=$$(x^3+1)^2$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-(x^3-1)\pm(x^3+1)}{2x}$:[NEWLINE] \[ a_1=\frac{-x^3+1+x^3+1}{2x}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x} \][NEWLINE] \[ a_2=\frac{-x^3+1-x^3-1}{2x}=\frac{-2x^3}{2x}=-x^2 \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=1\\ a=1/x\\ a=-x^2\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=1$, гиперболы $a=1/x$ и параболы $a=-x^2$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a\in\{I\}\cup[II;III)\cup(III;+\infty)$.[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in\{-1\}\cup[0;1)\cup(1;+\infty)$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in\{-1\}\cup[0;1)\cup(1;+\infty)$.

Задание 18.8

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

, .

Разложим :
Группировка: .
Тогда .

, где :

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант:

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , гиперболы и параболы . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет .
Тогда .

Ответ: .

Ответ:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $(x^2+x)a^2+2(x^4+x^3-x-1)a-4x^3-4x^2=0$[NEWLINE] имеет ровно $2$ решения.

$-4x^3-4x^2=-4x^2(x+1)$, $\quad x^2+x=x(x+1)$.[NEWLINE] [NEWLINE] Разложим $x^4+x^3-x-1$:[NEWLINE] Группировка: $x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^3-1)$.[NEWLINE] [NEWLINE] $x(x+1)a^2+2(x+1)(x^3-1)a-4x^2(x+1)=0$[NEWLINE] $(x+1)\big(xa^2+2(x^3-1)a-4x^2\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант:[/BOLD][NEWLINE] $D=4(x^3-1)^2+16x^3=$$4(x^6-2x^3+1+4x^3)=$$4(x^6+2x^3+1)=$$4(x^3+1)^2$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-2(x^3-1)\pm2(x^3+1)}{2x}=\dfrac{-(x^3-1)\pm(x^3+1)}{x}$:[NEWLINE] \[ a_1=\frac{-x^3+1+x^3+1}{x}=\frac{2}{x} \][NEWLINE] \[ a_2=\frac{-x^3+1-x^3-1}{x}=\frac{-2x^3}{x}=-2x^2 \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ a=2/x\\ a=-2x^2\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=-1$, гиперболы $a=2/x$ и параболы $a=-2x^2$; все три линии проходят через общую точку $(-1;-2)$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением. На рисунке: $II$ — прямая $a=0$, $I$ — прямая $a=-2$.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in [II;+\infty) \cup \{I\}$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in[0;+\infty)\cup\{-2\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in\{-2\}\cup[0;+\infty)$.

Задание 18.9

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно решения.

, .

Разложим :
Группировка: .

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант:

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , гиперболы и параболы ; все три линии проходят через общую точку . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением. На рисунке: — прямая , — прямая .
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $8$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?[NEWLINE]

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $5$, большие $-32$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и все синие числа лежат в отрезке $[-30;\, r]$.[NEWLINE] Числа на красных картах — различные кратные $8$, большие $-32$, и наибольшее из них равно $3s$. Значит $3s$ кратно $8$, откуда $s$ кратно $8$, и все красные числа лежат в отрезке $[-24;\, 3s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-30;\, r]$ ровно $\dfrac{r-(-30)}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 7$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 7 \][NEWLINE] Кратных $8$ в $[-24;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s-(-24)}{8} + 1 = \dfrac{3s}{8} + 4$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant \frac{3s}{8} + 4 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE] Тогда наибольшее красное число равно $3s = 3$. Но каждое красное число кратно $8$, а $3$ на $8$ не делится. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 40$?[NEWLINE] Из первого неравенства: $40 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7 \Rightarrow \dfrac{r}{5} \geqslant 33 \Rightarrow r \geqslant 165$.[NEWLINE] Из второго неравенства: $r \leqslant \dfrac{3 \cdot 40}{8} + 4 = 15 + 4 = 19$.[NEWLINE] Получаем $165 \leqslant r \leqslant 19$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{1}{5}\left(\frac{3s}{8} + 4\right) + 7 = \frac{3s}{40} + \frac{4}{5} + 7 \][NEWLINE] Умножим на $40$:[NEWLINE] \[ 40s \leqslant 3s + 32 + 280 \Rightarrow 37s \leqslant 312 \Rightarrow s \leqslant \frac{312}{37} = 8\frac{16}{37} \][NEWLINE] Так как $s$ кратно $8$, а ближайшее кратное $8$, не превосходящее $8\frac{16}{37}$, — это само $8$, остаётся единственная возможность $s = 8$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Пример при $s = 8$.[/BOLD] Тогда $r$ кратно $5$, из $8 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7$ получаем $r \geqslant 5$, а из $r \leqslant \dfrac{3\cdot 8}{8} + 4 = 7$ получаем $r \leqslant 7$, откуда $r = 5$.[NEWLINE] Синие карты (кратные $5$, наибольшее $= r = 5$): $-30,\ -25,\ -20,\ -15,\ -10,\ -5,\ 0,\ 5$ — ровно $8$ карт.[NEWLINE] Красные карты (кратные $8$, наибольшее $= 3s = 24$): $24,\ 16,\ 8,\ 0,\ -8$ — ровно $5$ карт.[NEWLINE] Все условия выполнены, значит $s = 8$ достигается.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) нет; б) нет; в) $8$.

Задание 19.1

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , откуда кратно , и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Кратных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Тогда наибольшее красное число равно . Но каждое красное число кратно , а на не делится. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Умножим на :

Так как кратно , а ближайшее кратное , не превосходящее , — это само , остаётся единственная возможность .

Пример при $s = 8$. Тогда кратно , из получаем , а из получаем , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-30$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $5$, большие $-30$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и все синие числа лежат в отрезке $[-25;\, r]$.[NEWLINE] Числа на красных картах — различные кратные $3$, большие $-30$, и наибольшее из них равно $3s$. Это число кратно $3$ автоматически, и все красные числа лежат в отрезке $[-27;\, 3s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-25;\, r]$ ровно $\dfrac{r+25}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 6$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 6 \][NEWLINE] Кратных $3$ в $[-27;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+27}{3} + 1 = s + 10$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s + 10 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE] Да. Возьмём $r = 5$: синяя карта $\{5\}$ (наибольшее синее $=5=r$), красные $\{3,0,-3,-6,-9\}$ (наибольшее красное $=3=3s$).[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 40$?[NEWLINE] Из первого неравенства: $40 \leqslant \dfrac{r}{5} + 6 \Rightarrow r \geqslant 170$.[NEWLINE] Из второго: $r \leqslant 40 + 10 = 50$.[NEWLINE] Получаем $170 \leqslant r \leqslant 50$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{s+10}{5} + 6 = \frac{s}{5} + 8 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 8 \Rightarrow s \leqslant 10 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $s = 10$.[/BOLD] Тогда $r \geqslant 5(10-6)=20$ и $r \leqslant 20$, откуда $r=20$.[NEWLINE] Синие (кратные $5$, наибольшее $=20$): $-25,-20,\dots,20$ — ровно $10$ карт.[NEWLINE] Красные (кратные $3$, наибольшее $=30$): $-27,-24,\dots,30$ — ровно $20$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $10$.

Задание 19.2

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Это число кратно автоматически, и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Кратных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Пример при $s = 10$. Тогда и , откуда .

Синие (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-40$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $30$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $5$, большие $-40$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие числа лежат в $[-35;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные чётные, большие $-40$, наибольшее равно $2s$ (чётно автоматически), и красные числа лежат в $[-38;\, 2s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-35;\, r]$ ровно $\dfrac{r+35}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 8$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 8 \][NEWLINE] Чётных в $[-38;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+38}{2} + 1 = s + 20$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s + 20 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE] Да. Возьмём $r = 5$: синяя $\{5\}$, красные $\{2,0,-2,-4,-6\}$ (наибольшее красное $=2=2s$).[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 30$?[NEWLINE] Из первого: $30 \leqslant \dfrac{r}{5} + 8 \Rightarrow r \geqslant 110$.[NEWLINE] Из второго: $r \leqslant 50$.[NEWLINE] Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{s+20}{5} + 8 = \frac{s}{5} + 12 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 12 \Rightarrow s \leqslant 15 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $s = 15$.[/BOLD] Тогда $r \geqslant 5(15-8)=35$ и $r \leqslant 35$, откуда $r=35$.[NEWLINE] Синие: $-35,-30,\dots,35$ — ровно $15$ карт. Красные: $-38,-36,\dots,30$ — ровно $35$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $15$.

Задание 19.3

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно (чётно автоматически), и красные числа лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя , красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого: .

Из второго: .

Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $s = 15$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-120$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $90$ штук?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $5$, большие $-120$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие лежат в $[-115;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные чётные, большие $-120$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-118;\, 2s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-115;\, r]$ ровно $\dfrac{r+115}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 24$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 24 \][NEWLINE] Чётных в $[-118;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+118}{2} + 1 = s + 60$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s + 60 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s + r = 6$?[NEWLINE] Да. Поскольку $r$ кратно $5$ и обе краски представлены, подходит $(s,r)=(1,5)$: синяя $\{5\}$, красные $\{2,0,-2,-4,-6\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r = s + 90$?[NEWLINE] Но $r \leqslant s + 60$, противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{s+60}{5} + 24 = \frac{s}{5} + 36 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 36 \Rightarrow s \leqslant 45 \][NEWLINE] Тогда $r \leqslant s + 60 \leqslant 105$, откуда $s + r \leqslant 150$.[NEWLINE] [BOLD]Пример при $s = 45,\ r = 105$.[/BOLD] Синие: $-115,-110,\dots,105$ — ровно $45$ карт. Красные: $-118,-116,\dots,90$ — ровно $105$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $150$.

Задание 19.4

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Поскольку кратно и обе краски представлены, подходит : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Тогда , откуда .

Пример при $s = 45,\ r = 105$. Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-80$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество красных карт быть равным $5$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть равным $200$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $5$, большие $-80$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и все синие числа лежат в отрезке $[-75;\, r]$.[NEWLINE] Числа на красных картах — различные чётные, большие $-80$, и наибольшее из них равно $2s$ (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке $[-78;\, 2s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-75;\, r]$ ровно $\dfrac{r+75}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 16$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 16 \][NEWLINE] Чётных в $[-78;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+78}{2} + 1 = s + 40$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s + 40 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $r = 5$?[NEWLINE] Да. Возьмём $s = 1$: синяя карта $\{5\}$ (наибольшее синее $=5=r$), красные $\{2,0,-2,-4,-6\}$ (наибольшее красное $=2=2s$). Все условия выполнены.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r = 200$?[NEWLINE] Из второго неравенства: $200 \leqslant s + 40 \Rightarrow s \geqslant 160$.[NEWLINE] Из первого неравенства: $s \leqslant \dfrac{200}{5} + 16 = 56$.[NEWLINE] Получаем $160 \leqslant s \leqslant 56$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $r$.[NEWLINE] Подставим первое неравенство во второе:[NEWLINE] \[ r \leqslant \left(\frac{r}{5} + 16\right) + 40 = \frac{r}{5} + 56 \Rightarrow \frac{4}{5}r \leqslant 56 \Rightarrow r \leqslant 70 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $r = 70$.[/BOLD] Тогда $s \geqslant 70 - 40 = 30$ и $s \leqslant \dfrac{70}{5} + 16 = 30$, откуда $s = 30$.[NEWLINE] Синие карты (кратные $5$, наибольшее $= r = 70$): $-75,-70,\dots,70$ — ровно $30$ карт.[NEWLINE] Красные карты (чётные, наибольшее $= 2s = 60$): $-78,-76,\dots,60$ — ровно $70$ карт.[NEWLINE] Все условия выполнены, значит $r = 70$ достигается.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $70$.

Задание 19.5

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные чётные, большие , и наибольшее из них равно (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ). Все условия выполнены.

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго неравенства: .

Из первого неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим первое неравенство во второе:

Пример при $r = 70$. Тогда и , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (чётные, наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество красных карт быть равным $3$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть равным $150$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $3$, большие $-60$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-57;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные чётные, большие $-60$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-58;\, 2s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $3$ в $[-57;\, r]$ ровно $\dfrac{r+57}{3} + 1 = \dfrac{r}{3} + 20$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{3} + 20 \][NEWLINE] Чётных в $[-58;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+58}{2} + 1 = s + 30$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s + 30 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $r = 3$?[NEWLINE] Да. Возьмём $s = 1$: синяя $\{3\}$ (наибольшее синее $=3=r$), красные $\{2,0,-2\}$ (наибольшее красное $=2=2s$).[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r = 150$?[NEWLINE] Из второго: $150 \leqslant s + 30 \Rightarrow s \geqslant 120$.[NEWLINE] Из первого: $s \leqslant \dfrac{150}{3} + 20 = 70$.[NEWLINE] Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $r$.[NEWLINE] \[ r \leqslant \frac{r}{3} + 20 + 30 \Rightarrow \frac{2}{3}r \leqslant 50 \Rightarrow r \leqslant 75 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $r = 75$.[/BOLD] Тогда $s \geqslant 75-30=45$ и $s \leqslant \dfrac{75}{3}+20=45$, откуда $s=45$.[NEWLINE] Синие: $-57,-54,\dots,75$ — ровно $45$ карт. Красные: $-58,-56,\dots,90$ — ровно $75$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $75$.

Задание 19.6

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго: .

Из первого: .

Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $r = 75$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $4$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $5$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $5$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE] а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $224$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE] б) Может ли количество чисел на доске равняться $30$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1801$?

Запишем число как $10t+u$. Первая операция меняет его на $+40-5=+35$, вторая — на $-50+5=-45$. Пусть $a$ и $b$ — количества чисел, к которым применили первую и вторую операции; изменение суммы $\Delta = 35a-45b$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Условие означает $\Delta = 224$, то есть $35a-45b=224$. Левая часть делится на $5$, а $224$ — нет. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $35a=45b \Rightarrow 7a=9b$. Так как $\gcd(7,9)=1$, $a=9k,\ b=7k$, всего чисел $a+b=16k$. Но $30$ не кратно $16$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $16k$. Чтобы вместиться в сумму $<1801$, берём наименьшие допустимые исходные числа.[NEWLINE] Для первой операции (десятки $\le 5$, единицы $\ge 5$) наименьшее исходное — $15$ ($15\to50$); для второй (десятки $\ge 6$, единицы $\le 4$) наименьшее — $60$ ($60\to15$); оба результата двузначные.[NEWLINE] Минимальная сумма при $a=9k,\ b=7k$: $15\cdot9k+60\cdot7k=135k+420k=555k$.[NEWLINE] Условие $555k<1801$ даёт $k\leqslant3$ (так как $555\cdot3=1665<1801$, а $555\cdot4=2220>1801$).[NEWLINE] При $k=3$: $a=27$ чисел $15$ и $b=21$ число $60$, сумма $1665<1801$, чисел $48$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) Нет; б) Нет; в) 48.

Задание 19.7

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?

Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества чисел, к которым применили первую и вторую операции; изменение суммы .

а) Условие означает , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: . Так как , , всего чисел . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Чтобы вместиться в сумму ).

При : чисел и число , сумма , чисел .

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 48.

Ответ:
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $4$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $3$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE] а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $222$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE] б) Может ли количество чисел на доске равняться $32$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE] в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна $0$, и сумма чисел на доске меньше $1509$?

Первая операция меняет число на $+20-4=+16$, вторая — на $-30+4=-26$; $\Delta=16a-26b$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Нужно $16a-26b=222$, то есть $8a-13b=111$. Подходит $a=22,\ b=5$: $8\cdot22-13\cdot5=176-65=111$.[NEWLINE] Пример: $22$ числа $14$ ($14\to30$) и $5$ чисел $40$ ($40\to14$) — все результаты двузначные.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $16a=26b \Rightarrow 8a=13b \Rightarrow a=13k,\ b=8k$, всего $21k$. Но $32$ не кратно $21$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $21k$. Наименьшие исходные: для первой операции $14$ ($14\to30$), для второй $40$ ($40\to14$).[NEWLINE] Минимальная сумма: $14\cdot13k+40\cdot8k=182k+320k=502k<1509 \Rightarrow k\leqslant3$ ($502\cdot3=1506<1509$).[NEWLINE] При $k=3$: $a=39$ чисел $14$ и $b=24$ числа $40$, сумма $1506<1509$, чисел $63$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) 63.

Задание 19.8

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна , и сумма чисел на доске меньше ?

Первая операция меняет число на , вторая — на ; .

а) Нужно , то есть . Подходит : .

Пример: числа () и чисел () — все результаты двузначные.

Ответ: да.

б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Наименьшие исходные: для первой операции (), для второй ().

Минимальная сумма: ().

При : чисел и числа , сумма , чисел .

Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

Ответ:
На столе лежит $N$ монет по $5$ рублей и $1000-N$ по $2$ рубля. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.[NEWLINE] а) Может ли $N$ равняться $100$?[NEWLINE] б) Может ли $N$ равняться $500$?[NEWLINE] в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Общая сумма $T=5N+2(1000-N)=3N+2000$. Условие должно выполняться для «худшего» набора из $300$ монет — с максимально возможным числом двурублёвых.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N\leqslant700$[/BOLD] (двурублёвых $\geqslant300$): минимальная сумма $300\cdot2=600$.[NEWLINE] Условие: $600\geqslant\dfrac{3N+2000}{4} \Rightarrow 2400\geqslant3N+2000 \Rightarrow 3N\leqslant400 \Rightarrow N\leqslant133\frac{1}{3}$, то есть $N\leqslant133$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N>700$[/BOLD] (двурублёвых $<300$): берём все $1000-N$ двурублёвых и остальные пятирублёвыми:[NEWLINE] минимальная сумма $=2(1000-N)+5\big(300-(1000-N)\big)=3N-1500$.[NEWLINE] Условие: $3N-1500\geqslant\dfrac{3N+2000}{4} \Rightarrow 12N-6000\geqslant3N+2000 \Rightarrow 9N\geqslant8000 \Rightarrow N\geqslant888\frac{8}{9}$, то есть $N\geqslant889$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] $N=100\leqslant133$ — подходит (проверка: $T=2300$, четверть $575$, мин. сумма $600\geqslant575$). [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] $N=500$ не удовлетворяет ни $N\leqslant133$, ни $N\geqslant889$. [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Подходят $N=1..133$ — это $133$ значения, и $N=889..999$ — это $999-889+1=111$ значений. Всего $133+111=244$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: $244$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) 244.

Задание 19.9

На столе лежит монет по рублей и по рубля. принимает значения от до . Известно, что если взять любые монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?

Общая сумма . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых.

Случай $N\leqslant700$ (двурублёвых ): минимальная сумма .

Условие: , то есть .

Случай $N\gt700$ (двурублёвых ): берём все двурублёвых и остальные пятирублёвыми:

минимальная сумма .

Условие: , то есть .

а) — подходит (проверка: , четверть , мин. сумма ). Ответ: да.

б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.

в) Подходят — это значения, и — это значений. Всего .

Ответ: $244$.

Ответ: а) да; б) нет; в) 244.

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $30$ штук?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $5$, большие $-60$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие числа лежат в $[-55;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные кратные $3$, большие $-60$, наибольшее равно $3s$ (кратно $3$ всегда), и красные числа лежат в $[-57;\, 3s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-55;\, r]$ ровно $\dfrac{r+55}{5}+1=\dfrac{r}{5}+12$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{5}+12$.[NEWLINE] Кратных $3$ в $[-57;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+57}{3}+1=s+20$, поэтому $r\leqslant s+20$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s+r=6$?[NEWLINE] Да: поскольку $r$ кратно $5$ и обе краски представлены, $(s,r)=(1,5)$: синяя $\{5\}$, красные $\{3,0,-3,-6,-9\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=s+30$?[NEWLINE] Но $r\leqslant s+20$, противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE] $s\leqslant\dfrac{s+20}{5}+12=\dfrac{s}{5}+16 \Rightarrow \dfrac{4}{5}s\leqslant16 \Rightarrow s\leqslant20$, тогда $r\leqslant40$ и $s+r\leqslant60$.[NEWLINE] [BOLD]Пример при $s=20,\ r=40$:[/BOLD] синие $-55,-50,\dots,40$ — ровно $20$ карт; красные $-57,-54,\dots,60$ — ровно $40$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $60$.

Задание 19.10

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .

Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные числа лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Кратных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

, тогда и .

Пример при $s=20,\ r=40$: синие — ровно карт; красные — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-36$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $3$, большие $-36$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и все синие числа лежат в отрезке $[-33;\, r]$ (наименьшее кратное $3$, большее $-36$, — это $-33$).[NEWLINE] Числа на красных картах — различные чётные, большие $-36$, и наибольшее из них равно $2s$ (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке $[-34;\, 2s]$ (наименьшее чётное, большее $-36$, — это $-34$).[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $3$ в $[-33;\, r]$ ровно $\dfrac{r-(-33)}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{3}+12 \][NEWLINE] Чётных в $[-34;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s-(-34)}{2}+1=s+18$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s+18 \][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s=1$?[NEWLINE] Да. Возьмём $r=3$: синяя карта $\{3\}$ (наибольшее синее $=3=r$), красные $\{2,0,-2\}$ (наибольшее красное $=2=2s$). Все условия выполнены.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s=50$?[NEWLINE] Из первого неравенства: $50\leqslant\dfrac{r}{3}+12\Rightarrow\dfrac{r}{3}\geqslant38\Rightarrow r\geqslant114$.[NEWLINE] Из второго неравенства: $r\leqslant50+18=68$.[NEWLINE] Получаем $114\leqslant r\leqslant68$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE] \[ s\leqslant\frac{s+18}{3}+12=\frac{s}{3}+18\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant18\ \Rightarrow\ s\leqslant27 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $s=27$.[/BOLD] Тогда $r\geqslant3(27-12)=45$ и $r\leqslant27+18=45$, откуда $r=45$.[NEWLINE] Синие карты (кратные $3$, наибольшее $=r=45$): $-33,-30,\dots,45$ — ровно $\dfrac{45+33}{3}+1=27$ карт.[NEWLINE] Красные карты (чётные, наибольшее $=2s=54$): $-34,-32,\dots,54$ — ровно $\dfrac{54+34}{2}+1=45$ карт.[NEWLINE] Все условия выполнены, значит $s=27$ достигается.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $27$.

Задание 19.11

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке (наименьшее кратное , большее , — это ).

Числа на красных картах — различные чётные, большие , и наибольшее из них равно (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке (наименьшее чётное, большее , — это ).

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ). Все условия выполнены.

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Пример при $s=27$. Тогда и , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (чётные, наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $3$, большие $-72$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-69;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные чётные, большие $-72$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-70;\, 2s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $3$ в $[-69;\, r]$ ровно $\dfrac{r+69}{3}+1=\dfrac{r}{3}+24$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{3}+24$.[NEWLINE] Чётных в $[-70;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+70}{2}+1=s+36$, поэтому $r\leqslant s+36$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s=1$?[NEWLINE] Да: $r=3$, синяя $\{3\}$, красные $\{2,0,-2\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s=50$?[NEWLINE] Из первого: $50\leqslant\dfrac{r}{3}+24\Rightarrow r\geqslant78$. Из второго: $r\leqslant50+36=86$. Значит $78\leqslant r\leqslant86$; подходит $r=78$ (кратно $3$).[NEWLINE] Пример: синие — все кратные $3$ от $-69$ до $78$ (ровно $\dfrac{78+69}{3}+1=50$, наибольшее $78=r$); красные — $78$ чётных от $100$ вниз до $-54$ (ровно $\dfrac{100-(-54)}{2}+1=78$, наибольшее $100=2s$). Все числа $>-72$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] \[ s\leqslant\frac{s+36}{3}+24=\frac{s}{3}+36\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant36\ \Rightarrow\ s\leqslant54 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $s=54$.[/BOLD] Тогда $r\geqslant3(54-24)=90$ и $r\leqslant54+36=90$, откуда $r=90$.[NEWLINE] Синие: $-69,-66,\dots,90$ — ровно $\dfrac{90+69}{3}+1=54$ карты; красные: $-70,-68,\dots,108$ — ровно $\dfrac{108+70}{2}+1=90$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) да; в) $54$.

Задание 19.12

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Чётных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: , синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого: . Из второго: . Значит ; подходит (кратно ).

Пример: синие — все кратные от до (ровно , наибольшее ); красные — чётных от вниз до (ровно , наибольшее ). Все числа .

Ответ: да.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $s=54$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карты; красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) да; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-45$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество красных карт быть равным $5$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть равным $100$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $5$, большие $-45$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие лежат в $[-40;\, r]$.[NEWLINE] Красные — различные кратные $3$, большие $-45$, наибольшее равно $3s$ (кратно $3$ всегда), и красные лежат в $[-42;\, 3s]$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-40;\, r]$ ровно $\dfrac{r+40}{5}+1=\dfrac{r}{5}+9$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{5}+9$.[NEWLINE] Кратных $3$ в $[-42;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+42}{3}+1=s+15$, поэтому $r\leqslant s+15$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $r=5$?[NEWLINE] Да: $s=1$, синяя $\{5\}$ (наибольшее синее $=5=r$), красная $\{3\}$ (наибольшее красное $=3=3s$).[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=100$?[NEWLINE] Из второго: $100\leqslant s+15\Rightarrow s\geqslant85$. Из первого: $s\leqslant\dfrac{100}{5}+9=29$. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $r$.[NEWLINE] \[ r\leqslant\frac{r}{5}+9+15=\frac{r}{5}+24\ \Rightarrow\ \frac{4}{5}r\leqslant24\ \Rightarrow\ r\leqslant30 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $r=30$.[/BOLD] Тогда $s\geqslant30-15=15$ и $s\leqslant\dfrac{30}{5}+9=15$, откуда $s=15$.[NEWLINE] Синие: $-40,-35,\dots,30$ — ровно $\dfrac{30+40}{5}+1=15$ карт; красные: $-42,-39,\dots,45$ — ровно $\dfrac{45+42}{3}+1=30$ карт.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $30$.

Задание 19.13

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Кратных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: , синяя (наибольшее синее ), красная (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго: . Из первого: . Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $r=30$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт; красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли общее количество карт быть равным $4$?[NEWLINE] б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $60$ штук?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Синие — различные кратные $3$, большие $-72$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-69;\, r]$, откуда $s\leqslant\dfrac{r}{3}+24$.[NEWLINE] Красные — различные чётные, большие $-72$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-70;\, 2s]$, откуда $r\leqslant s+36$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s+r=4$?[NEWLINE] Да: поскольку $r$ кратно $3$ и обе краски представлены, $(s,r)=(1,3)$: синяя $\{3\}$, красные $\{2,0,-2\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=s+60$?[NEWLINE] Но $r\leqslant s+36$, противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE] \[ s\leqslant\frac{s+36}{3}+24=\frac{s}{3}+36\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant36\ \Rightarrow\ s\leqslant54 \][NEWLINE] Тогда $r\leqslant s+36\leqslant90$, откуда $s+r\leqslant144$.[NEWLINE] [BOLD]Пример при $s=54,\ r=90$:[/BOLD] синие $-69,\dots,90$ (ровно $54$), красные $-70,\dots,108$ (ровно $90$). Всего $144$ карты.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $144$.

Задание 19.14

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в , откуда .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в , откуда .

а) Может ли ?

Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Тогда , откуда .

Пример при $s=54,\ r=90$: синие (ровно ), красные (ровно ). Всего карты.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $1200-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $1199$. Известно, что если взять любые $500$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.[NEWLINE] а) Может ли $N$ равняться $400$?[NEWLINE] б) Может ли $N$ равняться $600$?[NEWLINE] в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Общая сумма всех монет: $T=2N+5(1200-N)=6000-3N$. Условие должно выполняться для «худшего» набора из $500$ монет — с максимально возможным числом двурублёвых (они дешевле).[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N\geqslant500$[/BOLD] (двурублёвых хватает на весь набор): минимальная сумма $=500\cdot2=1000$.[NEWLINE] \[ 1000\geqslant\frac{6000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 4000\geqslant6000-3N\ \Rightarrow\ 3N\geqslant2000\ \Rightarrow\ N\geqslant666\frac{2}{3}, \][NEWLINE] то есть $N\geqslant667$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N<500$[/BOLD] (берём все $N$ двурублёвых, остальное пятирублёвыми): минимальная сумма $=2N+5(500-N)=2500-3N$.[NEWLINE] \[ 2500-3N\geqslant\frac{6000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 10000-12N\geqslant6000-3N\ \Rightarrow\ 9N\leqslant4000\ \Rightarrow\ N\leqslant444\frac{4}{9}, \][NEWLINE] то есть $N\leqslant444$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] $N=400\leqslant444$ — подходит. Проверка: $T=6000-1200=4800$, четверть $1200$; мин. сумма $2500-1200=1300\geqslant1200$. [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] $N=600$ не удовлетворяет ни $N\leqslant444$, ни $N\geqslant667$. [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Подходят $N=1..444$ — это $444$ значения, и $N=667..1199$ — это $1199-667+1=533$ значения. Всего $444+533=977$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $977$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) да; в) $977$.

Задание 19.15

На столе лежит монет по рубля и по рублей. может принимать значения от до . Известно, что если взять любые монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?

Общая сумма всех монет: . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых (они дешевле).

Случай $N\geqslant500$ (двурублёвых хватает на весь набор): минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt500$ (берём все двурублёвых, остальное пятирублёвыми): минимальная сумма .

то есть .

а) — подходит. Проверка: , четверть ; мин. сумма . Ответ: да.

б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.

в) Подходят — это значения, и — это значения. Всего .

Ответ: .

Ответ: а) да; б) да; в) .

Ответ:
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Общая сумма: $T=2N+5(1000-N)=5000-3N$. Рассматриваем худший набор из $300$ монет.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N\geqslant300$:[/BOLD] минимальная сумма $=300\cdot2=600$.[NEWLINE] \[ 600\geqslant\frac{5000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 2400\geqslant5000-3N\ \Rightarrow\ 3N\geqslant2600\ \Rightarrow\ N\geqslant866\frac{2}{3}, \][NEWLINE] то есть $N\geqslant867$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N<300$:[/BOLD] минимальная сумма $=2N+5(300-N)=1500-3N$.[NEWLINE] \[ 1500-3N\geqslant\frac{5000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 6000-12N\geqslant5000-3N\ \Rightarrow\ 9N\leqslant1000\ \Rightarrow\ N\leqslant111\frac{1}{9}, \][NEWLINE] то есть $N\leqslant111$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] $100\leqslant111$ — да. [BOLD]б)[/BOLD] $500$ не подходит — нет.[NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] $N=1..111$ — $111$ значений; $N=867..999$ — $999-867+1=133$ значения. Всего $111+133=244$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $244$.

Задание 19.16

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Общая сумма: . Рассматриваем худший набор из монет.

Случай $N\geqslant300$: минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt300$: минимальная сумма .

то есть .

а) — да. б) не подходит — нет.

в) — значений; — значения. Всего .

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $800-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $799$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.[NEWLINE] а) Может ли $N$ равняться $200$?[NEWLINE] б) Может ли $N$ равняться $400$?[NEWLINE] в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Общая сумма: $T=2N+5(800-N)=4000-3N$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N\geqslant300$:[/BOLD] минимальная сумма $=600$.[NEWLINE] $ 600\geqslant\frac{4000-3N}{4}\ \Rightarrow\ $$ 2400\geqslant4000-3N\ \Rightarrow\ $$ 3N\geqslant1600\ \Rightarrow\ $$ N\geqslant533\frac{1}{3}, $[NEWLINE] то есть $N\geqslant534$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]Случай $N<300$:[/BOLD] минимальная сумма $=1500-3N$.[NEWLINE] $ 1500-3N\geqslant\frac{4000-3N}{4}\ \Rightarrow\ $$ 6000-12N\geqslant4000-3N\ \Rightarrow\ $$ 9N\leqslant2000\ \Rightarrow\ $$ N\leqslant222\frac{2}{9}, $[NEWLINE] то есть $N\leqslant222$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] $200\leqslant222$ — да. [BOLD]б)[/BOLD] $400$ не подходит — нет.[NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] $N=1..222$ — $222$ значения; $N=534..799$ — $799-534+1=266$ значений. Всего $222+266=488$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $488$.

Задание 19.17

На столе лежит монет по рубля и по рублей. может принимать значения от до . Известно, что если взять любые монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?

Общая сумма: .

Случай $N\geqslant300$: минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt300$: минимальная сумма .

то есть .

а) — да. б) не подходит — нет.

в) — значения; — значений. Всего .

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ:
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $2$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE] а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $128$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE] б) Может ли количество чисел на доске равняться $25$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1198$?

Запишем число как $10t+u$. Первая операция меняет его на $+20-5=+15$, вторая — на $-20+2=-18$. Пусть $a$ и $b$ — количества применений первой и второй операций; изменение суммы $\Delta=15a-18b$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Нужно $\Delta=128$, то есть $15a-18b=128$. Левая часть делится на $3$, а $128$ — нет. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $15a=18b\Rightarrow5a=6b\Rightarrow a=6k,\ b=5k$, всего чисел $11k$. Но $25$ не кратно $11$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $11k$. Наименьшие допустимые исходные: для первой операции $15$ ($15\to30$), для второй $30$ ($30\to12$). Минимальная сумма $=15\cdot6k+30\cdot5k=90k+150k=240k$.[NEWLINE] Условие $240k<1198$ даёт $k\leqslant4$ (так как $240\cdot4=960<1198$, а $240\cdot5=1200>1198$).[NEWLINE] При $k=4$: $a=24$ числа $15$ и $b=20$ чисел $30$, сумма $960<1198$, чисел $44$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $44$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) ноу; б) нет; в) $44$.

Задание 19.18

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?

Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества применений первой и второй операций; изменение суммы .

а) Нужно , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: , всего чисел . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Наименьшие допустимые исходные: для первой операции (), для второй (). Минимальная сумма .

Условие ).

При : числа и чисел , сумма , чисел .

Ответ: .

Ответ: а) ноу; б) нет; в) .

Ответ:
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $7$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $6$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $8$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $8$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE] а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $124$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE] б) Может ли количество чисел на доске равняться $50$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE] в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше $3210$?

Первая операция меняет число на $+70-6=+64$, вторая — на $-80+8=-72$; $\Delta=64a-72b$.[NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Нужно $64a-72b=124$, то есть после деления на $4$: $16a-18b=31$. Левая часть чётна, правая нечётна. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $64a=72b\Rightarrow8a=9b\Rightarrow a=9k,\ b=8k$, всего $17k$. Но $50$ не кратно $17$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] [NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $17k$. Чтобы сумма превысила $3210$ при наименьшем числе чисел, берём наибольшие допустимые исходные: для первой операции это $29$ ($29\to80$), для второй — $91$ ($91\to19$). Максимальная сумма при $a=9k,\ b=8k$: $29\cdot9k+91\cdot8k=261k+728k=989k$.[NEWLINE] Необходимо $989k>3210\Rightarrow k>3\frac{63}{989}$, то есть $k\geqslant4$ (при $k=3$ максимум $2967<3210$).[NEWLINE] При $k=4$: $a=36$ чисел $29$ и $b=32$ числа $91$, сумма $3956>3210$, чисел $68$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: $68$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) нет; б) нет; в) $68$.

Задание 19.19

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше ?

Первая операция меняет число на , вторая — на ; .

а) Нужно , то есть после деления на : . Левая часть чётна, правая нечётна. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Чтобы сумма превысила при наименьшем числе чисел, берём наибольшие допустимые исходные: для первой операции это (), для второй — (). Максимальная сумма при : .

Необходимо , то есть (при максимум , чисел .

Ответ: $68$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) .

Ответ:

Результаты

Задание	Ваш ответ	Правильный ответ

Решения второй части

Задание 13.1:

1) — не подходит (нарушает ОДЗ)
2)

Проверим полученные корни на ОДЗ :
— : — подходит
— : — не подходит
Значит ответ для пункта а:
б) Отберём корни на отрезке с помощью тригонометрической окружности:

Ответ:
а)
б)

Ответ: []
Задание 13.2:

Тогда:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Ответ: а)
б)

Ответ: []
Задание 13.3:

1) — не подходит
2)

Проверим :
— : — подходит
— : — не подходит

Итого:
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: а)
б)

Ответ: []
Задание 13.4:

Тогда:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Ответ: а)
б)

Ответ: []
Задание 13.5:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. получается движением от вперед на получается движением от вперед на

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.6:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.7:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.8:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.9:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.10:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Оба корня получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.11:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.12:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.13:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получаются в точках пересечения окружности с координатной плоскостью.

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.14:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Подходит только корень, получаемый движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.15:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.16:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от назад на , получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.17:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.18:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.19:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от назад на , получается движением от вперед на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.20:
а)

или
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.21:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.22:
а)

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
получается движением от вперёд на , получается движением от вперёд на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 13.23:
а)

или
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Серия в отрезок не попадает; подходит корень, получаемый движением (поворотом) от назад на .

Ответ: а) ; б) .

Ответ: []
Задание 14.1:

а) (т.к. — правильная шестиугольная пирамида).
Также, Из этого следует, что Тогда Заметим, что и равноудалены от основания.
Рассмотрим
— диагональ правильного шестиугольника такая, что (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).
как средняя линия по определению. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и принадлежат одной плоскости, чтд.
б) (по условию). Проведём достроив до и — прямоугольных треугольников, где необходимо найти — катет прямоугольного треугольника. Из п. а следует, что — равносторонний, тогда , а также из этого пункта следует, что — средняя линия, значит

Ответ: []
Задание 15.1:

Здесь основания логарифмов одинаковы, поэтому знак неравенства между аргументами зависит от того, больше основание единицы или меньше. Сначала находим ОДЗ, затем на ней определяем поведение основания и убираем логарифмы.

Свойства и факты: при функция возрастает и знак сохраняется; дискриминант показывает знак квадратного трёхчлена.

ОДЗ:

Из автоматически , так что условие выполнено.

Проверяем : .

На всей ОДЗ основание , логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

.

Корни квадратного уравнения: .

Решение квадратного неравенства (графиком является парабола, ветви вверх): .

Поскольку , весь этот отрезок лежит в ОДЗ .

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.2:

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.3:

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.4:
Запишем ОДЗ неравенства

Итоговая ОДЗ: .

Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:

Пусть :

Сделаем обратную замену:

Введём функцию и найдём её нули:

Собираем неравенство заново:
Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.5:

ОДЗ:

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.6:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.7:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.8:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.9:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.10:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.11:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .

Границы ОДЗ и выкалываются.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.12:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.13:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству :

Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :

Так как при всех , неравенство равносильно .

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.14:

ОДЗ:

Упростим знаменатель: .

Так как — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком , и неравенство равносильно:

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.15:

ОДЗ:

Упростим знаменатель: .

Так как — положительная константа, знак знаменателя совпадает со знаком , и неравенство равносильно:

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.16:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.17:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству .

Преобразуем второе слагаемое: так как , то , а в квадрате .

Раскладываем квадратный трёхчлен относительно (глобально, можем заменить переменную и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Так как основание , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по : даёт знак , а даёт знак . Значит неравенство равносильно .

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.18:

ОДЗ:

По основному логарифмическому тождеству .

Преобразуем второе слагаемое: так как , то , а в квадрате .

Раскладываем квадратный трёхчлен относительно (глобально, можем заменить переменную и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):

Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:

Так как основание , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по : даёт знак , а даёт знак . Значит неравенство равносильно .

Граница ОДЗ выкалывается.

при

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.19:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.20:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или
или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.21:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.22:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.23:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.24:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

(Заменил переменную и решил относительно неё)
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.25:

ОГР:

— верно

определён при

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.26:

ОГР:

— верно

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ: []
Задание 15.27:

ОГР:

— верно

определён при

Найдём нули числителя и знаменателя для перехода к методу интервалов:

Пусть :
или
или
или

(Не забываем про чётную кратность корня )

Ответ:

Ответ: []
Задание 17.1:

а) — средняя линия по определению. Следовательно, Отсюда следует, что как накрест лежащие углы при и — секущей.

Опишем окружность около треугольника с центром в точке — диаметр. Заметим, что точка принадлежит окружности, так как — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами.
Из этого следует, что — равнобедренный. Причём, При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.

Тогда по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.

Пусть
Найдём как косинус половинного угла:

так как как вписанный угол, опирающий на диаметр Пусть

Тогда
Тогда
По теореме Пифагора для ,

Тогда из подобия треугольников следует, что где Тогда:

Ответ: б)

Ответ: []
Задание 18.1:
Рассмотрим

окружность с центром и радиусом ограниченная снизу

Рассмотрим
Раскроем модули для 4-х случаев:

Графиком является перемещающийся по оси ромб (квадрат, в частности).

Заметим, что случаи и на графике получается при пересечении квадратом точек прямыми и соответственно. Подставим эти точки в уравнения и найдём

Случай — касание квадрата с окружностью левым верхним ребром, то есть с прямой

Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):

Заметим, что при окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре эквивалентен Следовательно,

Случай — касание квадрата с окружностью правым верхним ребром, то есть с прямой

Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):

Заметим, что при окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре эквивалентен
Следовательно,

Объединяем случаи:

Ответ:

Ответ: []
Задание 18.2:
Заметим, что переменная либо в модуле, либо в квадрате. Это означает чётность функции, откуда следует, что её значения "отражаются" от оси Это наводит на мысль о том, что если мы найдём одно решение, то автоматически на второй половине плоскости будет еще одно решение. Значит нам необходимо взять
Обращаю ваше внимание, что это НЕОБХОДИМОЕ условие, но НЕ ДОСТАТОЧНОЕ для одного решения. После нахождения кандидатов, нам обязательно придется их проверить, так как это не обычный дискриминант или еще что-то, что гарантирует нам количество решений!
Подставляем:

Теперь необходимо проверить количество решений для этих кандидатов:
1)

Необходимо исследовать возможные решения. Если вам очевидно, что это возможно, когда левая и правая часть ноль (что утверждали некоторые преподаватели при разборах), то это не полная правда. Это лишь следствие. А причиной является окружность (А точнее, её ограничения) и допустимые значения функций и ! Это база для таких заданий. Такой вид задания на анализ допустимых значений даже есть в 13-м номере.

Для начала, исследуем окружность:
— окружность с центром в точке R=1 . Эти ограничения накладываются и на второе уравнение системы, ведь именно в этой плоскости могут быть решения.
Исследуем Пусть
Так как (ввиду модуля) и то (см. рис.)
Учитывая то есть это единственное значение, которое может принимать
Зная, что делаем вывод о том, что

Исследуем Пусть

Учитывая ограничения окружности:

Это две параболы, причём их минимальные значения будут в вершине, а максимальные в нулях функции (ввиду тех же ограничений, см. рис.). Откуда делаем вывод, что

Тогда равными они могут быть только если они равны нулю. Находим нули этих функций и получаем единственную пару чисел Следовательно, условие задачи выполняется.

2)

Это уже более сложная функция. Тут необходим метод зоркого глаза. Давайте представим, что вот есть у нас окружность. И нам необходимо, чтобы её пересекла какая-то там функция лишь один раз. Когда такое может быть? При касании, но вдруг функция всё-таки пересекает нашу окружность? И вот тут нам поможет банальный перебор тех значений функции, которые мы можем вообще получить.
Если какое-то значение функции находится внутри плоскости окружности, то значит она её пересекает.
И вот здесь как раз-таки нужно просто взять те значения, которые удобно считать. Мы знаем, что на краях окружности находятся очень удобные значения и Тогда если вы их подставите, то вы получите верное решение в случае с . Это означает, что окружность пересекается этой функцией. Причём пересекается снизу, так как ещё пара решений это Откуда получается 2 решения, что нам не подходит. Оставил рисунок, оставил для пущего понимания, но на экзамене хватит и эскиза из двух точек даже без доказательства монотонного возрастания/убывания функции
Значит — посторонний кандидат.

Ответ:

Ответ: []
Задание 18.3:

Заметим, что оба уравнения не меняются при замене (переменная входит лишь через и ). Поэтому вместе с парой решением является и . Значит, единственное решение возможно лишь при — с этого и начинаем.

Если :

а из второго уравнения . Отсюда два претендента:

При любом другом единственного решения быть не может. Оба претендента проверяем, так как это необходимое условие, но не достаточное.

Проверка (1): . Система принимает вид

Исследуем (3) при и , т.к. (4) — окружность радиуса .

- , поскольку при имеем ;

- ; из следует , значит

Вывод: неотрицательная часть равна неположительной только при нуле слева и справа:

- ; точка лежит на окружности: . ✓

- — таких решений нет.

Итак, при система имеет ровно одно решение подходит. ✓

Проверка (2): . Первое уравнение равносильно

Кандидат «родился» из точки , поэтому она заведомо решение: и . Искать все не обязательно — достаточно предъявить вторую точку. Возьмём точку, где окружность «заканчивается»: :

т.е. — второе решение (а по чётности и ). Решений больше одного — посторонний кандидат.

Замечание. Это не случайность: при , , имеем (график внутри круга) и , так что второе пересечение с окружностью существовало бы даже без совпадения — по теореме о промежуточном значении. Точка просто сэкономила время.

Ответ: .

Ответ: []
Задание 18.4:
Разложение на множители. Заметим, что и :

Выносим общий множитель :

Отсюда либо .

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$. Его дискриминант:

Итоговая совокупность. Исходное уравнение равносильно объединению трёх уравнений:

Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда

Ответ:

Ответ: []
Задание 18.5:

.

Разложим на множители
По теореме Безу проверим корень
Следовательно, является корнем многочлена
Тогда

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (здесь , , и ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ: []
Задание 18.6:

.

Разложим :
По теореме Безу проверим : .
Тогда .

Квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (здесь , , и ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ: []
Задание 18.7:

Разложим : по Безу корень (); делением получаем .
.

Квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант (, , ):

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , параболы и прямой . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ: []
Задание 18.8:

, .

Разложим :
Группировка: .
Тогда .

, где :

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант:

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , гиперболы и параболы . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением.
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет .
Тогда .

Ответ: .

Ответ: []
Задание 18.9:
, .

Разложим :
Группировка: .

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $a$.
Дискриминант:

:

Совокупность:
Графический метод в системе $Oxa$. Множество решений на плоскости — это объединение трёх линий: вертикальной прямой , гиперболы и параболы ; все три линии проходят через общую точку . Число решений исходного уравнения при данном — это число точек пересечения горизонтальной прямой с этим объединением. На рисунке: — прямая , — прямая .
Теперь ищем необходимые значения . Исходя из графика, решением будет
Тогда .

Ответ: .

Ответ: []
Задание 19.1:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , откуда кратно , и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Кратных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Тогда наибольшее красное число равно . Но каждое красное число кратно , а на не делится. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Умножим на :

Так как кратно , а ближайшее кратное , не превосходящее , — это само , остаётся единственная возможность .

Пример при $s = 8$. Тогда кратно , из получаем , а из получаем , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.2:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Это число кратно автоматически, и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Кратных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Пример при $s = 10$. Тогда и , откуда .

Синие (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.3:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно (чётно автоматически), и красные числа лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя , красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого: .

Из второго: .

Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $s = 15$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.4:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Поскольку кратно и обе краски представлены, подходит : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Тогда , откуда .

Пример при $s = 45,\ r = 105$. Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.5:

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .

Числа на красных картах — различные чётные, большие , и наибольшее из них равно (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ). Все условия выполнены.

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго неравенства: .

Из первого неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим первое неравенство во второе:

Пример при $r = 70$. Тогда и , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (чётные, наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.6:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго: .

Из первого: .

Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $r = 75$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.7:

Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества чисел, к которым применили первую и вторую операции; изменение суммы .

а) Условие означает , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: . Так как , , всего чисел . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Чтобы вместиться в сумму ).

При : чисел и число , сумма , чисел .

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 48.

Ответ: []
Задание 19.8:

Первая операция меняет число на , вторая — на ; .

а) Нужно , то есть . Подходит : .

Пример: числа () и чисел () — все результаты двузначные.

Ответ: да.

б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Наименьшие исходные: для первой операции (), для второй ().

Минимальная сумма: ().

При : чисел и числа , сумма , чисел .

Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

Ответ: []
Задание 19.9:

Общая сумма . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых.

Случай $N\leqslant700$ (двурублёвых ): минимальная сумма .

Условие: , то есть .

Случай $N\gt700$ (двурублёвых ): берём все двурублёвых и остальные пятирублёвыми:

минимальная сумма .

Условие: , то есть .

а) — подходит (проверка: , четверть , мин. сумма ). Ответ: да.

б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.

в) Подходят — это значения, и — это значений. Всего .

Ответ: $244$.

Ответ: а) да; б) нет; в) 244.

Ответ: []
Задание 19.10:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .

Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные числа лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Кратных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

, тогда и .

Пример при $s=20,\ r=40$: синие — ровно карт; красные — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.11:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке (наименьшее кратное , большее , — это ).

Числа на красных картах — различные чётные, большие , и наибольшее из них равно (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке (наименьшее чётное, большее , — это ).

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому

Чётных в ровно , поэтому

а) Может ли ?

Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ). Все условия выполнены.

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого неравенства: .

Из второго неравенства: .

Получаем — невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Подставим второе неравенство в первое:

Пример при $s=27$. Тогда и , откуда .

Синие карты (кратные , наибольшее ): — ровно карт.

Красные карты (чётные, наибольшее ): — ровно карт.

Все условия выполнены, значит достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.12:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Чётных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: , синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из первого: . Из второго: . Значит ; подходит (кратно ).

Пример: синие — все кратные от до (ровно , наибольшее ); красные — чётных от вниз до (ровно , наибольшее ). Все числа .

Ответ: да.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $s=54$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карты; красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) да; в) .

Ответ: []
Задание 19.13:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .

Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные лежат в .

Сколько кратных помещается в отрезки.

Кратных в ровно , поэтому .

Кратных в ровно , поэтому .

а) Может ли ?

Да: , синяя (наибольшее синее ), красная (наибольшее красное ).

Ответ: да.

б) Может ли ?

Из второго: . Из первого: . Противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Пример при $r=30$. Тогда и , откуда .

Синие: — ровно карт; красные: — ровно карт.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.14:

Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.

Ключевые факты.

Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в , откуда .

Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в , откуда .

а) Может ли ?

Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .

Ответ: да.

б) Может ли ?

Но , противоречие.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное .

Тогда , откуда .

Пример при $s=54,\ r=90$: синие (ровно ), красные (ровно ). Всего карты.

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.15:

Общая сумма всех монет: . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых (они дешевле).

Случай $N\geqslant500$ (двурублёвых хватает на весь набор): минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt500$ (берём все двурублёвых, остальное пятирублёвыми): минимальная сумма .

то есть .

а) — подходит. Проверка: , четверть ; мин. сумма . Ответ: да.

б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.

в) Подходят — это значения, и — это значения. Всего .

Ответ: .

Ответ: а) да; б) да; в) .

Ответ: []
Задание 19.16:

Общая сумма: . Рассматриваем худший набор из монет.

Случай $N\geqslant300$: минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt300$: минимальная сумма .

то есть .

а) — да. б) не подходит — нет.

в) — значений; — значения. Всего .

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.17:

Общая сумма: .

Случай $N\geqslant300$: минимальная сумма .

то есть .

Случай $N\lt300$: минимальная сумма .

то есть .

а) — да. б) не подходит — нет.

в) — значения; — значений. Всего .

Ответ: а) да; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.18:

Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества применений первой и второй операций; изменение суммы .

а) Нужно , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: , всего чисел . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Наименьшие допустимые исходные: для первой операции (), для второй (). Минимальная сумма .

Условие ).

При : числа и чисел , сумма , чисел .

Ответ: .

Ответ: а) ноу; б) нет; в) .

Ответ: []
Задание 19.19:

Первая операция меняет число на , вторая — на ; .

а) Нужно , то есть после деления на : . Левая часть чётна, правая нечётна. Противоречие.

Ответ: нет.

б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .

Ответ: нет.

в) Всего чисел . Чтобы сумма превысила при наименьшем числе чисел, берём наибольшие допустимые исходные: для первой операции это (), для второй — (). Максимальная сумма при : .

Необходимо , то есть (при максимум , чисел .

Ответ: $68$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) .

Ответ: []